§ 54. Законы сохранения массы, изменения импульса и кинетического момента

Рассмотренные в § 52 поля плотности и скорости связаны друг с другом уравнением, вытекающим из закона сохранения массы. Чтобы убедиться в этом, проследим за движением данной частицы массы . Поскольку эта масса неизменна, то

Здесь использована полная производная по времени, так как эта производная характеризует изменение во времени величины, связанной с движущейся в пространстве частицей, в данном случае изменение величины (полную производную по времени часто называют субстанциональной производной). Напомним, что в отличие от полной производной частная производная по времени характеризует изменение некоторой величины со временем в данной точке пространства (частную производную по времени называют также локальной производной).

Учитывая, что из (54.1) получим соотношение

в котором скорость относительного изменения объема частицы определяется полем скоростей согласно (53.29). Таким образом, найдем уравнение, связывающее поля плотности и скорости,

Оно называется уравнением непрерывности. Далее, используя выражение для полной производной по времени от плотности частицы

получим уравнение непрерывности в другой форме, чаще употребляемой в теоретической физике,

В тензорных обозначениях уравнение непрерывности приобретает вид:

Это дифференциальное уравнение связано с определенным интегральным соотношением. Чтобы получить его, рассмотрим фиксированный объем пространства, для которого согласно (54.4)

Теперь с помощью формулы Остроградского преобразуем объемный интеграл от дивергенции в поверхностный интеграл [65, стр. 188]:

здесь — замкнутая поверхность, ограничивающая объем — «элемент поверхности», т. е. вектор, равный по абсолютной величине площади элемента поверхности и направленный по орту определяющему внешнюю нормаль этому элементу. В результате придем к искомому интегральному соотношению

согласно которому скорость изменения массы среды в объеме Ко пространства равна разности масс частиц среды, втекающих и вытекающих за единицу времени через поверхность охватывающую объем соответствии с принятым определением нормали скорость изменения массы положительна, если поверхностный интеграл отрицателен, т. е. массы втекающих частиц больше, чем масса вытекающих; в противном случае скорость изменения массы будет отрицательна). Вектор называется плотностью потока среды.

Продолжая изучать движение данной частицы массы и учитывая определение ее скорости как усредненной скорости центра масс, напишем закон изменения импульса частицы в виде:

Здесь — сумма внешних сил, приложенных к частице. Эта сила зависит от положения частицы и времени, т. е. должна быть задана векторным полем. Силу следует рассматривать как результат усреднения правой части закона изменения импульса всех молекул, из которых состоит данная частица среды (см. (9.15)). Сила обусловлена, во-первых, силами взаимодействия молекул среды друг с другом и, во-вторых, включает в себя внешние по отношению ко всей среде силовые поля. Будем рассматривать среду с весьма малым радиусом действия межмолекулярных сил. Тогда сила, с которой физически бесконечно малые частицы среды действуют на данную частицу, проявляется только в тонком поверхностном слое этой частицы. Толщиной такого слоя в механике сплошных сред заведомо пренебрегают, а силы, с которыми соседние частицы среды действуют друг на друга, считают поверхностными силами. Что касается внешних силовых полей, то они практически одинаково действуют на все молекулы, находящиеся в объеме . Поэтому эти силы называются объемными силами (если эти силы пропорциональны массе частицы, то их называют массовыми силами). Такими силами являются гравитационные и электромагнитные силы, а также силы инерции, которые появляются при изучении движения среды относительно неинерциальных систем отсчета.

Итак, в механике сплошных сред предполагается, что сумма всех сил, приложенных к данной частице массы может быть представлена в виде

где поверхностная сила, приложенная к элементарной площадке поверхности частицы, Да — поверхность частицы, объемная сила, приходящаяся на единицу массы. Относительно поверхностной силы предполагается, что она зависит от ориентации площадки, т. е. от направления вектора а также пропорциональна величине этой площадки (рис. 54.1). Иначе говоря предполагается, что поверхностная сила имеет вид

т. е. определяется совокупностью величин и зависит от компонент вектора , а именно, от (здесь — косинус угла между ортом и координатной осью с ортом ).

Совокупность величин называется тензором напряжений. Компоненты этого тензора являются функциями и определяют поле напряжений в среде.

Рис. 54.1

Рис. 54.2

Компонента тензора напряжений представляет собой -тую компоненту силы, действующую на единицу поверхности, перпендикулярной оси . Например, на площадку, перпендикулярную к оси х (вектор ds такой площадки направлен вдоль х), действует сила (рис. 54.2). Проекции этой силы соответственно равны:

Отсюда видно, что — нормальная по отношению к рассматриваемой площадке компонента плотности силы, а — касательные компоненты плотности силы.

Теперь преобразуем суммарную поверхностную силу, действующую на данную частицу, используя (54.10), теорему Остроградского и учитывая малость частицы

Наконец, используя (54.8), (54.9), (54.11) и сокращая все члены полученного уравнения на придем к уравнениям движения сплошной среды

где полная производная по времени

Теперь убедимся в том, что закон изменения кинетического момента частицы приводит к требованию симметрии тензора напряжений. По аналогии с (21.6) и (21.7) положим, что кинетический момент частицы и момент сил, действующих на нее, соответственно равны

При этом момент центра масс частицы пропорционален , следовательно, является малой величиной порядка — характерный размер частицы). В то же время момент М относительно поступательно движущейся системы центра масс частицы пропорционален т. е. является величиной порядка . Момент сил относительно центра масс частицы также является величиной более высокого порядка малости по сравнению с другими моментами сил в (54.14). Следовательно, слагаемыми М и в (54.14) можно пренебречь. Тогда, учитывая (54.1) и (52.1),

получим закон изменения кинетического момента частицы в виде

Далее спроектируем обе части (54.15) на координатные оси, для чего выразим компоненты векторных произведений через компоненты векторов-сомножителей, т. е. запишем момент ускорения и моменты сил в виде антисимметричного тензора второго ранга (см., например, (53.10)). Тогда получим

Затем преобразуем первый поверхностный интеграл из (54.16), используя (54.10) и формулу Остроградского. В результате найдем, что

Но

где — символ Кронекера. Поэтому

Наконец, получая аналогичное (54.17) выражение для второго поверхностного интеграла из (54.16), вместо (54.16), найдем

Отсюда, ввиду уравнений движения (54.12), получим, что

Таким образом, тензор напряжений является симметричным тензором, т. е. представляет собой совокупность шести независимых, компонент.