§ 11. Законы изменения и сохранения энергии системы

Умножим -тое уравнение системы (3.5) скалярно на перемещение соответствующей точки и учтем разделение сил на внутренние и внешние (см. (9.10)). Тогда аналогично тому, как было получено (6.1), получим выражение для изменения кинетической энергии -той точки

где — кинетическая энергия -той точки, и — работы внутренней и внешней сил на элементарном перемещении -той точки соответственно. Суммируя (11.1) по всем точкам, находим

где кинетическая энергия системы, равная сумме кинетических энергий точек, — элементарная работа всех внутренних сил, — элементарная работа всех внешних сил. Итак, дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех внутренних и внешних сил, действующих на точки системы.

В отличие от изменений импульса и кинетического момента изменение кинетической энергии зависит как от внешних, так и от внутренних сил. Чтобы убедиться в этом, представим работу внутренних сил в виде (см. (9.10) и (3.6))

Поскольку перемещения различных точек под воздействием даже одинаковых сил, вообще говоря, различны, т. е.

то

Теперь рассмотрим закон изменения кинетической энергии (11.2) в предположении, что сумма всех внешних сил, действующих на -тую точку системы, и сумма всех внутренних сил, действующих на ту же точку, соответственно равны:

(здесь индексами обозначены соответственно потенциальные, гироскопические и диссипативные силы). Учитывая, что гироскопические силы не совершают работы (см. (6.22)), т. е.

найдем, что

Так как потенциальные силы удовлетворяют условию (6,3), то

где потенциальная энергия -той точки во внешнем потенциальном поле, а символом обозначен оператор «набла» (см. стр. 69), где дифференцирование производится по координатам -той точки. Используя (11.8), получим выражение для работы внешних потенциальных сил (см. (6.18)):

где — потенциальная энергия системы во внешних полях.

Предположим, что потенциальная энергия взаимодействия любой пары точек системы задается функцией

Тогда для потенциальных сил взаимодействия точек находим

Нетрудно убедиться, что эти силы удовлетворяют закону действия и противодействия (3.6), а их элементарная работа равна

Суммируя (11.12) по всем парам точек системы, получим работу всех внутренних потенциальных сил в виде

где — внутренняя потенциальная энергия системы.

Потенциальную энергию системы определяют как сумму ее потенциальной энергии во внешних полях и внутренней потенциальной энергии:

При допущениях (11.8) и (11.10) потенциальная энергия системы имеет вид

Полная механическая энергия Е системы (или, кратко, энергия системы) определяется как сумма кинетической и потенциальной энергий системы

Основываясь на законе изменения кинетической энергии (11.2) и используя (11.7), (11.9), (11.13) и (11.16), получим

где сумма внутренних и внешних диссипативных сил, действующих на -тую точку. Разделим левую и правую части (11.17) на элемент времени тогда найдем, что полная производная механической энергии системы по времени равна сумме частной производной потенциальной энергии системы во внешних полях по времени и мощности диссипативных внутренних и внешних сил, действующих на точки системы:

С помощью этого закона изменения механической энергии системы относительно инерциальной системы отсчета получим закон сохранения механической энергии системы. Действительно, если потенциальная энергия системы во внешних полях явно от времени не зависит, а диссипативные силы (внешние и внутренние) отсутствуют, т. е. если

то механическая энергия системы сохраняется:

Такую систему называют консервативной.

Энергия может сохраняться также и в том случае, когда убыль энергии за счет диссипативных сил компенсируется поступлением энергии в систему. Тогда

причем

(см. (6.24)).

Механическая энергия замкнутой системы сохраняется, если внутренние диссипативные силы отсутствуют:

Если же внутренние диссипативные силы отличны от нуля, то механическая энергия замкнутой системы убывает, т. е.

где Однако это не означает исчезновения энергии: наличие диссипативных сил приводит к превращению механической энергии в определенное количество теплоты. В связи с этим подчеркнем, что закон сохранения механической энергии является частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения энергии всех форм движения материи, согласно которому формы движения «при известных обстоятельствах... переходят друг в друга», «и притом так, что данному количеству энергии в одной форме всегда соответствует определенное количество энергии в какой-либо другой форме». Например, механическая энергия движущихся зарядов, излучающих электромагнитные волны, превращается в энергию этого излучения. Закон сохранения энергии, учитывающий изменение энергии за счет излучения, формулируется в электродинамике. Что касается закона сохранения энергии, учитывающего передачу тепла, то он изучается в термодинамике. Полученный выше закон сохранения механической энергии представлят собой лишь закон превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

В заключение сделаем ряд общих замечаний о законах изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии.

Законы изменения

представляют собой семь уравнений, которые при определенных свойствах сил приводят к законам сохранения.

В случае замкнутой системы в отсутствие внутренних диссипативных сил число интегралов движения, вытекающих из законов сохранения, максимально, а именно в этом случае имеем семь первых и три вторых интеграла

т. е. десять классических интегралов механики.

Законы сохранения могут иметь место для систем с любым числом точек, в связи с чем они являются важнейшим орудием исследований. Например, изучение свойств газа, состоящего из очень большого числа молекул, основано на законах сохранения.

В настоящей главе законы сохранения были получены как следствие уравнений движения Ньютона. Поэтому они связаны со свойствами пространства и времени, которые постулируются в классической механике. Эту связь лучше рассмотреть на примере замкнутой системы (см. приложение 51.1, а также [21, §§ 6—9]). Оказывается, что сохранение импульса связано с однородностью пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого. Сохранение момента связано с изотропией пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не изменяются при любом повороте системы как целого. А сохранение механической энергии связано с однородностью времени, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом «переносе» системы во времени.

Наконец, подчеркнем, что законы сохранения справедливы и в таких замкнутых системах, когда движение объекта не описывается уравнениями Ньютона. Следовательно, значение законов сохранения импульса, момента и энергии выходит далеко за рамки классической механики.

Пример 11.1. Зависимость скоростей планет от их расстояний до Солнца и их расстояний между собой.

Рассмотрим солнечную систему как систему, состоящую из материальных точек (планет) и Солнца — одной точки весьма большой массы по сравнению с массами прочих точек. Поскольку эту систему можно считать замкнутой, ее центр масс движется равномерно и прямолинейно. Если пренебречь процессами излучения и диссипации, то механическую энергию системы можно считать постоянной. Найдем интеграл энергии относительно инерциальной системы отсчета с началом в центре масс солнечной системы. Для этого вычислим потенциальную энергию взаимодействия любой пары точек (см. (11.12)):

Используя третий закон и закон всемирного тяготения (2.15), получим, что

Таким образом, интеграл энергии (11.20) можно записать в виде

где — масса и скорость -той планеты, — масса и скорость Солнца. Учитывая, что в системе центра масс установим связь между скоростью Солнца и скоростями планет (см. (9.2)):

Исключая с помощью (3) из интеграла (2) скорость получим соотношение между скоростями планет их взаимными расстояниями гц и расстояниями до Солнца

Таким образом, изменение расстояний от планет до Солнца и расстояний между планетами приводит к изменению скоростей планет.

В интеграле (4) вторая и четвертая суммы малы по сравнению с первой и третьей суммами соответственно, так как Пренебрежение указанными малыми членами равносильно пренебрежению воздействием планет на движение Солнца и друг на друга, т. е. равносильно допущению о том, что каждая планета движется только под воздействием Солнца. При таком допущении вместо интеграла (4) будут иметь место интегралы энергий для каждой планеты в центрально-симметричном поле Солнца (см. (7.1) и (8.1)):