Глава XIII. ИДЕАЛЬНО УПРУГОЕ ТЕЛО

§ 67. Закон Гука и уравнения изменения импульса

Важную роль в механике сплошных сред занимает раздел, посвященный изучению твердых тел, т. е. сред, у которых сопротивление сдвигу при данных (не зависящих от времени) деформациях сколь угодно долго остается конечной (отличной от нуля) величиной. Ограничимся изучением таких твердых тел, напряжения которых в любой точке в любой момент времени зависят от деформаций в той же точке в тот же момент времени (кроме того напряжения могут зависеть от температуры Т). Такие тела называются идеально упругими. Принимается также, что состояния идеально упругих тел являются локально равновесными, а процессы, происходящие в них, термодинамически обратимыми.

Одной из основных величин, характеризующих идеально упругое тело является тензор деформации, который вводится путем сравнения двух состояний среды (см. § 53). Выберем в качестве начального состояния тела его недеформированное состояние в отсутствии внешних сил при некоторой заданной температуре и плотности а в качестве второго состояния возьмем деформированное состояние тела при температуре Т и плотности (переход в это состояние может происходить как в результате воздействия внешних сил, так и за счет передачи тепла из внешнего источника).

Рассмотрим случай, когда деформации тела и изменение его температуры достаточно малы, а напряжения линейно зависят от деформаций и разности температур, т. е. случай, когда тензор напряжений имеет вид

где постоянные, называемые соответственно модулями упругости и коэффициентами термоупругости. Соотношение (67.1) представляет собой закон Гука в самом общем виде, справедливом как для изотропных тел, у которых свойства упругости и термоупругости в любой точке одинаковы во всех направлениях, так и для анизотропных тел, свойства которых различны в различных направлениях. С другой стороны, учитывая только линейную зависимость напряжений от деформаций и изменений температуры и пренебрегая зависимостью напряжений от скорости деформаций, мы заведомо отказываемся от рассмотрения нелинейных упругих эффектов, а также от изучения вязких свойств твердых тел.

Получим уравнения идеально упругого твердого тела, исходя из системы (55.20) — (55.23). Поскольку тензор напряжений (67.1) выражается через тензор деформаций, а тензор деформаций через вектор смещения выберем этот вектор в качестве неизвестной функции в уравнениях движения (55.21). Смещение и данной частицы всегда можно определить, как

где - радиус-вектор частицы в момент времени а — радиус-вектор той же частицы в начальный момент времени. Тогда скорость рассматриваемой частицы будет равна

Здесь в отличие от (52.1), где были использованы переменные применяются переменные т. е. такие переменные, которые позволяют следить за изменением величин, характеризующих данную частицу (например, фиксируя в (67.3), мы получим значение скорости в любой момент времени для той частицы, которая в момент была в точке пространства Переменные называются эйлеровыми, а переменные — лагранжевыми.

Теперь допустим малость смещений на любом интервале времени, тогда вместо (67.3) можно написать

Отсюда, полагая скорости малыми и используя (54.13), найдем ускорение частицы в виде

Далее, допуская малость ускорений и отклонений плотности, из (55.21) получим уравнения изменения импульса

Уравнение непрерывности, представленное в виде (см. (54.1), (53.28))

дает возможность определить плотность массы по известному полю смещений.

Наконец, уравнения (55.22) и (55.23) приводят к важным термодинамическим соотношениям. В самом деле, исключая из этих уравнений тепловой поток и полагая ввиду обратимости деформаций найдем уравнение

Далее тензор скорости деформаций с помощью (67.4) можно представить в виде

откуда в случае малых скоростей следует, что . Таким образом, вместо (67.8) получим

Наконец, вводя бблее удобные для рассматриваемой теории энергию и энтропию приходящиеся на единицу недеформированного объема и учитывая малость отклонений плотности, найдем термодинамическое уравнение

Система уравнений (67.6), (67.7) и (67.11) представляет собой систему уравнений движения идеально упругого тела.

Приведем ряд соотношений, вытекающих из термодинамического уравнения. Например, из него следует, что

(здесь и далее символ означает частную производную по при постоянной y). Эти формулы дают возможность, зная энергию, как функцию деформаций и энтропии, получить напряжения и температуру. Если же выразить (67.11) через другую термодинамическую функцию, а именно, через свободную энергию

то (67.11) примет форму

откуда вытекают соотношения

определяющие напряжения и энтропию, как функции деформаций и температуры.

Из сопоставления (67.1) с первой формулой (67.15) следует, что свободная энергия упругого тела должна иметь вид

где модули упругости и термоупругости не зависят от температуры (можно показать, что неопределенная здесь функция связана с теплоемкостью тела при постоянных деформациях). Действительно, в этом случае из (67.16) и первой формулы (67.15) получим закон Гука (67.1), который при изотермической деформации принимает обычную форму

Как видно, упругие свойства тела определяются тензором четвертого ранга который будем называть тензором упругости. В общем случае тензор четвертого ранга имеет независимую компоненту. Однако максимальное число независимых компонент тензора упругости равно 21. Действительно, поскольку тензоры симметричны, т. е. каждый из них имеет по 6 независимых компонент, то число независимых компонент тензора упругости снижается до 36. Это связано с симметрией относительно перестановок индексов, как внутри первой, так и внутри второй пары индексов (ввиду симметричности

Кроме того, имеются еще 15 соотношений, связанных с симметрией

модулей упругости относительно перестановки первой пары индексов со второй,

эта симметрия вытекает из существования свободной энергии, как скалярной функции вида (67.16). Итак, благодаря наличию соотношений (67.18) и (67.19) упругие свойства твердых тел в общем случае характеризуются 21 независимым модулем упругости.

Можно непосредственно убедиться, что в число этих модулей входят по 3 модуля каждого из видов и 6 модулей вида

Если анизотропное тело обладает какой-либо присущей ему симметрией, то появляются дополнительные соотношения между модулями упругости и тем самым уменьшается число независимых модулей. Например, возьмем монокристалл кубической системы. Направляя координатные оси по ребрам элементарного куба и имея в виду симметрию кубического кристалла при отражении относительно координатных плоскостей, придем к выводу, что все модули, у которых одинаковые значения индексов встречаются нечетное число раз, равны нулю (если, например, заменить у на то изменит знак; поэтому следует положить в противном случае свободная энергия изменится, что будет противоречить указанной симметрии кристалла). Таким образом, остаются отличными от нуля 9 модулей: по 3 модуля каждого из видов: Кроме того, в выбранной системе координат все координатные оси равноправны (например, замена оси х на ось у не должна изменять свободную энергию). Поэтому кубический кристалл характеризуется лишь тремя независимыми модулями упругости

У изотропного тела симметрия еще выше: тензор упругости вообще не зависит от выбора направления осей координат, что приводит еще к одному соотношению, а именно

В самом деле, учитывая, что модули изотропного тела должны быть скалярными величинами, а из компонент можно составить единственный линейный скаляр (см. (53.27)), заключаем, что закон Гука (67.17) для изотропного тела должен иметь вид

где — постоянные, которые называются модулями Ламэ (здесь и в дальнейшем означает сумму Сопоставляя (67.21) с (67.17) видим, что

откуда следует (67.20). Итак, упругие свойства изотропного тела характеризуются двумя постоянными.

Тензор напряжений (67.21) можно представить в виде, аналогичном тензору (63.4) напряжений вязкой жидкости, т. е. в виде

где здесь первый член (с коэффициентом и) связан с деформацией сдвига, а второй член, пропорциональный связан с изменением объема (см. (53.28)). Поэтому модуль называется модулем сдвига, а — модулем объемного сжатия.

Заметим, что тензору (67.22) соответствует свободная энергия

которая в состоянии термодинамического равновесия должна обладать минимумом. В отсутствии внешних сил минимум свободной энергии будет иметь место при в связи с чем должна быть положительно определенной формой деформаций. Это доказывает, что модули сдвига и объемного сжатия являются положительными величинами:

Получим практически полезное соотношение, обратное соотношению (67.22). Для этого «свернем» тензор (67.22) с т. е. найдем сумму

Заметим, что

Тогда получим (здесь и в дальнейшем означает сумму

а используя (67.25), из (67.22) придем к искомому соотношению

(обратим внимание на формулу (67.25), согласно которой сумма диагональных компонент тензора напряжений пропорциональна относительному изменению объема

Тензор термоупругости а является симметричным тензором, что следует из (67.1) ввиду симметрии тензора напряжений. Число независимых компонент уменьшается, если тело обладает симметрией. Например, для кубических кристаллов и изотропных сред тензор сводится к одной величине а. Таким образом, закон Гука для изотропных упругих тел с учетом изменения температуры можно представить в форме

где коэффициент теплового расширения. В этом легко убедиться, сворачивая (67.27) с при (поскольку при тепловом расширении в отсутствии внешних сил напряжения должны отсутствовать). Тогда, используя (53.28), получим соотношение

из которого становится понятным смысл постоянной а, как коэффициента теплового расширения.

Свободная энергия, соответствующая тензору напряжений (67.27), должна иметь вид

где — постоянные величины. Действительно, такая функция деформаций и температуры согласно первой формуле (67.15) приводит к правильному выражению (67.27) для тензора напряжений, а согласно второй формуле (67.15) определяет энтропию

и тем самым отличную от нуля теплоемкость тела при постоянных деформациях. Такая теплоемкость по определению и согласно первому и второму законам термодинамики равна

В заключение параграфа получим уравнение изменения импульса для изотропного упругого тела, аналогичное уравнению Навье—Стокса. Предполагая, что модули упругости X и постоянны, и пренебрегая изменением температуры (что справедливо при достаточно малых значениях а), подставим (67.27) в (67.6) и

совершим преобразования типа (64.1) и (64.2). Тогда найдем уравнение изменения импульса изотропного упругого тела

которое называется уравнением Ламэ. Если же пренебречь изменением температуры нельзя, то правую часть уравнения Ламэ следует дополнить членом и рассматривать полученное уравнение совместно с уравнением теплопроводности, вытекающим из (55.23).