Глава III. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ

Под задачей двух тел обычно понимают задачу о движении двух взаимодействующих точек в отсутствие внешних сил. Значение этой задачи весьма велико: ее решение лежит в основе небесной механики и теории свободного движения спутников, в основе теории столкновения и рассеяния частиц; ее решение используется в статистической механике, когда задачу о движении многих частиц фактически сводят к статистической задаче двух точек, и т. д.

§ 12. Задача двух тел

Исследуем движение двух точек с массами , если потенциальная энергия их взаимодействия зависит только от расстояния между точками (см. (11.10)), а внешние силы отсутствуют.

Уравнениями движения точек относительно инерциальной системы S являются уравнения (3.5)

где

Один из векторных интегралов уравнений (12.1) очевиден: ввиду отсутствия внешних сил центр масс системы движется относительно S равномерно и прямолинейно (см. (9.18)). Таким образом, скорость центра масс и его радиус-вектор соответственно равны

где — начальные положения и скорости соответствующих точек.

Рассмотрим далее движение точек относительно поступательно движущейся системы центра масс (рис. 12.1). Так называют систему отсчета, начало которой находится в центре масс механической системы, а оси не изменяют своей ориентации относительно системы S (т. е. углы между осями систем и S неизменны).

Рис. 12.1

В данном случае система инерциальна, поскольку центр масс движется равномерно и прямолинейно относительно системы Следовательно, положения, скорости и ускорения точек относительно S и связаны между собой соотношениями (см.

где «нештрихованные» векторы относятся к системе а «штрихованные» — к системе Учитывая инвариантность уравнений движения при переходе от системы S к (см. стр. 47), из (12.1) получим

Однако положения точек 1 и 2 в системе не являются независимыми. Действительно, из определения центра масс (9.1) и определения системы имеем

Поэтому радиус-вектор характеризующий относительное расположение точек, выражается через

а радиусы-векторы связаны с вектором соотношениями

Дифференцируя (12.5) — (12.7) по времени, получаем аналогичные соотношения для скоростей точек

где

Соотношения (12.6) или (12.7) дают возможность разделить переменные в уравнениях (12.4). Действительно, подставляя (12.6) в (12.4), найдем

Отсюда, переходя к переменной сведем оба уравнения к одному и тому же уравнению

где «приведенная» масса. Это уравнение представляет собой уравнение движения одной точки в заданном поле с центром силы, как бы помещенным в центр масс системы двух точек. Таким образом, задача двух тел сводится к эквивалентной задаче о движении очки — воображаемой точки с массой и радиусом-вектором — в центрально-симметричном поле с неподвижным центром, т. е. к задаче, разобранной в § 7.

Поскольку на -точку «действует» центральная стационарная потенциальная сила, имеет место сохранение момента импульса и энергии относительно

Выведем эти интегралы, исходя непосредственно из законов сохранения (10.8) и (11.22). Согласно этим законам кинетический момент и энергия системы двух точек относительно сохраняются:

Выразим момент импульса и кинетическую энергию точки 1 в переменных (см. (12.7) и (12.9)):

Аналогично для второй точки получим

а учитывая (12.14) и (12.15), найдем выражения кинетического момента и кинетической энергии системы в переменных

Следовательно, (12.12) и (12.13) представляют собой одни и те же законы сохранения.

Сопоставляя (12.12) с интегралами (7.1), мы видим, что решение задачи двух тел относительно можно найти сразу, если в формулах (5.13), (7.5) и (7.8) произвести замену

Тогда получим общее решение уравнения (12.11):

где

Смысл первого из интегралов (12.18) очевиден: он определяег плоскость движения -точки. Эта плоскость проходит через центр масс перпендикулярно к т. е. совпадает с плоскостью на рис. 12.1. Второй и третий интегралы определяют движение (а-точки на указанной плоскости в полярных координатах. Таким образом, с помощью интегралов (12.18) можно определить функцию

и тем самым с помощью (12.7) найти положения точек 1 и 2 относительно Затем, используя (12.2) и (12.3), можно найти законы движения точек относительно системы S в виде

Аналогично для скоростей точек относительно 5 получим решение в виде (см. (12.9) и (12.3))

где

Итак, общее решение задачи двух точек, потенциальная энергия взаимодействия которых зависит только от расстояния между ними, в отсутствие внешних сил определяется формулами (12.18), (12.2) и (12.19). Из этих формул следует, что относительно инерциальной системы отсчета центр масс точек движется равномерно и прямолинейно, а обе точки относительно системы центра масс совершают движение в плоскости, проходящей через центр масс и сохраняющей свою ориентацию относительно инерциальной системы отсчета; траектории обеих точек относительно системы центра масс подобны, а центр подобия находится в центг масс, причем соотношение подобия равно отношению масс точек.

Проиллюстрируем задачу двух тел на примере системы с потенциальной энергией взаимодействия (см.

где а равняется либо (гравитационное взаимодействие), либо (электростатическое взаимодействие). В этом случае общее решение аналогично решению, приведенному в § 8. Например, производя в формуле (8.3) замену (12.17), получим уравнение орбиты -точки

где - параметр орбиты, эксцентриситет орбиты, значение в знаменателе формулы соответствует случаю а значение случаю

Закон движения -точки по эллиптической орбите найдем формулы (8.10):

где большая полуось эллипса, по которому движется -точка, — квадрат периода обращения по эллипсу, а определены в (12.21).

Чтобы представить себе движение реальных точек относительно рассмотрим их движение по эллиптическим орбитам при различных соотношениях масс и заданных рае. Например пусть , тогда выражения радиусов-векторов точек через; радиус-вектор -точки можно записать в виде (см. (12.7))

если

Таким образом, если -точка движется по эллипсу, то и реальные точки описывают эллиптические орбиты (рис. 12.2).

Рис. 12.2

Рассмотренные случаи дают представление о движении систем: планета — Солнце и двойные звезды соответственно.

Полезно найти соотношения между периодом обращения точек по эллиптическим орбитам и их большими полуосями. Например, в случае гравитационного притяжения для -точки

Периоды обращения точек 1 и 2, очевидно, равны периоду Т. С другой стороны, большие полуоси орбит этих точек выражаются через а, поскольку из (12.7) вытекает, что

и, следовательно,

где — большие полуоси эллиптических орбит точек 1 и 2 соответственно. Таким образом, найдем отношения квадрата периода Т к кубам больших полуосей и а

Эти отношения зависят от масс точек, в связи с чем становится понятной приближенность третьего закона Кеплера, приведенного на стр. 89. Действительно, поскольку масса любой планеты весьма мала по сравнению с массой Солнца, то отношение для любых двух планет одинаково с большой точностью.

Теперь применим к рассматриваемой задаче теорему о вириале сил в том случае, когда точки движутся по эллипсам. Согласно формуле (6.38), отнесенной к -системе, получим

Подставляя сюда выражения сил через потенциальную энергию найдем соотношение

которое для потенциала вида (8.1) упрощается

Кроме того, поскольку приводи, к формулам

которые определяют средние значения кинетической и лотенциальной энергий системы через ее полную энергию в начальный, момент времени.