§ 57. Основные теоремы динамики идеальной жидкости

Течения идеальной жидкости, подчиняющиеся уравнениям (56.3) — (56.6), являются течениями, при которых сохраняется энтропия данной частицы жидкости. Такие движения называются изэнтропическими. Интеграл энтропии в рассматриваемом случае сразу следует из уравнения (56.6):

Отсюда можно получить соотношение между давлением и плотностью, имеющее место вдоль траектории частицы. Например, найдем такое соотношение для идеального газа, уравнения состояния которого задаются функциями

где — теплоемкость газа при постоянном объеме в расчете на единицу массы. С этой целью получим прежде всего энтропию идеального газа, как функцию температуры Т и удельного объема Будем исходить из первого и второго начал термодинамики, записанных в виде уравнения

Подставляя (57.2) в (57.3), получим

откуда с точностью до постоянной найдем

Исключая отсюда Г с помощью термического уравнения состояния (57.2), получим энтропию, как функцию

где показатель Затем, используем извэстног соотношение Майера

между — теплоемкостью при постоянном давлении в расчете на единицу массы. Тогда для показателя у найдем выражение

Итак, интеграл (57.1) в случае идеального газа приводит к соотношению

которое выполняется вдоль траектории данной частицы.

Напомним еще одну термодинамическую функцию, а именно, тепловую функцию или энтальпию, приходящуюся на единицу массы и равную по определению

Используя эту функцию, представим (57.3) в виде соотношения

из которого вытекает, что приращение энтальпии для изэнтропических течений равно

Теперь получим основные интегралы движения уравнений идеальной жидкости. С этой целью используем прежде всего уравнение кинетической энергии (55.8) с учетом (56.1). Тогда, имея в виду выражение для полной производной давления по времени

найдем, что

Отсюда следует один из важных интегралов движения идеальной жидкости. В самом деле, допуская, что гидродинамические и силовые поля стационарны, т. е. явно не зависят от времени и принимая во внимание (57.11), придем к интегралу

который называется интегралом Бернулли. Как видно из вывода, этот интеграл имеет место для изэнтропических стационарных течений идеальной жидкости, если объемные силы потенциальны и стационарны. При этом фигурирующая в интеграле Бернулли сумма кинетической энергии, энтальпии и потенциальной энергии во внешнем поле сохраняется вдоль траектории данной частицы среды.

Заметим, что при стационарном течении среды траектории частиц совпадают с линиями тока, т. е. с линиями, в каждой точке которых скорость жидкости в данный момент времени направлена по касательной к ним. Очевидно, что линии тока определяются уравнениями

В случае изэнтропических течений несжимаемой жидкости поэтому согласно (57.3) имеетместо интеграл движения Учитывая его, из (57.13) получим интеграл Бернулли для несжимаемой жидкости:

Для иллюстрации рассмотрим простой пример. Пусть несжимаемая жидкость вытекает из достаточного широкого наполненного жидкостью резервуара высоты I через малое отверстие вблизи дна. Тогда течение на заметном интервале времени можно считать стационарным, а скорость частиц, находящихся на поверхности жидкости в сосуде, равной нулю. Направим ось по вертикали вверх с началом отсчета в отверстии и определим постоянную интеграла Бернулли для любой частицы на поверхности жидкости. В результате получим

(здесь — скорость частицы, находящейся в отверстии, атмосферное давление, которое полагается одинаковым как на поверхности жидкости в сосуде, так и в струе, вытекающей из отверстия). Отсюда для скорости истечения находим известную формулу Торричелли

Важное свойство идеальной жидкости устанавливается в теореме Томсона о сохранении циркуляции скорости.

Циркуляцией скорости вдоль замкнутого материального контура (т. е. контура, состоящего из частиц жидкости) называется интеграл

здесь контур задан функцией , где каждому значению параметра соответствует одна определенная частица среды за исключением двух значений которым соответствует одна и та же частица, «замыкающая» контур (следовательно, параметр изменяется в пределах ); дифференциал связан с приращением параметра а интегрирование ведется по от нуля до

Согласно теореме Томсона при изэнтропическом движении идеальной жидкости циркуляция скорости по замкнутому данному материальному контуру сохраняется, если объемные силы потенциальны. Чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, нужно показать, что полная производная по времени от циркуляции (57.16) равна нулю. При дифференцировании циркуляции необходимо учесть, что с течением времени изменяется не только скорость частицы, но и форма контура, т. е. дифференцировать по времени нужно как скорость, так и элемент длины контура. Таким образом, для производной от циркуляции получим выражение

Имея в виду очевидные преобразования

найдем, что второй интеграл в (57.17) равен

(как интеграл от полного дифференциала по замкнутому контуру). Что касается первого интеграла из (57.17), то с помощью теоремы Стокса его можно представить в виде

где — поверхность, которая опирается на рассматриваемый контур, элемент этой поверхности. Теперь, учитывая изэнтропичность движения среды (см. (57.11)) и потенциальность объемной силы, представим уравнение Эйлера (56.4) в форме

Подставляя (57.20) в (57.19), убедимся в том, что циркуляция ускорения равна нулю, поскольку Следовательно, имеет место интеграл движения

Тем самым теорема Томсона доказана.

Из этой теоремы следует важное утверждение о сохранении вихревого движения идеальной жидкости. Действительно, применяя. формулу Стокса к левой части (57.21) и используя то, что найдем интеграл движения в виде

согласно которому поток угловой скорости (или поток вихря скорости) через данную материальную поверхность при ее движении сохраняется. Если же в начальный момент времени во всей среде, то и в последующие моменты времени во всей среде т. е. имеет место движение идеальной жидкости, которое называется безвихревым или потенциальным.

Заметим, что в случае, когда траектория частицы проходит вдоль поверхности тела, обтекаемого средой, в среде нельзя провести материальный контур, охватывающий такую траекторию. Поэтому теорема Томсона и теорема о сохранении вихря, строго

говоря, неприменима в тонком пристеночном (пограничном) слое. Более того, в этом слое сама модель идеальной жидкости становится неприменимой ввиду заметной роли вязкости среды. Несмотря на это в ряде случаев, например, в случае хорошо обтекаемых тел движение среды почти везде близко к потенциальному течению.

Если изэнтропическое потенциальное течение идеальной жидкости совершается под действием потенциальных объемных сил, то для таких течений имеет место интеграл движения, называемый интегралом Коши. Действительно, поскольку энтропия сохраняется, а заданные силы потенциальны, справедливо уравнение (57.20), которое запишем в форме

Теперь учтем, что движение среды потенциально. Поэтому скорость может быть представлена в виде градиента некоторой скалярной функции

(функция называется потенциалом скорости). Подставляя (57.24) в (57.23) и выполняя преобразование

найдем

откуда следует интеграл Коши

где — произвольная функция времени.

В отличие от постоянной в интеграле Бернулли, которая имеет, вообще говоря, различные значения для траекторий разных частиц среды, произвольная функция в интеграле Коши одинакова во всем объеме, занятом средой. Чтобы определить достаточно найти левую часть интеграла Коши как функцию времени в любой одной точке потока.

Отметим, что в случае стационарных течений функцию следует положить равной произвольной постоянной С, которая в отличие от постоянной интеграла Бернулли имеет

одно и то же значение для всех частиц жидкости. Таким образом, для стационарного потенциального течения интеграл Коши принимает вид

Пример 57.1. Стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости в горизонтально расположенной трубке переменного поперечного сечения.

Найти в указанном случае соотношение между скоростями и давлениями жидкости в поперечных сечениях

Из уравнения непрерывности (54.7) в интегральной форме ввиду стационарности потока будем иметь

Применяя это уравнение к объему, ограниченному поверхностью трубки и сечениями получим что

откуда

Поскольку потенциал поля тяжести постоянен вдоль течения» интеграл (57.15) приводит к соотношению

которое с помощью (2) можно записать в виде

Из (2) и (3) следует, что с уменьшением сечения скорость потока увеличивается, а давление падает.

Пример 57.2. Стационарное течение сжимаемого идеального газа

Пусть изменение потенциала поля тяжести вдоль линий тока пренебрежимо мало, а плотность, скорость и температура газа на бесконечном расстоянии от обтекаемого газом неподвижного тела соответственно равны Найти значения температуры, плотности и давления газа в критической точке (т. е. точке поверхости обтекаемого тела, где скорость потока обращается в нуль).

Согласно условию из интеграла (57.13) имеем

где — значения энтальпии на бесконечности и в критической точке соответственно (для других величин индексы и с будем относить к тем же состояниям).

Из определения (57.9) и соотношений (57.2), (57.6) следует, что энтальпия идеального газа равна

Подставляя (2) в (1), получим соотношение для температур

Затем, используя (57.4), (57.6) и (57.7), перепишем условие изэнтропичности течения в виде

Тогда из (3) и (4) можно определить связь плотностей

Наконец, привлекая соотношение между давлением и плотностью (см. (57.8))

надаем