Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 57. Основные теоремы динамики идеальной жидкостиТечения идеальной жидкости, подчиняющиеся уравнениям (56.3) — (56.6), являются течениями, при которых сохраняется энтропия данной частицы жидкости. Такие движения называются изэнтропическими. Интеграл энтропии в рассматриваемом случае сразу следует из уравнения (56.6):
Отсюда можно получить соотношение между давлением и плотностью, имеющее место вдоль траектории частицы. Например, найдем такое соотношение для идеального газа, уравнения состояния которого задаются функциями
где
Подставляя (57.2) в (57.3), получим
откуда с точностью до постоянной найдем
Исключая отсюда Г с помощью термического уравнения состояния (57.2), получим энтропию, как функцию
где показатель
между
Итак, интеграл (57.1) в случае идеального газа приводит к соотношению
которое выполняется вдоль траектории данной частицы. Напомним еще одну термодинамическую функцию, а именно, тепловую функцию или энтальпию, приходящуюся на единицу массы и равную по определению
Используя эту функцию, представим (57.3) в виде соотношения
из которого вытекает, что приращение энтальпии для изэнтропических течений равно
Теперь получим основные интегралы движения уравнений идеальной жидкости. С этой целью используем прежде всего уравнение кинетической энергии (55.8) с учетом (56.1). Тогда, имея в виду выражение для полной производной давления по времени
найдем, что
Отсюда следует один из важных интегралов движения идеальной жидкости. В самом деле, допуская, что гидродинамические и силовые поля стационарны, т. е. явно не зависят от времени
который называется интегралом Бернулли. Как видно из вывода, этот интеграл имеет место для изэнтропических стационарных течений идеальной жидкости, если объемные силы потенциальны и стационарны. При этом фигурирующая в интеграле Бернулли сумма кинетической энергии, энтальпии и потенциальной энергии во внешнем поле сохраняется вдоль траектории данной частицы среды. Заметим, что при стационарном течении среды траектории частиц совпадают с линиями тока, т. е. с линиями, в каждой точке которых скорость жидкости в данный момент времени направлена по касательной к ним. Очевидно, что линии тока определяются уравнениями
В случае изэнтропических течений несжимаемой жидкости
Для иллюстрации рассмотрим простой пример. Пусть несжимаемая жидкость вытекает из достаточного широкого наполненного жидкостью резервуара высоты I через малое отверстие вблизи дна. Тогда течение на заметном интервале времени можно считать стационарным, а скорость частиц, находящихся на поверхности жидкости в сосуде, равной нулю. Направим ось
(здесь Важное свойство идеальной жидкости устанавливается в теореме Томсона о сохранении циркуляции скорости. Циркуляцией скорости вдоль замкнутого материального контура (т. е. контура, состоящего из частиц жидкости) называется интеграл
здесь контур задан функцией Согласно теореме Томсона при изэнтропическом движении идеальной жидкости циркуляция скорости по замкнутому данному материальному контуру сохраняется, если объемные силы потенциальны. Чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, нужно показать, что полная производная по времени от циркуляции (57.16) равна нулю. При дифференцировании циркуляции необходимо учесть, что с течением времени изменяется не только скорость частицы, но и форма контура, т. е. дифференцировать по времени нужно как скорость, так и элемент
Имея в виду очевидные преобразования
найдем, что второй интеграл в (57.17) равен
(как интеграл от полного дифференциала по замкнутому контуру). Что касается первого интеграла из (57.17), то с помощью теоремы Стокса его можно представить в виде
где
Подставляя (57.20) в (57.19), убедимся в том, что циркуляция ускорения равна нулю, поскольку
Тем самым теорема Томсона доказана. Из этой теоремы следует важное утверждение о сохранении вихревого движения идеальной жидкости. Действительно, применяя. формулу Стокса к левой части (57.21) и используя то, что
согласно которому поток угловой скорости (или поток вихря скорости) через данную материальную поверхность при ее движении сохраняется. Если же в начальный момент времени Заметим, что в случае, когда траектория частицы проходит вдоль поверхности тела, обтекаемого средой, в среде нельзя провести материальный контур, охватывающий такую траекторию. Поэтому теорема Томсона и теорема о сохранении вихря, строго говоря, неприменима в тонком пристеночном (пограничном) слое. Более того, в этом слое сама модель идеальной жидкости становится неприменимой ввиду заметной роли вязкости среды. Несмотря на это в ряде случаев, например, в случае хорошо обтекаемых тел движение среды почти везде близко к потенциальному течению. Если изэнтропическое потенциальное течение идеальной жидкости совершается под действием потенциальных объемных сил, то для таких течений имеет место интеграл движения, называемый интегралом Коши. Действительно, поскольку энтропия сохраняется, а заданные силы потенциальны, справедливо уравнение (57.20), которое запишем в форме
Теперь учтем, что движение среды потенциально. Поэтому скорость может быть представлена в виде градиента некоторой скалярной функции
(функция
найдем
откуда следует интеграл Коши
где В отличие от постоянной в интеграле Бернулли, которая имеет, вообще говоря, различные значения для траекторий разных частиц среды, произвольная функция Отметим, что в случае стационарных течений одно и то же значение для всех частиц жидкости. Таким образом, для стационарного потенциального течения интеграл Коши принимает вид
Пример 57.1. Стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости в горизонтально расположенной трубке переменного поперечного сечения. Найти в указанном случае соотношение между скоростями и давлениями жидкости в поперечных сечениях Из уравнения непрерывности (54.7) в интегральной форме ввиду стационарности потока будем иметь
Применяя это уравнение к объему, ограниченному поверхностью трубки и сечениями
откуда
Поскольку потенциал
которое с помощью (2) можно записать в виде
Из (2) и (3) следует, что с уменьшением сечения Пример 57.2. Стационарное течение сжимаемого идеального газа Пусть изменение потенциала поля тяжести вдоль линий тока пренебрежимо мало, а плотность, скорость и температура газа на бесконечном расстоянии от обтекаемого газом неподвижного тела соответственно равны Согласно условию из интеграла (57.13) имеем
где Из определения (57.9) и соотношений (57.2), (57.6) следует, что энтальпия идеального газа равна
Подставляя (2) в (1), получим соотношение для температур
Затем, используя (57.4), (57.6) и (57.7), перепишем условие изэнтропичности течения в виде
Тогда из (3) и (4) можно определить связь плотностей
Наконец, привлекая соотношение между давлением и плотностью (см. (57.8))
надаем
|
1 |
Оглавление
|