§ 49. Канонические преобразования

Каноническими преобразованиями называются такие преобразования канонических переменных, которые не изменяют общей формы уравнений (42.15) для любой гамильтоновой

системы. Эти преобразования дают возможность свести задачу о движении системы с данным гамильтонианом к задаче о системе с более простым гамильтонианом, в связи с чем метод канонических преобразований имеет большое значение. Итак, преобразование

называется каноническим, если оно преобразует уравнения Гамильтона с любой функцией Н

также в канонические уравнения с другой, вообще говоря, функцией Гамильтона:

Найдем условие каноничности преобразования (49.1). Из определения канонических преобразований следует, что как в «старых» переменных так и в «новых» переменных уравнения движения должны иметь каноническую форму. Следовательно, и в «старых», и в «новых» переменных должны выполняться условия инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана (48.9)

где, согласно (49.1), контуры преобразуются в контуры соответственно. Пользуясь произвольностью контура , составим его из фазовых точек расширенного пространства соответствующих «одновременному состоянию»

Тогда контур будет состоять из «точек» пространства для которых также поскольку канонические преобразования не преобразуют время При таком выборе контура вместо (49.4) получим

Учитывая, что интеграл преобразованный к «старым» переменным, согласно теореме об единственности интегрального инварианта Пуанкаре (см. (48.35)), равен

из (49.5) найдем

где «новые» переменные должны быть выражены через «старые» с помощью (49.1). Ввиду произвольности контура подынтегральное выражение в (49.7) будет полным дифференциалом — некоторой функции переменных , т. е.

Подчеркнем, что исходные равенства (49.4) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнения движения в переменных и переменных были каноническими. Следовательно, тождественное удовлетворение равенства (49.8) данным преобразованием (49.1) при некоторой функции Ф и постоянной с является необходимым и достаточным условием каноничности этого преобразования. Иначе говоря, если дано каноническое преобразование, то оно обращает (49.8) в Тождество при некоторой функции постоянной с; и, обратно, если дана произвольная функция Ф и постоянная с, то преобразование вида (49.1), обращающее (49.8) в тождество, является каноническим.

В связи с отмеченной ролью функция Ф называется производящей функцией. Эта функция является функцией независимых переменных, в число которых входит время и координат и импульсов, причем они могут быть выбраны произвольно из «старых» и «новых» координат и импульсов,

связанных между собой соотношениями (49.1). Например, при выводе условия (49.8) функция Ф считалась функцией и . Допуская, что

и выражая с помощью (49.1) «старые» импульсы через «старые» и «новые» координаты

представим производящую функцию в виде

Рассмотрим наиболее распространенный случай канонических преобразований, когда , а в качестве аргументов производящей функции взят один из следующих наборов переменных:

Если аргументами являются «старые» и «новые» координаты, то, записывая основное тождество (49.8) в виде

получим формулы, определяющие каноническое преобразование:

а также соотношение между «новой» и «старой» функциями Гамильтона

Действительно, записывая (49.14) в виде (см. (49.11))

и выражая с помощью первых соотношений «новые» координаты через и в результате подстановки в функции получим все формулы канонического преобразования (49.1). При этом следует иметь в виду, что определение как

функций возможно лишь при отличном от нуля якобиане с элементами

Если в качестве аргументов производящей функции выбрать вторую группу переменных из (49.12), то вместо Ф] следует взять производящую функцию (ср. с (42.1))

(преобразование от к является преобразованием Лежандра). Тогда условие каноничности (49.13) перейдет в условие

а формулы, определяющие каноническое преобразование, и соотношение между функциями Гамильтона примут вид

при этом функция должна удовлетворять требованию, аналогичному (49.17): якобиан с элементами

должен отличаться от нуля.

Переход к третьей группе переменных (см. (49.12)), выполняемый с помощью функции

приводит к основному тождеству

а также к формулам канонического преобразования

и соотношению для функций Гамильтона

при этом якобиан с элементами

должен отличаться от нуля. Заметим, что формулы канонического преобразования в переменных по существу эквивалентны, так как наименования «старые» координаты и «новые» импульсы или «новые» координаты и «старые» импульсы относительны.

Наконец, используя производящую функцию

получим основное тождество, формулы преобразования и соотношение для функций Гамильтона в виде

при условии неравенства нулю якобиана с элементами

Теперь убедимся, что якобиан канонического преобразования равен единице. В самом деле, используя известное свойство якобианов, его можно записать, например, в виде такой дроби:

здесь числитель и знаменатель соответственно равны

Отсюда, учитывая, что, согласно (49.22), последние два якобиана равны между собой, получим (ср. с (43.13))

В качестве примера простейшего канонического преобразования приведем тождественное преобразование

определяемое производящей функцией (см. (49.20))

Пример 49.1. Простейшие канонические преобразования.

1. Производящая функция

определяет (см. (49.14)) преобразование

которое по существу эквивалентно переобозначению импульсов и координат.

2. Функция

определяет (см. (49.20)) преобразование инверсии в фазовом пространстве

3. Линейное преобразование переменных

для системы с одной степенью свободы будет каноническим, если постоянные удовлетворяют условию (см. (49.36))

Пользуясь условием каноничности (49.13) в виде

найдем производящую функцию рассматриваемого преобразования. Подставляя сюда исходные функции и учитывая, что якобиан преобразования равен единице, получим

откуда

Если преобразование, условие его каноничности и производящая функция принимают вид

(например, преобразование этого типа используется при анализе явления сверхпроводимости металлов).

Пример 49.2. Точечные преобразования.

1. Согласно формулам канонических преобразований «новые» коордииаты, вообще говоря, зависят как от «старых» координат, определяющих положение системы, так и от «старых» импульсов. Поэтому с помощью «новых» координат нельзя задать положения системы, и только совокупность всех «новых» переменных определяет положения и скорости точек механической системы. Однако в частном случае канонических преобразований с производящей функцией

(здесь — произвольные независимые функции) «новые» координаты будут определять положение системы. Действительно, используя (1) и (49.20), получим точечные преобразования (см.

2. Если производящая функция имеет вид

где а постоянные коэффициенты удовлетворяют условию ортогональности

то, используя формулы (49.20), найдем

Умножая каждое из уравнений (1) на и суммируя результаты по получим

Следовательно, рассматриваемое каноническое преобразование представляет собой совокупность точечного ортогонального преобразования (2) и ортогонального преобразования обобщенных импульсов

3. Преобразование от декартовых координат точки к ее цилиндрическим координатам можно осуществить с помощью производящей функции

которая также приводит к точечным преобразованиям (см. (49.25)). Положим, что «старые» координаты соответственно равны декартовым координатам точки х, у и z, а «новые» координаты соответственно равны цилиндрическим координатам точки Тогда, используя функцию

и (49.25), найдем формулы преобразования координат и обобщенных импульсов

Замечая, что производящая функция явно от времени не зависит, и преобразуя с помощью формул (1) «старый» гамильтониан

к новым переменным, получим

Нспользуя производящую функцию

перейдем от цилиндрических координат к сферическим координатам Тогда, согласно (49.20), найдем

а, учитывая (49.21) и преобразование (2), вместо «старого» гамильтониана получим гамильтониан в сферических переменных

Пример 49.3. Неизотропный пространственный осциллятор.

Пусть на точку действует сила, проекции которой на декартовы оси равны

Найти общее решение уравнения движения точки методом канонических преобразований.

Запишем гамильтониан рассматриваемого осциллятора в декартовых координатах:

и совершим каноническое преобразование к «новым» переменным с помощью функции

где — постоянные, которые соответствующим образом подберем ниже, а Каноническое преобразование будет определяться формулами (49.14)

(здесь символами обозначены проекции импульса соответственно).

Записывая (3) в виде

и подставляя (4) в (1), найдем гамильтониан осциллятора в «новых» переменных

Полагая здесь сведем (5) к функции

которая не зависит от координат . Составляя уравнения Гамильтона в «новых» переменных (см. (49.3)), получим

откуда найдем решение

Решение в «старых» (декартовых) переменных

можно получить, используя (4) и (8).