Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 49. Канонические преобразованияКаноническими преобразованиями называются такие преобразования канонических переменных, которые не изменяют общей формы уравнений (42.15) для любой гамильтоновой системы. Эти преобразования дают возможность свести задачу о движении системы с данным гамильтонианом к задаче о системе с более простым гамильтонианом, в связи с чем метод канонических преобразований имеет большое значение. Итак, преобразование
называется каноническим, если оно преобразует уравнения Гамильтона с любой функцией Н
также в канонические уравнения с другой, вообще говоря, функцией Гамильтона:
Найдем условие каноничности преобразования (49.1). Из определения канонических преобразований следует, что как в «старых» переменных
где, согласно (49.1), контуры Тогда контур
Учитывая, что интеграл
из (49.5) найдем
где «новые» переменные должны быть выражены через «старые» с помощью (49.1). Ввиду произвольности контура
Подчеркнем, что исходные равенства (49.4) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнения движения в переменных В связи с отмеченной ролью функция Ф называется производящей функцией. Эта функция является функцией связанных между собой соотношениями (49.1). Например, при выводе условия (49.8) функция Ф считалась функцией
и выражая с помощью (49.1) «старые» импульсы через «старые» и «новые» координаты
представим производящую функцию в виде
Рассмотрим наиболее распространенный случай канонических преобразований, когда
Если аргументами являются «старые» и «новые» координаты, то, записывая основное тождество (49.8) в виде
получим формулы, определяющие каноническое преобразование:
а также соотношение между «новой» и «старой» функциями Гамильтона
Действительно, записывая (49.14) в виде (см. (49.11))
и выражая с помощью функций
Если в качестве аргументов производящей функции выбрать вторую группу переменных из (49.12), то вместо Ф] следует взять производящую функцию (ср. с (42.1))
(преобразование от
а формулы, определяющие каноническое преобразование, и соотношение между функциями Гамильтона
при этом функция
должен отличаться от нуля. Переход к третьей группе переменных (см. (49.12)), выполняемый с помощью функции
приводит к основному тождеству
а также к формулам канонического преобразования
и соотношению для функций Гамильтона
при этом якобиан с элементами
должен отличаться от нуля. Заметим, что формулы канонического преобразования в переменных Наконец, используя производящую функцию
получим основное тождество, формулы преобразования и соотношение для функций Гамильтона в виде
при условии неравенства нулю якобиана с элементами
Теперь убедимся, что якобиан канонического преобразования равен единице. В самом деле, используя известное свойство якобианов, его можно записать, например, в виде такой дроби:
здесь числитель и знаменатель соответственно равны
Отсюда, учитывая, что, согласно (49.22), последние два якобиана равны между собой, получим (ср. с (43.13))
В качестве примера простейшего канонического преобразования приведем тождественное преобразование
определяемое производящей функцией (см. (49.20))
Пример 49.1. Простейшие канонические преобразования. 1. Производящая функция
определяет (см. (49.14)) преобразование
которое по существу эквивалентно переобозначению импульсов и координат. 2. Функция
определяет (см. (49.20)) преобразование инверсии в фазовом пространстве
3. Линейное преобразование переменных
для системы с одной степенью свободы будет каноническим, если постоянные
Пользуясь условием каноничности (49.13) в виде
найдем производящую функцию рассматриваемого преобразования. Подставляя сюда исходные функции и учитывая, что якобиан преобразования равен единице, получим
откуда
Если
(например, преобразование этого типа используется при анализе явления сверхпроводимости металлов). Пример 49.2. Точечные преобразования. 1. Согласно формулам канонических преобразований «новые» коордииаты, вообще говоря, зависят как от «старых» координат, определяющих положение системы, так и от «старых» импульсов. Поэтому с помощью «новых» координат нельзя задать положения системы, и только совокупность всех «новых» переменных
(здесь
2. Если производящая функция имеет вид
где
то, используя формулы (49.20), найдем
Умножая каждое из
Следовательно, рассматриваемое каноническое преобразование представляет собой совокупность точечного ортогонального преобразования (2) и ортогонального преобразования обобщенных импульсов
3. Преобразование от декартовых координат точки к ее цилиндрическим координатам можно осуществить с помощью производящей функции
которая также приводит к точечным преобразованиям (см. (49.25)). Положим, что «старые» координаты
и (49.25), найдем формулы преобразования координат и обобщенных импульсов
Замечая, что производящая функция
к новым переменным, получим
Нспользуя производящую функцию
перейдем от цилиндрических координат к сферическим координатам
а, учитывая (49.21) и преобразование (2), вместо «старого» гамильтониана получим гамильтониан в сферических переменных
Пример 49.3. Неизотропный пространственный осциллятор. Пусть на точку действует сила, проекции которой на декартовы оси равны
Найти общее решение уравнения движения точки методом канонических преобразований. Запишем гамильтониан рассматриваемого осциллятора в декартовых координатах:
и совершим каноническое преобразование к «новым» переменным
где
(здесь символами Записывая (3) в виде
и подставляя (4) в (1), найдем гамильтониан осциллятора в «новых» переменных
Полагая здесь
которая не зависит от координат
откуда найдем решение
Решение в «старых» (декартовых) переменных
можно получить, используя (4) и (8).
|
1 |
Оглавление
|