Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 11. Законы изменения и сохранения энергии системыУмножим
где
где В отличие от изменений импульса и кинетического момента изменение кинетической энергии зависит как от внешних, так и от внутренних сил. Чтобы убедиться в этом, представим работу внутренних сил в виде (см. (9.10) и (3.6))
Поскольку перемещения различных точек под воздействием даже одинаковых сил, вообще говоря, различны, т. е.
то
Теперь рассмотрим закон изменения кинетической энергии (11.2) в предположении, что сумма всех внешних сил, действующих на
(здесь индексами
найдем, что
Так как потенциальные силы удовлетворяют условию (6,3), то
где
где Предположим, что потенциальная энергия взаимодействия любой пары точек системы задается функцией
Тогда для потенциальных сил взаимодействия точек находим
Нетрудно убедиться, что эти силы удовлетворяют закону действия и противодействия (3.6), а их элементарная работа равна
Суммируя (11.12) по всем парам точек системы, получим работу всех внутренних потенциальных сил в виде
где Потенциальную энергию
При допущениях (11.8) и (11.10) потенциальная энергия системы имеет вид
Полная механическая энергия Е системы (или, кратко, энергия системы) определяется как сумма кинетической и потенциальной энергий системы
Основываясь на законе изменения кинетической энергии (11.2) и используя (11.7), (11.9), (11.13) и (11.16), получим
где
С помощью этого закона изменения механической энергии системы относительно инерциальной системы отсчета получим закон сохранения механической энергии системы. Действительно, если потенциальная энергия системы во внешних полях явно от времени не зависит, а диссипативные силы (внешние и внутренние) отсутствуют, т. е. если
то механическая энергия системы сохраняется:
Такую систему называют консервативной. Энергия может сохраняться также и в том случае, когда убыль энергии за счет диссипативных сил компенсируется поступлением энергии в систему. Тогда
причем
(см. (6.24)). Механическая энергия замкнутой системы сохраняется, если внутренние диссипативные силы отсутствуют:
Если же внутренние диссипативные силы отличны от нуля, то механическая энергия замкнутой системы убывает, т. е.
где В заключение сделаем ряд общих замечаний о законах изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии. Законы изменения
представляют собой семь уравнений, которые при определенных свойствах сил приводят к законам сохранения. В случае замкнутой системы в отсутствие внутренних диссипативных сил число интегралов движения, вытекающих из законов сохранения, максимально, а именно в этом случае имеем семь первых и три вторых интеграла
т. е. десять классических интегралов механики. Законы сохранения могут иметь место для систем с любым числом точек, в связи с чем они являются важнейшим орудием исследований. Например, изучение свойств газа, состоящего из очень большого числа молекул, основано на законах сохранения. В настоящей главе законы сохранения были получены как следствие уравнений движения Ньютона. Поэтому они связаны со свойствами пространства и времени, которые постулируются в классической механике. Эту связь лучше рассмотреть на примере замкнутой системы (см. приложение 51.1, а также [21, §§ 6—9]). Оказывается, что сохранение импульса связано с однородностью пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого. Сохранение момента связано с изотропией пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не изменяются при любом повороте системы как целого. А сохранение механической энергии связано с однородностью времени, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом «переносе» системы во времени. Наконец, подчеркнем, что законы сохранения справедливы и в таких замкнутых системах, когда движение объекта не описывается уравнениями Ньютона. Следовательно, значение законов сохранения импульса, момента и энергии выходит далеко за рамки классической механики. Пример 11.1. Зависимость скоростей планет от их расстояний до Солнца и их расстояний между собой. Рассмотрим солнечную систему как систему, состоящую из
Используя третий закон и закон всемирного тяготения (2.15), получим, что
Таким образом, интеграл энергии (11.20) можно записать в виде
где
Исключая с помощью (3) из интеграла (2) скорость
Таким образом, изменение расстояний от планет до Солнца и расстояний между планетами приводит В интеграле (4) вторая и четвертая суммы малы по сравнению с первой и третьей суммами соответственно, так как
|
1 |
Оглавление
|