Глава XI. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ

§ 56. Уравнения движения идеальной жидкости

Идеальной жидкостью называется такая сплошная среда, в которой при любой деформации и скорости деформации касательные напряжения пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями, а все нормальные напряжения одинаковы (в данный момент времени, в данной точке пространства, занимаемого средой). Таким образом, тензор напряжений идеальной жидкости имеет вид

т. е. все его компоненты с различными индексами равны нулю, а компоненты с одинаковыми индексами равны друг другу. Подставляя (56.1) в (54.10), получим выражение для поверхностной силы

Следовательно, абсолютная величина силы, действующей на единичную площадку в идеальной жидкости не зависит от ориентации площадки.

Модель идеальной жидкости применима ко многим задачам о движении жидкостей и газов с пренебрежимо малой вязкостью. Если в качестве «идеальной жидкости» рассматривают газ, то а в случае жидкой среды давление может быть как положительным, так и отрицательным, поскольку возможны и сжимающие, и растягивающие напряжения (давление в газе связано

главным образом со средней кинетической энергией молекул, а в жидкости — как с кинетической энергией, так и с потенциальной энергией взаимодействия молекулы).

Учитывая изотропность тензора напряжений, пренебрегая теплопроводностью среды и ограничиваясь изучением обратимых течений из основных уравнений сплошных сред получим уравнения движения идеальной жидкости:

Поскольку в механике сплошных сред изучаются локально равновесные состояния, то эта система должна быть дополнена термодинамическими уравнениями состояния:

первая из этих функций называется калорическим уравнением состояния, а вторая — термическим (эти функции определяются из опытных данных для систем, находящихся в равновесных состояниях).

Уравнения идеальной жидкости совместно с уравнениями состояния представляют собой замкнутую систему уравнений; уравнение изменения импульса (56.4) называется уравнением Эйлера. Решение этой системы должно удовлетворять граничным условиям на поверхностях, ограничивающих среду, а в случае нестационарных течений — и начальным условиям в некоторый момент времени . Например, нормальная к поверхности неподвижной твердой стенки компонента скорости среды должна обращаться в нуль

поскольку жидкость не может протекать через стенку.

Теперь получим общие выражения для силы и момента сил приложенных к твердому телу, движущемуся в идеальной жидкости. На элемент поверхности тела действует сила направлен от поверхности тела внутрь жидкости,

так как согласно определению этого вектора он должен- быть направлен по внешней нормали к поверхности рассматриваемого тела). Следовательно, суммарная сила, действующая на тело, равна

а момент сил давления

(здесь а — поверхность тела). Подставляя в эти выражения давление, найденное из уравнений движения жидкости, и вычисляя соответствующие интегралы по заданной поверхности тела, найдем векторы

Рассмотрим решения уравнений идеальной жидкости в частном случае, когда жидкость покоится, т. е. Тогда система (56.3) — (56.5) сводится к уравнению гидростатики

которое описывает механическое равновесие среды.

Приведем несколько простых решений уравнения (56.11). Если, например, объемными силами можно пренебречь то давление одинаково во всех точках среды (закон Паскаля). Если же жидкость несжимаема и находится в однородном поле тяжести то, располагая начало координат на поверхности жидкости и направляя ось вниз по вертикали, из (56.11) получим уравнения

откуда следует, что

где — внешнее давление на поверхности жидкости. Это решение определяет гидростатическое давление, равное давлению на поверхности, сложенному с весом столба жидкости с единичной площадью поперечного сечения и высотой

Наконец, рассмотрим равновесие идеального газа в однородном поле тяжести, если тепловое равновесие имеет место во всех точках газа. В этом случае, используя уравнение состояния идеального газа (здесь — постоянная

Больцмана, — масса молекулы газа) и направляя ось вверх но вертикали, из (56.11) получим уравнения

Отсюда найдем выражение для распределения плотности с высотой

которое называется барометрической формулой.

Пример 56.1. Закон Архимеда.

Определить силу, с которой тяжелая несжимаемая жидкость действует на погруженное в нее неподвижное тело.

Сила, с которой жидкость действует на поверхность погруженного в жидкость тела, равна интегралу (56.9). Преобразуя этот интеграл в объемный, используя (56.11) и то, что найдем

здесь — объем тела, — масса жидкости в этом объеме. Следовательно, сила, с которой тяжелая несжимаемая жидкость действует на погруженное в нее тело, по величине равна весу жидкости в объеме тела и направлена противоположно силе тяжести (закон Архимеда).

Пример 56.2. Равномерно вращающаяся несжимаемая жидкость.

Пусть несжимаемая жидкость плотности вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной оси. Найти форму свободной поверхности жидкости в состоянии равновесия, если частицы жидкости притягиваются к центру, помещенному на оси вращения, с силой, пропорциональной расстоянию до центра (здесь под состоянием равновесия понимается равновесие относительно системы отсчета, вращающейся с жидкостью). Найти также форму свободной поверхности жидкости в однородном гравитационном поле и определить силу, действующую на однородное тело плотности которое погружено в жидкость и вращается вместе с ней (точнее скорость тела относительно жидкости предполагается пренебрежимо малой).

В указанной системе отсчета на частицу жидкости с радиусом-вектором (начало отсчета помещено в центре силы) действует сила притяжения — и центробежная сила инерции — радиус-вектор точки, направленный по перпендикуляру

от оси). Потенциал этого силового поля в расчете на единицу массы в сферических координатах имеет вид

Учитывая, что запишем уравнение (56.11) в форме

откуда следует

Полагая здесь и определяя С из условия при из (3) найдем уравнение свободной поверхности вращающейся жидкости.

— расстояние между центром силы и ближайшими к нему точками поверхности). Эта фигура представляет собой сфероид, т. е. сплющенную вдоль оси вращения сферу.

Если вращение жидкости происходит в однородном поле, то потенциал на единицу массы в декартовых координатах

Подставляя эту функцию в интеграл вида (3), получим уравнение свободной поверхности

где 20 — координата точки поверхности на оси вращения. Таким образом, свободная поверхность жидкости представляет собой параболоид вращения.

В рассматриваемом случае на единицу массы жидкости действует сила

(вектор направлен по перпендикуляру от оси вращения); а сила, с которой жидкость действует на тело объема погруженное в жидкость и вращающееся вместе с ней, равна (см. (56.9))

Используя выражения (7) и (8), найдем

где — направленный по перпендикуляру от оси вращения радиус-вектор центра масс однородного тела.

Теперь найдем результирующую силу приложенную к телу (включая силы тяжести и инерции):

Учитывая (9), эту силу можно представить в виде

Отсюда следует, что при сила направлена вниз от оси вращения, а при вверх к оси вращения.