§ 60. Звуковые волны

Рассмотрим звуковые волны в жидкостях и газах, используя модель идеальной жидкости. Пусть среда (в отсутствие объемных сил) находится в равновесном состоянии, которое задано постоянными плотностью и давлением Пусть также по какой-либо

причине в среде возникают малые отклонения плотности и давления от равновесных значений этих величин. Таким образом, плотность и давление среды в возмущенном состоянии будут соответственно равны

где зависят от координат и времени и удовлетворяют условиям:

Найдем уравнения, которым подчинены ограничиваясь линейным приближением. Для этого подставим (60.1) в уравнение непрерывности и уравнение Эйлера и опустим члены второго порядка малости, имея в виду, что величины и скорость частиц являются величинами первого порядка малости (ниже будет показано, что скорость должна быть малой по сравнению со скоростью звука). Тогда полные производные по времени можно заменить частными производными, например,

а из уравнений (56.3) и (56.4) в том же приближении найдем

Ввиду изэнтропичности движения идеальной жидкости между приращениями давления и плотности данной частицы среды имеет место соотношение

— означает производную, взятую при постоянной энтропии в равновесном состоянии. Это соотношение согласно (60.1) можно записать в виде

где

Учитывая, что

и исключая из уравнения (60.4), получим

Наконец, продифференцируем (60.3) частным образом по времени и применим операцию дивергенции к Затем, исключая из полученных выражений — и имея в виду, что лапласиан найдем волновое уравнение

для отклонения плотности от ее равновесного значения. Такому же уравнению подчинено отклонение давления (поскольку пропорционально а также отклонение температуры Т от ее равновесного значения (поскольку Т пропорционально

Теперь убедимся в том, что нестационарное поле скорости подчиненное уравнениям (60.3) и (60.9) (или (60.4)), является потенциальным полем, также удовлетворяющим волновому уравнению. С этой целью воспользуемся теоремой Гельмгольца, согласно которой векторное поле, в частности, поле скорости, может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального полей. Поэтому положим

где — потенциальное поле, т. е.

— соленоидальное поле, т. е.

Подставляя (60.12) в (60.3) и учитывая (60.14), получим

а применяя оператор к (60.9) и используя (60.13), найдем

Из последнего уравнения ясно, что а следовательно, и являются стационарными полями. Таким образом, чтобы рассмотреть нестационарный процесс распространения малых возмущений в среде, можно положить т. е.

Далее подставим (60.17) в уравнения (60.3) и (60.9). Тогда получим

Следует заметить, что уравнение (60.19), вообще говоря, имеет вид

где — произвольная функция времени; однако эту функцию можно приравнять нулю, поскольку скорость определяется производными функции по координатам и, следовательно, без ограничения общности можно заменить на Дифференцируя (60.19) по времени и исключая из (60.18), найдем, что потенциал скорости подчинен волновому уравнению

(применяя к (60.20) оператор можно получить волновое уравнение для скорости

Итак, все малые возмущения равновесного состояния среды подчиняются волновому уравнению с одной и той же постоянной , следовательно, распространяются в виде волн со скоростью, определяемой этой постоянной. Рассматриваемые волны являются волнами с малыми амплитудами и связаны со сжимаемостью жидкости, т. е. с изменением объема частиц среды, поскольку (см. (60.3) и (53.29)). Такие волны называются звуковыми волнами, а постоянная соответственно называется скоростью звука. Ее можно вычислить, зная уравнение адиабаты для данной среды. Например, в случае идеального газа, используя (57.8) и (57.2), получим

Таким образом, скорость звука в идеальном газе примерно равна средней тепловой скорости его молекул.

Если потенциал скорости в звуковой волне зависит от времени и от одной из координат, например от х, то (60.20) сводится к уравнению

которое, как нетрудно убедиться, имеет решение

где — произвольные функции, зависящие от начальных и граничных условий. Из вида решения ясно, что значения одинаковы при значениях аргументов, удовлетворяющих условию Следовательно, функция описывает распространение некоторого возмущения в положительном направлении оси х со скоростью со без искажения начальной формы этого возмущения. Функция описывает аналогичную волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси х. Такие волны называются бегущими плоскими волнами.

Если, возмущения, характеризующие звуковую волну, являются гармоническими функциями времени, то волна называется монохроматической. Важным частным случаем таких воли являются бегущие плоские монохроматические волны. Значение этого класса волн весьма велико, поскольку любую волну можно представить в виде совокупности различных монохроматических плоских волн, т. е. в виде разложения в ряд или интеграл Фурье. Решение волнового уравнения для случая бегущих плоских монохроматических волн должно иметь вид

где постоянные называются соответственно амплитудой, волновым вектором, частотой и начальной фазой волны, а скалярная функция — фазой волны. Приведем также более удобную для вычислений форму вещественной функции (60.24), записанной в виде действительной части от комплексной функции

где — комплексная «амплитуда».

Подставляя (60.25) (или (60.24)) в (60.20), убедимся в том, что Следовательно, а» и должны быть связаны между собой соотношением

при этом волновой вектор полагается равным

где — единичный вектор в направлении распространения волны. Таким образом, волновое уравнение имеет решение

где А — произвольная постоянная.

Решение (60.27) описывает плоскую монохроматическую волну, фронт которой распространяется со скоростью Со в направлении волнового вектора. Действительно, продифференцировав по времени соотношение определяющее данное значение фазы, найдем для скорости с распространения фронта вдоль к, значение Скорость с называется фазовой скоростью. Согласно (60.26) ее можно представить в виде

Отметим также, что соотношение (60.26), характеризующее монохроматическую волну, справедливо в системе отсчета, связанной со средой, в которой распространяется волна (конечно, система связывается со средой в ее невозмущенном состоянии).

Итак, постоянная в полученных выше волновых уравнениях равна фазовой скорости распространения плоской монохроматической звуковой волны или, кратко говоря, скорости звука. Что касается скорости Движения частиц жидкости, то она по направлению колинеарна волновому вектору (в этом случае волна называется продольной), а по величине много меньше скорости звука. Действительно, рассматривая волну с потенциалом

найдем, что

а

С помощью этих выражений из (60.19) получим, что Отсюда ввиду малости по сравнению с следует

Таковы основные свойства плоской монохроматической звуковой волны.

В общем случае может иметь место дисперсия скорости звука, т. е. зависимость фазовой скорости от частоты волны,

Дисперсия звука определяется законом дисперсии, т. е. функцией вида

(см. пример 62.1, а также § 65). Этот закон определяет групповую скорость

т. е. скорость переноса энергии группой монохроматических волн («волновым пакетом»). Фазовая и групповая скорости монохроматической волны (60.27) ввиду отсутствия дисперсии совпадают.

Пример 60.1. Эффект Допплера.

Найти частоту звука, воспринимаемого наблюдателем, движущимся относительно источника звука с постоянной скоростью.

Рассмотрим случай, когда источник звука частоты покоится относительно невозмущенной звуком среды, а наблюдатель движется относительно среды со скоростью V. В системе связанной с источником и средой, фаза монохроматической волны равна причем Совершим преобразование к системе связанной с наблюдателем, и учтем инвариантность фазы, т. е. соотношение

где — волновой вектор и частота звука в системе Тогда получим

Используя соотношение (60.26) (которое выполняется в системе связанной со средой) и вводя угол между направлением распространения волны и скоростью наблюдателя, из (2) окончательно находим

Если же источник звука частоты движется относительно неподвижной среды и наблюдателя со скоростью V, то для частоты, наблюдаемой в системе получим

Из (3) и (4) видно, что частота звука, регистрируемая наблюдателем, движущимся относительно источника звука, отличается от частоты источника (эффект Допплера). Например, из формулы (4) видно, что для удаляющегося источника при к, направленном на наблюдателя) , а для приближающегося источника . Если же , то следовательно, если источник посылает сначала один звуковой сигнал, а затем другой, то более поздний сигнал дойдет до наблюдателя первым.