§ 50. Переменные «действие — угол» и адиабатические инварианты

При исследовании систем, совершающих движения, близкие к периодическим, большую роль играет метод канонических преобразований, с помощью которого можно получить частоты, характеризующие это движение, не отыскивая самого закона движения системы.

Пусть механическая система является обобщенно-консервативной, а хотя бы один набор канонических переменных разделяется, причем либо каждая из соответствующих переменных является периодической функцией времени с одинаковым

периодом, либо каждый импульс является периодической функцией координаты в то время как сама координата не является периодической функцией времени. Движение первого типа обычно называется либрацией, а второго типа — вращением. Примером либрации могут служить колебания неизотропного осциллятора (см. пример 49.3), а примером вращения — движение математического маятника при достаточно большом значении начальной энергии. В самом деле, получая из интеграла энергии маятника обобщенный импульс

как функцию угла отклонения маятника от вертикали, убедимся, что при (когда осуществляется вращение маятника) импульс изменяется периодически, в то время как неограниченно растет.

Решение уравнения Гамильтона—Якоби

для рассматриваемых систем (см, (46.3) и (46.11)) имеет вид (см. (46.12))

Подставляя (50.2) в (50.1), сведем решение задачи к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (см. (46.16))

где постоянные а связаны соотношением

Разрешая систему (50.3) относительно производных найдем каждый импульс как функцию координаты

(по условию эти функции являются периодическими функциями соответствующих координат).

Идея излагаемого метода решения поставленной задачи заключается в применении канонического преобразования от переменных к таким переменным, где роль новых импульсов, играют специальным образом выбранные постоянные, являющиеся функциями постоянных а, а «новый» гамильтониан зависит

только от «новых» импульсов. В качестве таких импульсов вводятся величины, равные

где интегралы берутся по полным периодам изменения импульсов как функций соответствующих координат Эти величины называются «переменными действия» и являются независимыми функциями постоянных а:

что следует из независимости функций (50.5). Если обе соответствующие переменные являются периодическими функциями времени с одинаковым периодом, переменная действия равна «площади» фигуры, ограниченной проекцией фазовой траектории на плоскость (эта проекция будет замкнутой кривой). Если же функция периодическая, а неограниченно возрастает, то равна «площади» фигуры, ограниченной кривой осью и двумя ординатами, соответствующими полному периоду этой функции (см. рис. 50.1 и рис. 50.2, на которых изображены проекции фазовых траекторий неизотропного осциллятора на плоскость и математического маятника в случае вращения на плоскость соответственно).

Рис. 50.1

Рис. 50.2

Разрешая систему (50.7) относительно а, получим

а подставляя эти функции в полный интеграл (50.2), определенный с помощью уравнений (50.3), найдем как функцию «старых» координат и «новых» импульсов — переменных действия:

Используя это «укороченное» действие в качестве производящей

функции указанного выше канонического преобразования, найдем (см. (49.20))

где величины являются «новыми» координатами и называются угловыми переменными. Принимая во внимание, что явно от времени не зависит, в результате подстановки функций (50.8) в функцию Гамильтона (см. (50.4)) найдем

Поскольку гамильтониан в переменных «действие—угол» зависит лишь от импульсов, канонические уравнения в новых переменных, примут вид

откуда следует, что угловые переменные являются линейными функциями времени:

Угловые переменные обладают еще одним важным свойством, заключающимся в том, что величина - является частотой изменения импульса Чтобы убедиться в этом, найдем приращение за полный период изменения функции при условии постоянства всех координат, кроме т. е. найдем

Представляя это приращение в виде (см. (50.10))

и учитывая, что переменной интегрирования является координата получим

Отсюда (см. (50.10) и (50.6)) следует, что приращение угловой переменной равно

С другой стороны, согласно (50.13), имеем

где — полный период изменения импульса Сопоставление (50.16) и (50.17) показывает, что частота изменения импульса действительно равна

Итак, для вычисления частот нужно определить функции

затем найти переменные действия как функции а (см. (50.7)), определить гамильтониан как функцию переменных действия и, наконец, с помощью уравнений (50.12) найти

Проиллюстрируем изложенный метод на примере неизотропного осциллятора, для которого уравнение Гамильтона—Якоби в декартовых координатах имеет вид (см. формулу (1) примера 49.3)

Это уравнение, согласно (50.1) — (50.3), сводится к трем уравнениям

где а постоянные а связаны с постоянной соотношением (см. (50.4))

Переменная действия осциллятора будет равна

поскольку совершает полный цикл изменения при изменении х от —а до +а и обратно до —а (величину можно подсчитать как площадь эллипса, по которому движется проекция фазовой

точки на плоскость — см. рис. 50.1). Аналогично вычисляются переменные действия

Принимая во внимание (50.4) и (50.8), получим гамильтониан в переменных действия (сравнить с формулой (6) примера 49.3)

откуда, согласно (50,18), найдем частоты неизотропного осциллятора:

Если эти частоты несоизмеримы, то траектория точки будет незамкнутой и, следовательно, точка никогда не займет повторно того положения, которое она уже занимала, хотя через достаточно большой интервал времени точка как угодно близко подойдет к этому положению (такое движение является примером условно - периодического движения).

Если же частоты соизмеримы, т. е. подчиняются условиям вида

(здесь — целые числа), то говорят, что движение вырождено. В том случае, когда частоты подчиняются двум независимым соотношениям вида (50.19), говорят, что движение полностью-вырождено; при этом фазовая траектория системы становится замкнутой, а движение строго периодическим.

Очень важным свойством переменных действия является их адиабатическая инвариантность. Это свойство заключается в том, что переменные действия сохраняют постоянные-значения при достаточно медленном изменении параметров системы (изменения параметров за время, сравнимое с периодами системы весьма малы). Для доказательства этого утверждения рассмотрим систему, которая в каждый момент времени близка по свойствам к изученной выше обобщенно-консервативной системе с разделяющимися и периодически изменяющимися со временем переменными. Гамильтониан такой системы, явно зависит от медленно меняющихся со временем параметров , т. е. имеет вид

где каждый импульс является периодической функцией соответствующей координаты при постоянном . Система с гамильтонианом (50.20) неконсервативна, однако решение уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде, близком к (46.2):

где параметры к, а следовательно, и величины а и являются медленно меняющимися функциями времени. Используя (50.21) и пренебрегая в уравнении Гамильтона—Якоби (по сравнению членами, пропорциональными найдем уравнение «нулевого приближения» рассматриваемого метода:

Это уравнение отличается от уравнения (50.1) зависимостью от но, согласно условию, его следует решать так, как будто бы все к постоянны, а в решении к считать заданными функциями времени. Поэтому формулы (50.3), (50.5) -(50.10) справедливы и для рассматриваемой системы, однако во все эти соотношения войдут параметры к; например, обобщенные импульсы будут функциями вида

Подставляя (50.23) в (50.6) и интегрируя при постоянных к и (поскольку за период изменения импульса функции к и остаются практически неизменными), вместо (50.7) получим

Эти величины оказываются постоянными, несмотря на изменение а и со временем. Чтобы убедиться в этом, выберем в качестве «новых» импульсов переменные действия (50.24) и произведем соответствующее каноническое преобразование. Выражая с помощью (50.24) а через I и к и исключая а из , найдем производящую функцию интересующего нас преобразования:

Эта функция определяет каноническое преобразование к переменным действие — угол (см. (49.20) и (50.10))

новыми уравнениями движения при этом будут уравнения (ср. с (50.12))

где (см. (49.21))

Используя (50.28), найдем выражение гамильтониана в «новых» переменных (см. (50.4), (50.24) и (50.26))

при этом «новые» уравнения движения (50.27) примут вид

Усредним вторую группу этих уравнений по интервалу времени, достаточно малому по сравнению со временем заметного изменения параметров к и достаточно большому по сравнению с периодами системы Допущение о малости интервала усреднения позволяет считать величины к и к постоянными при усреднении; следовательно,

Функция входящая в уравнения (50.31), является неоднозначной функцией координат. Действительно, эта функция, равная сумме интегралов (см. (50.2) и (50.5))

за полный период изменения координаты (при прочих постоянных координатах) получает приращение (см. (50.6))

Однако частные производные будут однозначными функциями

координат, так как неоднозначность вызывается добавлением величин, кратных и исчезающих при дифференцировании по к. Производные являются периодическими функциями угловых переменных поскольку координаты в свою очередь являются периодическими функциями (при полном цикле изменения координаты угловая переменная получает приращение, равное см. (50.16)). Так как производные - являются однозначными периодическими функциями то они могут быть разложены в ряды Фурье с коэффициентами, зависящими от и к. Поэтому ряды Фурье для производных - не будут содержать постоянных членов и, следовательно, при усреднении по достаточно большому интервалу времени все производные обратятся в нуль, что и доказывает адиабатическую инвариантность переменных действия:

Наконец, пренебрегая в уравнениях (50.30) членами, пропорциональными к, найдем приближенные выражения для частот

с которыми изменяются импульсы (в свою очередь сами частоты являются медленно меняющимися функциями времени).

Пример 50.1. Адиабатическое изменение длины математического маятника.

Определить изменение амплитуды линейных колебаний математического маятника при адиабатическом изменении длины его подвеса.

Уравнение (50.22) для случая линейных колебаний маятника имеет вид

где Е — медленно меняющаяся полная энергия маятника. Интегрируя это уравнение при постоянных и Е, найдем полный интеграл

который является неоднозначной функцией . Приращение функции за полный цикл изменения в пределах (см. (50.6) и (50.33)) равно

где — переменная действия. Поскольку является адиабатическим инвариантом, то полная энергия маятника будет пропорциональна медленно изменяющейся частоте маятника:

В соответствии с доказательством инвариантности действия I энергия в формуле (1) является энергией, усредненной по некоторому интервалу времени:

(здесь мы пренебрегли членом, пропорциональным , и вынесли адиабатически изменяющиеся функции за знак усреднения). Учитывая, что маятник совершает гармоническое колебание с медленно меняющейся амплитудой и частотой в результате усреднения получим

и, таким образом, вместо (2) найдем

Наконец, из формул (1) и (3) получим соотношение

согласно которому при бесконечно медленном удлинении подвеса маятника его угловая амплитуда уменьшается, а линейная амплитуда увеличивается; при этом энергия маятника (согласно уменьшается обратно пропорционально

Пример 50.2. Переменные «действие — угол» в задаче двух тел.

Найти переменные «действие — угол» в случае финитного движения двух тел с приведенной массой и энергией взаимодействия

Гамильтониан двух точек относительно системы их центра масс равен (см. пример 42.1)

Составляя уравнение Гамильтона — Якоби

и отыскивая его решение в виде

получим уравнения для функций

где в силу финитности движения. Эти уравнения (см. (50.5)) определяют функции которые необходимы для вычисления переменных действия:

В силу очевидной периодичности движения первый интеграл можно представить в виде удвоенного интеграла от до гтах. Тогда, используя формулы (8.5) и (8.2), а также учитывая замену (12.17), находим

откуда получаем гамильтониан в переменных действия

Отсюда следует, что частоты совпадают друг с другом (см. (50.18), (50.19)):

т. е. имеет место вырождение (последние два соотношения приводят к третьему закону Кеплера, см. (8.12)). Наконец, используя формулы для параметра и эксцентриситета эллипса (см. (8.2)), найдем

В классической механике непрерывному изменению начальных условий соответствует непрерывное изменение постоянных а также энергии Е и момента при таком изменении эллиптические орбиты обеих точек будут изменяться непрерывным образом. Другая картина имеет место в квантовой механике. В частности, в теории Бора, сыгравшей большую роль в становлении квантовой механики, постулировалась дискретность постоянных , т. е. постулировалось, что

где — «квант действия» (постоянная Планка), а — целые числа. В этом случае энергия системы (см. будет дискретной; например, для атома водорода было найдено

где