Глава IV. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТСЧЕТА

Как отмечалось ранее, уравнения Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета. Однако на практике часто встречаются и неинерциальные системы. Поэтому необходимо найти уравнения движения относительно таких систем. При этом естественно исходить из уравнений Ньютона, которые, как известно, содержат массы и ускорения материальных точек, а также силы, действующие на них со стороны других тел. Массы точек и время инвариантны относительно перехода от одной системы отсчета к другой, а силы являются функциями положений и скоростей точек. Таким образом, чтобы вывести интересующие нас уравнения движения, прежде всего нужно выяснить, как преобразуются положения, скорости и ускорения при переходе от инерциальной системы к неинерциальной системе отсчета. В свою очередь для решения этого вопроса следует с кинематической точки зрения проанализировать движение одной произвольной системы отсчета относительно другой произвольной системы отсчета. Кстати напомним, что в классической механике системы отсчета мыслятся связанными с твердыми телами, поэтому кинематика движения одной системы отсчета относительно другой эквивалентна кинематике твердого тела.

§ 16. Положение системы отсчета (твердого тела)

Рассмотрим положение некоторой системы отсчета S с началом в О и ортами относительно системы S с началом в О и ортами (рис. 16.1). Положение начала О относительно системы S определяется вектором который на основании (1.1) можно задать в виде разложения по ортам системы

Рис. 16.1

Ориентацию системы S относительно системы S можно задать с помощью косинусов углов между ортами обеих систем отсчета. Однако среди девяти направляющих косинусов только три

независимых, поскольку подчинены шести условиям ортогональности

Часто вместо трех независимых направляющих косинусов используют три угла Эйлера, которые вводятся следующим образом. Построим наряду с системой S систему начало которой совпадает с началом О, а направления осей — с направлениями соответствующих осей системы S (рис. 16.1 и 16.2). Тогда ориентация системы S относительно системы совпадает с ориентацией S относительно Пересечение плоскостей определяет прямую которая называется линией узлов. Положительное направление на этой линии задается единичным вектором

Углами Эйлера называют углы

Положительное направление отсчета углов определяется обычным для правых систем образом с помощью ортов соответственно. Например, положительным направлением отсчета угла считается направление отсчета против часовой стрелки, если смотреть с конца орта на его основание.

Рис. 16.2

Итак, положение одной произвольной системы отсчета S относительно другой произвольной системы отсчета S определяется в общем случае шестью независимыми величинами: тремя проекциями радиуса-вектора начала системы S и тремя углами Эйлера; углы Эйлера определяют ориентацию системы S относительно системы Этот вывод полностью относится к определению положения твердого тела, в чем легко убедиться, жестко скрепляя «штрихованную» систему отсчета с данным твердым телом.

Рассмотрим простейший случай, когда ориентация системы определяется одним углом. Пусть, например, параллелен т. е. пусть угол Тогда плоскость совпадает с

плоскостью и линию узлов можно провести по любой прямой, проходящей через О в плоскости Оху. Например, совмещая линию узлов с осью (т. е. полагая ), убеждаемся, что ориентация системы действительно определяется одним углом . В этом случае

а формулы преобразования ортов сводятся к формулам

Матрица такого простейшего ортогонального преобразования имеет вид

а ее элементы подчинены условиям (см. (1.4)):

В общем случае матрица А ортогонального преобразования (1.4) определяется тремя углами Эйлера.

Рис. 16.3

Выражение коэффициентов - через углы Эйлера нетрудно получить, если заметить, что преобразование от системы системе S может быть

выполнено тремя последовательными, ортогональными преобразованиями типа (16.4), совершаемыми в определенном порядке, причем соответствующие этим преобразованиям повороты определяются углами Эйлера.

Действительно, перейдем от системы к первой промежуточной системе у которой ось совпадает с линией узлов системы а ось совпадает с такой же осью системы рис. 16.3, а). Система может быть получена из системы поворотом последней на угол Бокруг оси в положительном направлении. Согласно (16.4) преобразование от его матрица определяются формулами

Теперь перейдем от системы ко второй промежуточной системе которой ось совпадает с той же осью системы а ось совпадает с той же осью первой промежуточной системы (рис. 16.3, б). Вторая промежуточная система может быть получена из первой системы поворотом на угол вокруг оси (в положительном направлении). Преобразование от первой ко второй промежуточной системе, согласно (16.4), имеет

а матрица С этого преобразования равна

Наконец, перейдем к системе Она может быть получена поворотом второй промежуточной системы на угол вокруг оси в положительном направлении (рис. 16.3, в). Орты системы S будут связаны с ортами предыдущей системы соотношениями

а матрица этого преобразования будет равна

Все приведенные формулы дают возможность выразить через и углы Эйлера и тем самым определить матрицу преобразования

(1.4) через независимые величины. Эта матрица может быть также получена перемножением матриц В, в порядке, соответствующем последовательности поворотов на углы

Запишем в окончательном виде матрицу преобразования от системы к системе

Обратное преобразование от системы S к системе выражается формулами Матрицу этого преобразования, обратную по отношению к А, обозначают символом Матрица получается из матрицы А заменой строк на столбцы, т. е. является транспонированной по отношению к А. Транспонированную матрицу обозначают символом А. Таким образом, для ортогональной матрицы А имеем