Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава XIII. ИДЕАЛЬНО УПРУГОЕ ТЕЛО§ 67. Закон Гука и уравнения изменения импульсаВажную роль в механике сплошных сред занимает раздел, посвященный изучению твердых тел, т. е. сред, у которых сопротивление сдвигу при данных (не зависящих от времени) деформациях сколь угодно долго остается конечной (отличной от нуля) величиной. Ограничимся изучением таких твердых тел, напряжения которых в любой точке в любой момент времени зависят от деформаций в той же точке в тот же момент времени (кроме того напряжения могут зависеть от температуры Т). Такие тела называются идеально упругими. Принимается также, что состояния идеально упругих тел являются локально равновесными, а процессы, происходящие в них, термодинамически обратимыми. Одной из основных величин, характеризующих идеально упругое тело является тензор деформации, который вводится путем сравнения двух состояний среды (см. § 53). Выберем в качестве начального состояния тела его недеформированное состояние в отсутствии внешних сил при некоторой заданной температуре Рассмотрим случай, когда деформации тела и изменение его температуры достаточно малы, а напряжения линейно зависят от деформаций и разности температур, т. е. случай, когда тензор напряжений имеет вид
где Получим уравнения идеально упругого твердого тела, исходя из системы (55.20) — (55.23). Поскольку тензор напряжений (67.1) выражается через тензор деформаций, а тензор деформаций через вектор смещения
где
Здесь в отличие от (52.1), где были использованы переменные Теперь допустим малость смещений на любом интервале времени, тогда вместо (67.3) можно написать
Отсюда, полагая скорости малыми и используя (54.13), найдем ускорение частицы в виде
Далее, допуская малость ускорений и отклонений плотности, из (55.21) получим уравнения изменения импульса
Уравнение непрерывности, представленное в виде (см. (54.1), (53.28))
дает возможность определить плотность массы по известному полю смещений. Наконец, уравнения (55.22) и (55.23) приводят к важным термодинамическим соотношениям. В самом деле, исключая из этих уравнений тепловой поток и полагая ввиду обратимости деформаций
Далее тензор скорости деформаций с помощью (67.4) можно представить в виде
откуда в случае малых скоростей следует, что
Наконец, вводя бблее удобные для рассматриваемой теории энергию
Система уравнений (67.6), (67.7) и (67.11) представляет собой систему уравнений движения идеально упругого тела. Приведем ряд соотношений, вытекающих из термодинамического уравнения. Например, из него следует, что
(здесь и далее символ
то (67.11) примет форму
откуда вытекают соотношения
определяющие напряжения и энтропию, как функции деформаций и температуры. Из сопоставления (67.1) с первой формулой (67.15) следует, что свободная энергия упругого тела должна иметь вид
где модули упругости и термоупругости не зависят от температуры (можно показать, что неопределенная здесь функция
Как видно, упругие свойства тела определяются тензором четвертого ранга
Кроме того, имеются еще 15 соотношений, связанных с симметрией модулей упругости относительно перестановки первой пары индексов со второй,
эта симметрия вытекает из существования свободной энергии, как скалярной функции вида (67.16). Итак, благодаря наличию соотношений (67.18) и (67.19) упругие свойства твердых тел в общем случае характеризуются 21 независимым модулем упругости. Можно непосредственно убедиться, что в число этих модулей входят по 3 модуля каждого из видов Если анизотропное тело обладает какой-либо присущей ему симметрией, то появляются дополнительные соотношения между модулями упругости и тем самым уменьшается число независимых модулей. Например, возьмем монокристалл кубической системы. Направляя координатные оси по ребрам элементарного куба и имея в виду симметрию кубического кристалла при отражении относительно координатных плоскостей, придем к выводу, что все модули, у которых одинаковые значения индексов встречаются нечетное число раз, равны нулю (если, например, заменить у на У изотропного тела симметрия еще выше: тензор упругости вообще не зависит от выбора направления осей координат, что приводит еще к одному соотношению, а именно
В самом деле, учитывая, что модули изотропного тела должны быть скалярными величинами, а из компонент можно составить единственный линейный скаляр
где
откуда следует (67.20). Итак, упругие свойства изотропного тела характеризуются двумя постоянными. Тензор напряжений (67.21) можно представить в виде, аналогичном тензору (63.4) напряжений вязкой жидкости, т. е. в виде
где Заметим, что тензору (67.22) соответствует свободная энергия
которая в состоянии термодинамического равновесия должна обладать минимумом. В отсутствии внешних сил минимум свободной энергии будет иметь место при
Получим практически полезное соотношение, обратное соотношению (67.22). Для этого «свернем» тензор (67.22) с
Заметим, что
Тогда получим (здесь и в дальнейшем
а используя (67.25), из (67.22) придем к искомому соотношению
(обратим внимание на формулу (67.25), согласно которой сумма диагональных компонент тензора напряжений пропорциональна относительному изменению объема Тензор термоупругости а является симметричным тензором, что следует из (67.1) ввиду симметрии тензора напряжений. Число независимых компонент
где
из которого становится понятным смысл постоянной а, как коэффициента теплового расширения. Свободная энергия, соответствующая тензору напряжений (67.27), должна иметь вид
где
и тем самым отличную от нуля теплоемкость
В заключение параграфа получим уравнение изменения импульса для изотропного упругого тела, аналогичное уравнению Навье—Стокса. Предполагая, что модули упругости X и совершим преобразования типа (64.1) и (64.2). Тогда найдем уравнение изменения импульса изотропного упругого тела
которое называется уравнением Ламэ. Если же пренебречь изменением температуры нельзя, то правую часть уравнения Ламэ следует дополнить членом
|
1 |
Оглавление
|