§ 14. Поперечные сечения рассеяния

В предыдущем параграфе было изучено рассеяние двух частиц; однако на практике чаще приходится иметь дело не с одним актом рассеяния, а со множеством таких актов. Например, в

известных опытах Резерфорда пучок а-частиц рассеивался на ядрах атомов металлической пленки.

Изучим более общий случай рассеяния, а именно рассеяние одного пучка частиц на другом пучке.

Пусть один из пучков, достаточно разреженный и однородный по сечению, состоит из одинаковых частиц с массами все эти частицы до рассеяния имеют одинаковые скорости, равные Второй пучок состоит из других одинаковых частиц с массами и скоростями до рассеяния (в остальном второй пучок удовлетворяет тем же требованиям, что и первый). Процесс рассеяния одного пучка на другом ввиду их разреженности можно свести к рассеянию каждой частицы одного пучка на некоторой частице другого пучка, причем рассеяние каждой частицы по той же причине можно считать однократным. Следовательно, в задаче о рассеянии таких пучков нужно учитывать взаимодействие каждой частицы одного пучка с некоторой частицей другого пучка, в то время как взаимодействием частиц данного пучка между собой можно пренебречь. Тогда акты рассеяния разных пар частиц будут независимы друг от друга, причем рассеяние каждой пары характеризуется своим прицельным расстоянием и происходит в определенной плоскости относительно системы центра масс пары, т. е. характеризуется своим углом (см. рис. 14.1, на котором изображены траектории -точки для двух различных пар сталкивающихся частиц с одинаковыми и различными

Центры масс всех пар взаимодействующих частиц покоятся относительно друг друга, поскольку эти центры движутся относительно -системы с одинаковой скоростью, равной Поэтому угол рассеяния для каждой данной пары взаимодействующих частиц будет одним и тем же относительно системы отсчета с началом в центре масс любой пары взаимодействующих частиц. Выберем одну из таких систем отсчета и будем называть ее условно системой центра масс или -системой. В этой системе отсчета рассмотрим те -точки, прицельные расстояния которых лежат внутри интервала а значение угла изменяется в пределах от 0 до . В силу центральной симметрии взаимодействия между частицами эти -точки рассеются на углы от до каждая в своей плоскости. Следовательно, на достаточном удалении от начала -системы выбранные -точки попадут в телесный угол (рис. 14.1, б). Этот телесный угол ограничен поверхностями конусов с вершинами в начале -системы и углами растворов, равными соответственно ось конусов параллельна вектору т. е. параллельна скорости -точек до рассеяния. Частицы второго пучка, соответствующие рассмотренным -точкам, после рассеяния также попадут в

Рис. 14.1.

телесный угол поскольку они движутся по траекториям, подобным траекториям -точек. Что касается частиц первого пучка, соответствующих рассмотренным -точкам, то они рассеются в телесный угол той же величины, но с раствором конусов, направленным противоположно вектору

Важной характеристикой процесса рассеяния является дифференциальное эффективное поперечное сечение рассеяния. Например, для частиц первого пучка эта величина определяется как отношение числа его частиц, рассеиваемых в телесный угол за единицу времени, к числу частиц того же пучка, пролетающих за единицу времени через единичную площадку поперечного сечения пучка до рассеяния. Таким образом, дифференциальное сечение рассеяния частиц первого пучка по определению равно

Кроме дифференциального сечения, часто рассматривают полное эффективное сечение рассеяния, равное отношению общего числа частиц данного пучка, рассеиваемых за единицу времени под всеми углами к плотности

потока этого пучка до рассеяния. Итак, по определению полное сечение рассеяния частиц первого пучка равно

Поскольку до рассеяния пучки однородны по сечению, можно предположить, что поток числа частиц с прицельными расстояниями, лежащими в интервале от до равен плотности потока частиц до рассеяния, умноженной на площадь кольца с радиусами, равными . Тогда число частиц, рассеиваемых в телесный угол за единицу времени, равно (для первого пучка)

Отсюда получим дифференциальное сечение рассеяния в системе центра масс как функцию прицельного расстояния:

(здесь индекс опущен, так как в -системе две взаимодействующие частицы отклоняются на один и тот же угол поэтому сечение рассеяния выражается через прицельное расстояние одинаково как для частиц первого пучка, так и для частиц второго пучка).

Формула (14.4) дает возможность найти наглядное выражение для полного сечения рассеяния в том случае, когда на некотором расстоянии между частицами можно пренебречь потенциальной энергией их взаимодействия. Тогда, очевидно, полное сечение будет равно площади круга радиуса гшах:

На основании (14.4) легко также получить сечение рассеяния как функцию угла и величины относительной скорости частиц Действительно, в задаче об упругом рассеянии двух частиц (см. (13.17)) угол является функцией и масс частиц, причем вид этой функции зависит от характера взаимодействия между частицами. Разрешая функцию (13.17) относительно найдем прицельное расстояние в зависимости от

а затем, используя (14.4), получим дифференциальное сечение рассеяния обоих пучков как функцию угла рассеяния в системе центра масс:

Знак модуля в (14.7) связан с тем, что производная может быть отрицательной, а сечение рассеяния по определению является положительной величиной. Вместо выражения (14.7) часто используют дифференциальное сечение в виде

где

Экспериментальные исследования процессов рассеяния сводятся к измерению потока частиц до рассеяния и количества частиц, рассеиваемых под различными углами. Тем самым находят сечения рассеяния в -системе. Теоретически эти величины можно получить, вычисляя в -системе, а затем определяя функции из диаграммы скоростей, основанной на решении — углы рассеяния частиц первого и второго сорта в -системе). Дифференциальные сечения рассеяния частиц первого и второго сортов в лабораторной системе можно получить как результат подстановок

Формулы (14.9) справедливы, если функции однозначны; однако примеры 13.1 и 13.2 показывают, что это требование не всегда выполняется. Пусть, например, функция будет двузначной, т. е.

где функции однозначны. Из (14.10) следует, что в -системе под углом рассеиваются все частицы, которые в -системе рассеиваются либо под углом либо под углом Поэтому в случае двузначной функции для нахождения следует брать сумму сечений, соответствующих двум ветвям функции. Таким образом, учитывая (14.10), вместо второй из формул (14.9) получим

Заметим, что сумма сечений, подобная (14.11), является суммой модулей соответствующих функций, поскольку сечения рассеяния по определению положительны.

Полное сечение захвата определяется аналогично (14.2) как отношение числа всех частиц данного пучка,

захваченных за единицу времени, к плотности потока этого пучка до рассеяния. Если из условий (13.24) и (13.25) вытекает, что придельные расстояния, при которых происходит захват, удовлетворяют неравенствам

то, исходя из дифференциального выражения (14.4) и условия (14.12), получим полное сечение захвата

Пример 14.1. Дифференциальные сечения рассеяния частиц с электростатическим взаимодействием; формула Резерфорда.

Даны два пучка частиц. Первый пучок состоит из частиц с массой и зарядом скорость этих частиц до рассеяния относительно -системы равна Аналогичные величины для частиц второго пучка равны Оба пучка достаточно разрежены и до рассеяния однородны по сечению. Определить дифференциальные сечения рассения частиц обоих сортов в -системе.

Пользуясь формулой (2) примера 13.3, найдем зависимость прицельного расстояния от угла отклонения в -системе:

где причем если то если же то

Подставляя эту функцию в (14.8), получим выражение для сечения рассеяния в -системе:

где

Для отыскания сечения рассеяния в -системе. нужно знать Найдем эти функции для двух простых случаев. Пусть, например, частицы первого пучка до рассеяния покоятся, а частицы второго движутся со скоростью Тогда вторая из формул (4) примера 13.1 дает соотношение

где изменяется в пределах от 0 до -

Подставляя (3) в (2), получим дифференциальное сечение рассеяния частиц, которые до рассеяния покоились:

где

Используя формулы (5) и (6) примера 13.1, из формулы (2) данного примера получим дифференциальные сечения рассеяния частиц второго пучка:

где . Формула (5) называется формулой

Резерфорда. Вывод этой формулы и ее сопоставление с экспериментом по рассеянию быстрых -частиц на ядрах тяжелых элементов явились в свое время ключом к открытию структуры атома.

Теперь найдем сечение рассеяния частиц второго пучка, если . В этом случае является двузначной функцией (см. пример 13.1). Представляя сечение (2) в форме

в соответствии с (14.11) получим

где определяются формулой (12) примера 13.1. Из формулы (12) найдем

где

Воспользовавшись формулой (7) примера 13.1, найдем пределы изменения угла

определяющего знака и их отношение. Из (10) следует, что

Легко также убедиться, что отношение изменяется от величины, меньшей чем до 0, а производная этого отношения меньше нуля (она равна нулю только при

Учитывая сказанное, из формул (9) получим

а подставляя (13) в (8), найдем

где

Далее, используя формулы (12) примера 13.1, получим

Наконец, подставляя (15) — (17) в выражение (14), после ряда преобразований найдем дифференциальное сечение рассеяния частиц, налетающих на покоящиеся до рассеяния частицы (при условии ):

Возьмем другие начальные условия для скоростей. Пусть частицы обоих пучков движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Тогда функции определяются третьей и четвертой формулами решения (3) примера 13.2. Например, если то заданы формулами (7) и (8) примера 13.2, причем в этом случае является двузначной функцией, аналогичной функции (12) примера 13.1. Поэтому, используя формулы, аналогичные формулам (7) — (18) настоящего примера, сразу найдем дифференциальное сечение рассеяния частиц первого пучка:

Если же то из формулы (14) примера 13.2 и формулы (2) настоящего примера следует:

Все полученные формулы дифференциальных сечений справедливы как в случае сил отталкивания так и для сил притяжения Нетрудно также убедиться в том, что полное сечение рассеяния для заряженных частиц равно Это связано с бесконечно большим «эффективным радиусом» кулоновских сил: при угол отклонения весьма «медленно» стремится к нулю.

Пример 14.2. Дифференциальное сечение рассеяния однородных абсолютно упругих шариков.

Даны два пучка частиц, которые можно представить себе как абсолютно упругие шарики. Первый пучок состоит из частиц массы и радиуса скорость этих частиц до рассеяния относительно -системы равна те же величины для частиц второго пучка соответственно равны Определить сечения рассеяния частиц в -системе.

С помощью формулы (5) примера 13.4 найдем прицельное расстояние как функцию угла рассеяния в -системе:

а затем из (14.7) получим

Следовательно, рассеяние частиц-«шариков» в системе центра масс изотропно. Интегрируя (2) по всем углам, найдем, что полное сечение рассеяния равно (см. (14.5)).

Вычислим дифференциальное сечение рассеяния в -системе. Например, если частицы первого пучка до рассеяния покоятся, а частицы второго движутся со скоростью из формулы (2) настоящего примера и формулы (4) примера 13.1 найдем

(при любом соотношении масс частиц). Для вычисления будем исходить из формул (см. (2), (14.11) и формулы (10), (12) примера 13.1):

Тогда, используя анализ функции проведенный в примере 14.1, из (4) и (5) найдем

Если же частицы первого и второго пучков движутся до рассеяния с одинаковыми скоростями навстречу друг другу, то следует взять функции, полученные в примере 13.2. Используя двузначную функцию (7) и однозначную функцию (12) примера 13.2, а также используя формулы, аналогичные формулам (4) и (5) данного примера и формулам (10) — (12) примера 14.1, найдем дифференциальные сечения рассеяния частиц первого пучка:

Из последнего выражения заменой индексов можно получить сечение рассеяния частиц второго пучка при условии (см. формулы (8) и (12) примера 13.2).

Наконец, используя формулу (2) данного примера и формулу (14) примера 13.2, найдем, что в простейшем случае, когда