§ 17. Поступательное движение и изменение ориентации системы отсчета (твердого тела)

Из предыдущего видно, что положение «штрихованной» системы относительно «нештрихованной» будет определено в любой момент времени, если заданы как функции времени. Рассмотрим два вида движения системы: поступательное движение и изменение ориентации. В случае поступательного движения ориентация системы S относительно системы S остается неизменной. Это означает, что остаются неизменными направления ортов т. е. сохраняют постоянное значение косинусы (или углы Эйлера). Следовательно,

Таким образом, поступательное движение системы S определяется движением ее начала О, т. е. функцией а все точки твердого тела, скрепленного с системой движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями по траекториям, которые могут быть получены друг из друга параллельным смещением. Действительно, радиусы-векторы любой точки твердого тела относительно систем S и S связаны соотношением (1.6), причем абсолютная величина вектора постоянна при произвольных перемещениях твердого тела, а его направление относительно системы S неизменно только при поступательном движении тела (см. рис. 17.1, на котором изображены два положения твердого тела

при поступательном движении). Дифференцируя (1.6) по времени и учитывая постоянство получим

Другим частным случаем движения системы отсчета (твердого тела) является изменение ориентации при неизменном положении начала системы . В этом случае — постоянный вектор, а орты «штрихованной» системы (косинусы и углы Эйлера) являются функциями времени.

Рис. 17.1

Анализ этого вида движения основывается на простой, но важной теореме Эйлера, в которой утверждается: если относительно некоторой системы отсчета S твердое тело имеет одну неподвижную точку, то перемещение твердого тела из любого положения в любое другое положение может быть совершено одним поворотом на определенный угол вокруг определенной оси, проходящей через неподвижную точку тела.

Доказательство этой теоремы основано на неизменности расстояний между всеми точками твердого тела. Пусть система S жестко соединена с твердым телом, а ее начало О находится в неподвижной точке тела. Очертим вокруг точки О жестко соединенную с твердым телом сферу единичного радиуса, отметив на ней концы ортов IV, и соединив эти концы дугой большого круга. Положение этой дуги определяет положение твердого тела (или системы Следовательно, произвольные положения и 2 тела можно задать двумя положениями дуги (рис. 17.2, а и б).

Чтобы доказать теорему Эйлера, нужно убедиться в том, что дуга может быть совмещена с дугой одним поворотом, указать способ нахождения оси и угла поворота. Соединим точки и точки дугами больших кругов (рис. 17.2, б), а через середины дуг проведем перпендикулярные к дуги больших кругов до пересечения их друг с другом в точках и . Стороны сферических треугольников (рис. 17.2, в) равны, так как это одна и та же дуга в различных

положениях, а стороны равны по построению точки а, лежащей на дуге, проведенной через середину основания треугольника Равны друг другу также стороны Таким образом, сферические треугольники равны и, следовательно, равны углы Поэтому угол между дугами равен углу между дугами . Итак, если твердое тело (систему 5) повернуть из положения 1 вокруг оси на определенный угол (или равный ему то твердое тело (система отсчета) переместится в положение 2.

Рис. 17.2

Поскольку положения 1 и 2 выбраны произвольно, теорема Эйлера доказана.

Подчеркнем, что теорема Эйлера справедлива для поворотов как на конечные, так и на бесконечно малые углы. Однако сами эти повороты отличаются друг от друга: результат двух поворотов на конечные углы, вообще говоря, зависит от последовательности этих поворотов, в то время как результат двух любых

бесконечно малых поворотов с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка не зависит от их последовательности. Проиллюстрируем это на примере поворотов твердой квадратной пластинки (рис. 17.3). Сначала повернем ее вокруг оси на а затем вокруг оси также на .

Рис. 17.3

После этого изменим последовательность поворотов: повернем пластинку сначала вокруг оси на а затем вокруг на (рис. 17.3, б). Как видно, результат одних и тех же поворотов на конечные углы является различным в зависимости от последовательности поворотов.

Теперь проанализируем бесконечно малый поворот. Пусть твердое тело (система обладает одной неподвижной точкой О. Положение этого тела в момент времени определяется углами Эйлера а положение того же тела в момент времени углами . Это означает, что орты т. е. орты системы занимающие в момент соответствующие положения, в момент получают определенные

приращения Согласно теореме Эйлера перемещение тела (системы ) из первого положения во второе можно совершить одним поворотом на определенный угол вокруг определенной оси, проходящей через О. Рассматриваемый бесконечно малый поворот в отличие от конечного поворота можно задать вектором

модуль этого вектора равен углу поворота прямая, на которой расположен вектор, является осью вращения, а направление вектора и соответствующего единичного вектора выбраны так, чтобы поворот казался совершаемым против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора на неподвижную точку О. В общем случае величина и направление вектора могут изменяться со временем. Поэтому ось бесконечно малого поворота, определяемую вектором называют мгновенной осью вращения.

Рис. 17.4

Нетрудно найти приращение любого жестко связанного с системой S вектора, которое он получает в результате поворота системы S на угол вокруг Например, учитывая, что приращение орта перпендикулярно к плоскости, образуемой а величина приращения равна (см. рис. 17.4), приращение можно представить в виде

Аналогично для приращений полученных в результате того же поворота, имеем

Для любого вектора жестко скрепленного с системой найдем

Формула (17.6) позволяет непосредственно убедиться в том, что результат двух бесконечно малых поворотов не зависит от их последовательности. В самом деле, совершая два поворота

радиуса-вектора какой-либо точки твердого тела в разной последовательности, для вектора конечного положения выбранной точки получим

или

где векторы рассматриваемых поворотов. Два последних выражения совпадают с точностью до бесконечно малых высшего порядка по величинам . В связи с этим еще раз подчеркнем, что для конечного поворота нельзя написать определение, аналогичное (17.3), так как конечный поворот некоммутативен, а сложение векторов должно быть коммутативной операцией. Поэтому вектор бесконечно малого поворота был обозначен а не (вектора х не существует!).

Угловую скорость или скорость изменения ориентации системы S относительно системы определим как вектор равный отношению вектора к приращению времени:

Если система S (твердое тело) вращается с угловой скоростью со, то концы базисных векторов движутся относительно системы S с линейными скоростями, соответственно равными (см. (17.4) и

Угловая скорость связана со значениями углов Эйлера и их производными по времени. Установим эту связь, учитывая прежде всего, что в результате поворота, который изображается вектором углы Эйлера получают приращения а указанное изменение ориентации может быть получено также тремя поворотами, осуществленными в любой последовательности, а именно поворотами вокруг на вокруг на и вокруг на Следовательно, вектор поворота равняется сумме трех векторов

а угловая скорость может быть задана в виде

Найдем разложение по ортам системы Для этого умножим (17.10) скалярно на соответственно и выразим

необходимые скалярные произведения ортов через углы Эйлера. Например, проектируя орт на плоскость получим отрезок, перпендикулярный к линии узлов и равный по величине (см. рис. 16.2 и 17.5). Проектируя далее этот отрезок на ось и ось соответственно, найдем (см. также матрицу (16.7))

Кроме того, из определений (16.3) и (16.2) вытекает (см. рис. 16.2), что

Рис. 17.5

Используя полученные выражения, а также то, что базис системы ортонормирован, находим проекции угловой скорости на оси системы

Аналогично, умножая (17.10) скалярно на соответственно и учитывая, что базис S ортонормирован, получим разложение 6) по осям системы

Формулы (17.11) и (17.12) называются кинематическими формулами Эйлера; они устанавливают связь угловой скорости со значениями углов Эйлера и их производными по времени.

Угловая скорость, так же как и вектор (см. стр. 164), в общем случае изменяется и по величине, и по направлению. Приведем выражения модуля угловой скорости

н одного из направляющих косинусов мгновенной оси вращения

Пример 17.1. Регулярная прецессия твердого тела.

Углы Эйлера, определяющие положение твердого тела (системы S) относительно системы заданы как функции времени:

Определить законы движения оси и мгновенной оси вращения твердого тела.

Используя условие и формулы (17.13), (17.12) и (17.11), получим

Отсюда ясно, что в рассматриваемом примере величина угловой скорости и ее проекции на оси сохраняются и, следовательно, углы между и этими осями постоянны. Кроме того, мгновенная ось вращения все время находится в плоскости или, иначе говоря, и линия узлов все время перпендикулярны друг другу. Действительно, из определений (16.2) и (16.3) следует, что

(см. также рис. 16.2). Используя это разложение и разложение по осям системы S, убедимся, что скалярное произведение равно нулю.

Таким образом, система S изменяет свою ориентацию относительно с постоянной (по величине) угловой скоростью (рис. 17.6). Мгновенная ось вращения системы сама вращается вокруг оси с угловой скоростью будучи наклоненной под

Рис. 17.6

постоянным углом к этой оси; косинус угла равен (ср. с (17.4)):

Ось также вращается с угловой скоростью вокруг оси так как она в любой момент времени находится в одной плоскости с вектором и осью Описанное движение твердого тела (или системы отсчета, жестко связанной с ним) называется регулярной прецессией, а угловая скорость — скоростью прецессии.