Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава XI. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ§ 56. Уравнения движения идеальной жидкостиИдеальной жидкостью называется такая сплошная среда, в которой при любой деформации и скорости деформации касательные напряжения пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями, а все нормальные напряжения одинаковы (в данный момент времени, в данной точке пространства, занимаемого средой). Таким образом, тензор напряжений идеальной жидкости имеет вид
т. е. все его компоненты с различными индексами равны нулю, а
Следовательно, абсолютная величина силы, действующей на единичную площадку в идеальной жидкости не зависит от ориентации площадки. Модель идеальной жидкости применима ко многим задачам о движении жидкостей и газов с пренебрежимо малой вязкостью. Если в качестве «идеальной жидкости» рассматривают газ, то главным образом со средней кинетической энергией молекул, а в жидкости — как с кинетической энергией, так и с потенциальной энергией взаимодействия молекулы). Учитывая изотропность тензора напряжений, пренебрегая теплопроводностью среды
Поскольку в механике сплошных сред изучаются локально равновесные состояния, то эта система должна быть дополнена термодинамическими уравнениями состояния:
первая из этих функций называется калорическим уравнением состояния, а вторая — термическим (эти функции определяются из опытных данных для систем, находящихся в равновесных состояниях). Уравнения идеальной жидкости совместно с уравнениями состояния представляют собой замкнутую систему уравнений; уравнение изменения импульса (56.4) называется уравнением Эйлера. Решение этой системы должно удовлетворять граничным условиям на поверхностях, ограничивающих среду, а в случае нестационарных течений — и начальным условиям в некоторый момент времени
поскольку жидкость не может протекать через стенку. Теперь получим общие выражения для силы так как согласно определению этого вектора он должен- быть направлен по внешней нормали к поверхности рассматриваемого тела). Следовательно, суммарная сила, действующая на тело, равна
а момент сил давления
(здесь а — поверхность тела). Подставляя в эти выражения давление, найденное из уравнений движения жидкости, и вычисляя соответствующие интегралы по заданной поверхности тела, найдем векторы Рассмотрим решения уравнений идеальной жидкости в частном случае, когда жидкость покоится, т. е.
которое описывает механическое равновесие среды. Приведем несколько простых решений уравнения (56.11). Если, например, объемными силами можно пренебречь
откуда следует, что
где Наконец, рассмотрим равновесие идеального газа в однородном поле тяжести, если тепловое равновесие Больцмана,
Отсюда найдем выражение для распределения плотности с высотой
которое называется барометрической формулой. Пример 56.1. Закон Архимеда. Определить силу, с которой тяжелая несжимаемая жидкость действует на погруженное в нее неподвижное тело. Сила, с которой жидкость действует на поверхность
здесь Пример 56.2. Равномерно вращающаяся несжимаемая жидкость. Пусть несжимаемая жидкость плотности В указанной системе отсчета на частицу жидкости с радиусом-вектором от оси). Потенциал этого силового поля в расчете на единицу массы в сферических координатах имеет вид
Учитывая, что
откуда следует
Полагая здесь
Если вращение жидкости происходит в однородном поле, то потенциал на единицу массы в декартовых координатах
Подставляя эту функцию в интеграл вида (3), получим уравнение свободной поверхности
где 20 — координата точки поверхности на оси вращения. Таким образом, свободная поверхность жидкости представляет собой параболоид вращения. В рассматриваемом случае на единицу массы жидкости действует сила
(вектор
Используя выражения (7) и (8), найдем
где Теперь найдем результирующую силу
Учитывая (9), эту силу можно представить в виде
Отсюда следует, что при
|
1 |
Оглавление
|