Глава V. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

§ 23. Основная задача динамики несвободной системы и понятие о связях

Многие задачи механики (например, такие, которые были рассмотрены в гл. I—IV) сводятся к решению уравнений движения

где силы считаются известными функциями положений и скоростей точек, а также времени (такие силы будем для краткости называть заданными); при этом начальные условия можно задавать произвольно: на них никаких ограничений не налагается. Однако в механике существует и другой класс задач, в которых наряду с заданными силами рассматриваются силы, не известные нам как функции положений, скоростей точек и времени. Метод решения таких задач был намечен д’Аламбером в 1743 г. в его трактате «Динамика» [5, стр. 108—109] и окончательно сформулирован Лагранжем в 1788 г. в «Аналитической механике» [6, т. 1, отд. 1, 2 и 4].

Рис. 23.1

Рассмотрим постановку задач такого класса на примере сферического маятника (рис. 23.1). Пусть тело весьма малых размеров колеблется вблизи земной поверхности, будучи подвешенным на нерастяжимой нити длины , а сопротивлением воздуха можно пренебречь; тогда на материальную точку массы действует заданная сила и неизвестное натяжение

нити R. Следовательно, согласно (3.4) уравнение движения маятника имеет вид

Это векторное уравнение эквивалентно системе трех дифференциальных уравнений в координатах и содержит шесть неизвестных функций — проекции радиуса-вектора материальной точки и проекции натяжения нити; в декартовых координатах неизвестными являются Для отыскания решения приведенного уравнения необходимы дополнительные сведения. В поставленной задаче такие сведения есть: во-первых, в любой момент времени материальная точка находится на сферической поверхности радиуса (если нить натянута) и, следовательно, координаты точки должны удовлетворять условию во-вторых, натяжение нити направлено вдоль нити, в связи с чем можно написать, что , где — неизвестная скалярная функция. Таким образом, условия задачи приводят к системе

т. е. к системе четырех дифференциальных уравнений в координатах с четырьмя неизвестными функциями, например, функциями . С помощью приведенных уравнений можно найти закон движения точки по сфере и натяжение нити, необходимое для того, чтобы точка двигалась именно по сфере. Начальные условия в этой задаче не произвольны: точка и в начальный момент времени должна находиться на поверхности сферы радиуса а вектор скорости — в плоскости, касательной к сфере. При этом допускается, что длина нити остается неизменной, т. е. допускается, что жесткость нити бесконечно велика, изменение длины нити исчезающе мало, а ее натяжение конечно.

Как видим, в рассматриваемой задаче положение точки и ее скорость удовлетворяют определенным условиям, не вытекающим из уравнений движения. В этом смысле говорят, что материальная точка несвободна, на нее наложена связь.

В общем случае под связями понимают не вытекающие из уравнений движения ограничения, налагаемые на положения, скорости и ускорения точек механической системы. Связи реализуются посредством поверхностей различных тел, стержней, нитей и т. п.; аналитически связи выражаются уравнениями связей, т. е. соотношениями между радиусами-векторами точек, их скоростями и ускорениями. Силы, с которыми тела, осуществляющие связи, действуют на точки системы, называются реакциями связей. Если на систему точек наложено

связей, то, обозначая через реакцию связи с номером а на -тую точку, согласно (2.5) получим, что реакция всех связей на -тую точку равна

Различают следующие виды связей: голономные и неголономные, удерживающие и неудерживающие, стационарные и нестационарные. Г олономными (или интегрируемыми) связями называются связи, уравнения которых всегда можно свести к уравнениям вида

где является функцией только координат точек и времени. Эти связи налагают ограничение не только на положение, но и на скорости и ускорения точек системы. Действительно, дифференцируя (23.2) по времени, получим ограничение, налагаемое голономной связью на скорости:

а продифференцировав (23.3) по времени, найдем ограничение на ускорения точек:

Однако характерным для голономных связей является то, что ограничения на ускорения и скорости сводятся к ограничению

Рис. 23.2

только на положения точек; иначе говоря, уравнения связей, заданные в виде (23.3) или (23.4), могут быть проинтегрированы.

Например, пусть одна точка движется на горизонтальной; плоскости, перемещающейся с постоянной скоростью и в вертикальном направлении (рис. 23.2, а). Такая связь реализуется, если шарик исчезающих размеров движется между двумя жестко скрепленными друг с другом телами с параллельными поверхностями, причем расстояние между поверхностями исчезающе мало, а их деформациями можно пренебречь (рис. 23.2, б). Направляя ось по вертикали, запишем уравнение связи в виде

откуда следует, что рассматриваемая связь голономна, а на положение точки, ее скорость и ускорение налагаются ограничения:

Неголономными (или неинтегрируемыми) связями называются такие связи, уравнения которых нельзя свести к уравнениям, содержащим только координаты точек и время. Наиболее изученными являются неголономные связи первого порядка, линейные относительно скоростей, т. е. неинтегрируемые связи вида

где могут зависеть от положений точек и времени. Например, неголономной связью является, вообще говоря, связь, налагаемая на шар, катящийся по шероховатой поверхности (см. стр. 380). Большое практическое значение имеют неголономные условия, встречающиеся в задачах об оптимальных траекториях, различных тел.

В дальнейшем мы будем рассматривать главным образом, голономные связи, поскольку задачи о движении систем с неголономными связями, как правило, очень сложны в математическом отношении и редко встречаются в современных физических приложениях механики.

Удерживающими связями называются связи, задаваемые равенствами. Соответственно неудерживающие связи задаются неравенствами; например, неудерживающую связь можно реализовать с помощью гибкой нерастяжимой нити, соединяющей две материальные точки. Однако в этом случае движение точек сводится либо к свободному движению (когда

связь, как говорят, не напряжена), либо к движению несвободных точек (когда связь напряжена). Неудерживающие связи мы также рассматривать не будем.

Если уравнение связи явно от времени не зависит, то связь называется стационарной (например, связь, имеющая место в задаче о сферическом маятнике). В противном случае связь называется нестационарной (см. приведенный выше пример с движущейся плоскостью).

Введение понятий о связях и их реакциях позволяет сформулировать основную задачу механики несвободной системы точек с голономными связями как задачу об отыскании закона движения системы и реакций связей по заданным силам и заданным уравнениям голономных связей Эта задача сводится к совместному решению уравнений движения и уравнений связей

с начальными условиями, заданными в соответствии с уравнениями связей.

Система (23.6) представляет собой систему скалярных уравнений, содержащих неизвестных функций — проекций векторов на координатные оси причем наиболее интересным является случай, когда число связей Действительно, если то уравнения связей полностью определяют движение системы. С другой стороны, если то рассматриваемая задача является определенной только в том случае, когда известны независимых соотношений между положениями точек и реакциями связей. Забегая вперед, скажем, что основная задача динамики несвободной системы является определенной для так называемых идеальных связей. Однако введение этого понятия требует знакомства с некоторыми свойствами связей.