§ 61. Ударные волны

Рассмотрим стационарный однородный поток газа, движущийся со скоростью V относительно неподвижной системы отсчета 5. Если скорость V потока превышает скорость с звука в газе (относительно самого газа), то поток называется сверхзвуковым; если же V меньше с, то поток называется дозвуковым. Свойства сверхзвукового потока существенно отличаются от свойств дозвукового течения. В связи с этим важной характеристикой потока является отношение М скорости потока к скорости звука в нем:

Это число называется числом Маха.

Одна из особенностей сверхзвукового потока заключается в том, что малые возмущения плотности газа (и других величин) не могут в таком потоке распространяться по любому направлению. Действительно, скорость распространения возмущений относительно равна сумме где — направление распространения возмущений относительно газа. Поэтому все возможные скорости распространения возмущений относительно S могут быть получены, если из неподвижной точки (в которой возникают возмущения) отложить вектор и при фиксированном V придавать вектору все возможные направления. В результате такого изменения вектора конец вектора будет скользить по сфере радиуса с с центром в конце вектора V.

Из сказанного ясно, что в дозвуковом потоке вектор может иметь любое направление, в то время как в сверхзвуковом потоке вектор любом направлении будет лежать внутри конуса (или на его поверхности) с вершиной в источнике возмущений и с образующей, касающейся сферы радиуса с с центром в конце вектора V. Угол а полураствора этого конуса определяется равенством

Итак, малые возмущения в сверхзвуковом потоке могут распространяться лишь в указанном конусе.

Другой особенностью сверхзвукового потока является, как известно из опыта, возможность возникновения ударной волны. Так называется волна значительного уплотнения среды, связанного с резким повышением давления и температуры; при этом практически скачкообразное изменение параметров происходит в очень тонком слое среды и сопровождается потоком вещества через этот слой. Ударные волны возникают при обтекании тел сверхзвуковым потоком газа, при взрывах и других сильных возмущениях среды.

Рассмотрим теорию ударной волны, отвлекаясь от процессов, происходящих в весьма тонком слое среды, где ее параметры сильно изменяются. Это позволяет заменить такой слой поверхностью разрыва, т. е. поверхностью, на которой параметры среды терпят разрыв непрерывности.

Ограничимся случаем стационарного течения газа, когда поверхность разрыва будет неподвижной относительно системы отсчета, в которой рассматривается движение газа. Величины, характеризующие состояние газа до прохождения поверхности разрыва и после него, связаны между собой законами сохранения массы, импульса и энергии. Следовательно, на поверхности разрыва должны быть непрерывными потоки вещества, импульса и энергии.

Чтобы сформулировать эти условия, возьмем некоторый элемент поверхности разрыва и свяжем с ним систему координат, направляя ось х вдоль нормали к элементу. Затем построим цилиндр с осью, направленной по х, поперечным сечением равным и с основаниями, лежащими по разные стороны от рассматриваемого элемента поверхности разрыва бесконечно близко к этому элементу. Тогда, применяя к среде, находящейся в указанном цилиндре, интегральные соотношения (54.7), (58.5) и (58.9) и учитывая стационарность потока, получим условия

где индекс 1 относится к газу до прохождения поверхности разрыва, а индекс 2 — к газу после такого прохождения.

Из этих условий видно, что может существовать тангенциальный разрыв, т. е. такой разрыв, при котором отсутствует поток вещества через поверхность разрыва, тогда . В этом случае а скачки плотности и тангенциальных составляющих скорости произвольны. Если же поток вещества через поверхность разрыва отличен от нуля (т. е. ), то имеет место ударная волна. В этом случае ввиду (61.3) тангенциальные составляющие скорости непрерывны

а плотность, давление и нормальная составляющая скорости изменяются скачком. Эти изменения подчинены условиям (61.3), (61.4), а также условию

вытекающему из (61.7) с учетом (61.3) и (61.8).

Теперь рассмотрим неподвижную ударную волну, перпендикулярную к направлению потока, т. е. рассмотрим прямой скачок уплотнения. В этом случае тангенциальные составляющие скорости равны нулю и, следовательно, Поэтому условия (61.3), (61.4) и (61.9) можно записать в виде

Полученные условия определяют конечные изменения всех термодинамических величин при прохождении среды через ударную волну, в том числе и изменение энтропии. Это связано с диссипативными процессами, обусловленными вязкостью и теплопроводностью газа и происходящими в тех весьма тонких слоях газа, толщиной которых в этой теории пренебрегают. Итак, движение.

идеальной жидкости через ударную волну является необратимым течением, т. е. течением, для которого согласно второму закону термодинамики

Из формул (61.10) — (61.12) следует ряд соотношений. Например, обозначая плотность потока среды через и учитывая его непрерывность на поверхности разрыва, из (61.10) получим

а исключая из (61.11) с помощью (61.14) скорости найдем

Отсюда следует, что либо либо Однако, в действительности реализуется скачок уплотнения, так как только условия соответствуют требованию (61.13) (см., например, (52]). Заметим также, что скачок уплотнения ввиду непрерывности потока вещества сопровождается падением скорости газа после прохождения ударной волны Это уменьшение скорости газа означает также, что скорость и стационарной ударной волны по отношению к газу впереди нее и позади различна

Наконец, исключая из (61.12) скорости с помощью (61.14) и используя затем (61.15), найдем скачок энтальпии:

Это соотношение, называемое адиабатой Гюгонио (или ударной адиабатой), определяет зависимость между при заданных

Пример 61.1. Ударная волна в идеальном газе.

Найти отношение температуры идеального газа за фронтом ударной волны к температуре газа перед фронтом этой волны, считая известными давления и отношение для данного газа. Найти аналогичные отношения для плотностей и скоростей.

Используя термическое уравнение состояния идеального газа, выражение энтальпии (см. формулу (2) примера 57.2), а также (57.6) и (57.7), из уравнения адиабаты (61.16) найдем

Отсюда с помощью уравнения состояния и (61.10) получим, что

Приведем также выражение для разности энтропий (см. (57.5))

В случае ударных волн весьма большей интенсивности, т. е. в случае, когда

из (1)-(3) найдем

Из (5) и (6) следует, что скачок температуры и давления может возрастать неограниченно, в то время как скачки плотности и скорости ограничены предельными значениями. Например, для одноатомного газа , следовательно, в пределе (4) имеют место соотношения

для двухатомных газов , таким образом,