Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава III. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦПод задачей двух тел обычно понимают задачу о движении двух взаимодействующих точек в отсутствие внешних сил. Значение этой задачи весьма велико: ее решение лежит в основе небесной механики и теории свободного движения спутников, в основе теории столкновения и рассеяния частиц; ее решение используется в статистической механике, когда задачу о движении многих частиц фактически сводят к статистической задаче двух точек, и т. д. § 12. Задача двух телИсследуем движение двух точек с массами Уравнениями движения точек относительно инерциальной системы S являются уравнения (3.5)
где Один из векторных интегралов уравнений (12.1) очевиден: ввиду отсутствия внешних сил центр масс системы движется относительно S равномерно и прямолинейно (см. (9.18)). Таким образом, скорость центра масс и его радиус-вектор соответственно равны
где Рассмотрим далее движение точек относительно поступательно движущейся системы центра масс
Рис. 12.1 В данном случае система
где «нештрихованные» векторы относятся к системе
Однако положения точек 1 и 2 в системе
Поэтому радиус-вектор
а радиусы-векторы
Дифференцируя (12.5) — (12.7) по времени, получаем аналогичные соотношения для скоростей точек
где Соотношения (12.6) или (12.7) дают возможность разделить переменные в уравнениях (12.4). Действительно, подставляя (12.6) в (12.4), найдем
Отсюда, переходя к переменной
где Поскольку на
Выведем эти интегралы, исходя непосредственно из законов сохранения (10.8) и (11.22). Согласно этим законам кинетический момент и энергия системы двух точек относительно
Выразим момент импульса и кинетическую энергию точки 1 в переменных
Аналогично для второй точки получим
а учитывая (12.14) и (12.15), найдем выражения кинетического момента и кинетической энергии системы в переменных
Следовательно, (12.12) и (12.13) представляют собой одни и те же законы сохранения. Сопоставляя (12.12) с интегралами (7.1), мы видим, что решение задачи двух тел относительно
Тогда получим общее решение уравнения (12.11):
где Смысл первого из интегралов (12.18) очевиден: он определяег плоскость движения
Аналогично для скоростей точек относительно 5 получим решение в виде (см. (12.9) и (12.3))
где Итак, общее решение задачи двух точек, потенциальная энергия взаимодействия которых зависит только от расстояния между ними, в отсутствие внешних сил определяется формулами (12.18), (12.2) и (12.19). Из этих формул следует, что относительно инерциальной системы отсчета центр масс точек движется равномерно и прямолинейно, а обе точки относительно системы центра масс совершают движение в плоскости, проходящей через центр масс и сохраняющей свою ориентацию относительно инерциальной системы отсчета; траектории обеих точек относительно системы центра масс подобны, а центр подобия находится в центг Проиллюстрируем задачу двух тел на примере системы с потенциальной энергией взаимодействия (см.
где а равняется либо
где Закон движения
где Чтобы представить себе движение реальных точек
если
Таким образом, если
Рис. 12.2 Рассмотренные случаи дают представление о движении систем: планета — Солнце и двойные звезды соответственно. Полезно найти соотношения между периодом обращения точек по эллиптическим орбитам и их большими полуосями. Например, в случае гравитационного притяжения для
Периоды обращения точек 1 и 2, очевидно, равны периоду Т. С другой стороны, большие полуоси орбит этих точек выражаются через а, поскольку из (12.7) вытекает, что
и, следовательно,
где
Теперь применим к рассматриваемой задаче теорему о вириале сил в том случае, когда точки движутся по эллипсам. Согласно формуле (6.38), отнесенной к
Подставляя сюда выражения сил через потенциальную энергию
которое для потенциала вида (8.1) упрощается
Кроме того, поскольку
которые определяют средние значения кинетической и лотенциальной энергий системы через ее полную энергию в начальный, момент времени.
|
1 |
Оглавление
|