§ 2. Понятия о силе и массе

Рассмотрим движение материальной точки относительно произвольной системы отсчета, предполагая, что начальные условия, т. е. радиус-вектор точки и ее скорость в начальный момент времени могут быть заданы произвольно (такую точку будем называть свободной). Пользуясь эталонами длины и времени, можно определить положение, скорость и ускорение точки в любой момент времени. Затем, помещая вблизи точки некоторое тело, можно заметить, что точка приобретает добавочное ускорение, исчезающее по мере удаления тела на бесконечно большое расстояние от точки.

Например, рассмотрим движение материальной точки 1 вблизи поверхности Земли (рис. 2.1, а, на котором плоскость совпадает с земной поверхностью). Предполагая, что эта точка обладает электрическим зарядом, сравним ее движение в двух случаях: а) в отсутствие каких-либо других тел, б) при наличии заряженного тела.

Пусть в первом случае точка 1 в начальный момент времени находится в положении и имеет скорость Определим положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени.

Затем исследуем движение той же точки при тех же начальных условиях, поместив вблизи начального положения точки достаточно малое заряженное тело 2 (рис. 2.1,б). Измерения покажут, что по сравнению с предыдущим случаем точка приобрела дополнительное ускорение

Рис. 2.1

Результирующее ускорение точки относительно Земли во втором случае будет равно Следовательно, другими станут и закон движения точки и ее траектория. Удаляя тело 2 на бесконечно большое расстояние от точки 1, мы убедимся, что исчезает.

Вообще опыт показывает, что в любой системе отсчета любое тело 2 вызывает некоторое ускорение свободной материальной точки 1, причем это ускорение становится исчезающе малым по мере удаления тела на бесконечно большое расстояние от точки, т. е.

Экспериментальное изучение ускорений, вызываемых у данного тела различными другими телами, приводит к утверждению о независимости этих ускорений друг от друга. Иначе говоря, опыт показывает, что ускорение сообщаемое данному телу 1 одновременно двумя любыми телами 2 и 3, равно векторной сумме ускорений сообщаемых телу 1 телами 2 и 3 каждым в отдельности, т. е.

Убедиться в этом можно, в частности, продолжая только что рассмотренный эксперимент. Как мы видели, под действием заряженного тела 2 заряд 1 приобретает ускорение (рис. 2.1, б). Если же вместо тела 2 вблизи начального положения точки поместить достаточно малое заряженное тело 3 (рис. 2.2, а), то

оно вызовет другое ускорение точки Наконец, вернув точку 1 в ее начальное положение и поместив оба тела одновременно в прежние их положения, указанные на рис. 2.1, б и рис. 2.2, а, обнаружим, что точка приобрела ускорение по сравнению с тем случаем, когда оба тела отсутствуют (рис. 2.2, б). Измерив можно убедиться в справедливости (2.2),

Рис. 2.2

Заметим, что утверждение о независимости ускорений имеет место при любом числе воздействующих тел.

Итак, на основании опытов можно сделать вывод о том, что, во-первых, одни тела воздействуют на другие, причем это воздействие проявляется в приобретении телами ускорений, и, во-вторых, ускорения, сообщаемые разными телами данному телу, независимы. Этот вывод лежит в основе важнейшего понятия механики о силе. Под силой, с которой произвольное тело 2 действует на данную материальную точку 1, понимают такое влияние тела 2 на точку 1, в результате которого точка 1 приобретает ускорение, исчезающее при удалении тела 2 на бесконечно большое расстояние от точки 1. Заметим, что если воздействия одних тел на другие существуют объективно, то введенное в механике понятие о силах отражает эти воздействия лишь с некоторой точностью.

Поскольку сила является причиной ускорения, а ускорение обладает свойствами вектора, то постулируется, что и сила есть вектор, причем направленный так же, как и ускорение, вызываемое этой силой, т. е. постулируется, что

где — сила, действующая со стороны тела 2 на точку 1, а — ускорение точки 1, обусловленное действием этой силы.

«Одна из важнейших характеристик силы — ее материальное происхождение», «...говоря о силе, мы всегда неявно предполагаем, что когда нет физических тел, то сила равна нулю» [26, вып. I, стр. 210—211]. Это значит, что как ускорение так и сила стремятся к нулю по мере удаления тела 2 на бесконечно большое расстояние от точки 1, т. е.

Так как ускорения, сообщаемые точке различными телами, обладают свойством (2.2), то в отношении сил, действующих на точку со стороны этих тел, постулируется аналогичное свойство. А именно, полагают, что сила с которой тела 2 и 3 действуют на данную точку 1 одновременно, равна векторной сумме сил действующих на точку 1 со стороны этих тел порознь, т. е.

Может случиться, что одновременное действие нескольких тел на материальную точку не изменяет того ускорения точки, которое она имела в отсутствие этих тел. В таком случае сумма сил, действующих на точку со стороны этих тел, и сумма соответствующих ускорений равны нулю:

Основываясь на (2.2), (2.5) и (2.6), можно производить измерение сил, т. е. их сравнение с силой-эталоном. В качестве силы-эталона можно взять, в частности, силу, с которой действует на тело прикрепленная к нему одним из кондов определенная пружина, растянутая до определенной длины Пусть в результате действия на точку силы-эталона и некоторого тела 2 (например, произвольной пружины 2) ускорение точки останется таким же, как и в отсутствие эталонной пружины и тела 2 (например, точка остается в покое относительно Земли). Это значит, что

где — сила-эталон, — ускорение точки 1, вызываемое эталонной пружиной. Из (2.7) видно, что т. е. сила оказывается измеренной. Имея несколько одинаковых эталонных пружин и располагая их параллельно или под различными углами, в принципе можно измерить любую силу.

Пользуясь способом измерения сил (2.7), эталонами длины и времени, экспериментально устанавливают зависимость сил от различных величин. Приведем ряд исследованных таких образом сил.

Упругая сила, действующая со стороны пружины 2 на тело 1, прикрепленное к ее концу, при достаточно малых удлинениях пружины пропорциональна этому удлинению и направлена по прямой, совпадающей с осью пружины (предполагается, что второй конец пружины прикреплен к другому телу):

Здесь — радиус-вектор точки 1 и скрепленного с ней конца пружины, — радиус-вектор другого конца пружины, — длина ненапряженной пружины, — характеризующая данную пружину положительная константа, называемая жесткостью. Из (2.8) следует, что действующая на точку 1 сила сжатой пружины направлена от конца 2 пружины в сторону точки 1 (в этом случае т. е. удлинение отрицательно). Если же пружина растянута удлинение положительно), то эта сила направлена от точки 1 в сторону точки 2. Итак, опыт показывает, что абсолютная величина и направление рассмотренной упругой силы зависят лишь от положения точек 1 и 2.

Согласно закону Кулона сила электростатического воздействия заряженной точки 2 на заряженную точку 1 обратно пропорциональна квадрату расстояния между точками и направлена по прямой, соединяющей эти заряды:

здесь — электрические заряды первой и второй точек соответственно.

Сила Лоренца действующая на точечный заряд со стороны электрического и магнитного полей, зависит как от положения заряда, так и от его скорости:

Здесь с — скорость света; напряженности соответственно электрического и магнитного полей в той точке пространства, где находится заряд; — скорость заряда. Напомним, что напряженность электрического поля определяется силой,

действующей со стороны этого поля на единицу положительного заряда; направление напряженности магнитного поля можно определить как такое направление скорости заряда, при котором сила, действующая на заряд в магнитном поле, равна нулю; величину напряженности магнитного поля можно определить как отношение модуля силы, действующей на заряд со стороны магнитного поля, к величине где составляющая скорости заряда, перпендикулярная направлению напряженности в данной точке пространства (конечно, радиус-вектор скорость заряда и напряженности полей должны измеряться в одной и той же системе отсчета) [36, стр. 21, 211—212].

Поскольку в классической механике не рассматриваются процессы, происходящие в полях (см. стр. 10), постольку напряженности полей в наших задачах будут считаться заданными функциями радиуса-вектора точки и времени. Например, напряженность электрического поля плоского конденсатора постоянной емкости, к пластинам которого подводится переменное напряжение, изменяющееся со временем по гармоническому закону, вдали от краев пластин с большой степенью точности можно считать равным где — напряженность электрического поля при а — частота, с которой изменяется подводимое напряжение. Таким образом, сила, действующая на заряд со стороны этого поля, будет равна

Сила сопротивления среды, действующая на осесимметричное твердое тело при его движении в жидкости или газе, зависит от скорости тела относительно среды и направлена противоположно этой скорости (если ось симметрии тела коллинеарна скорости). При достаточно малой скорости эта сила имеет вид

где — положительная константа, характерная для данного тела и данной среды, — скорость тела относительно покоящейся на бесконечности среды.

Итак, опыт показывает, что существует широкий класс сил, явно зависящих от положений и скоростей тел, а также от некоторых постоянных величин и времени

Рассмотрим детальнее соотношение между силой и вызываемым ею ускорением. Исследуем, например, движение материальной точки 1 по горизонтальному идеально гладкому стержню

(рис. 2.3, а) под действием прикрепленной к точке пружины 2, навитой на стержень и закрепленной другим кондом в точке О стержня (сила, с которой идеально гладкий стержень действует на точку, перпендикулярна к стержню). Если пружина 2 действует на точку с силой (2.8), а стержень неподвижен относительно Земли, то, выбирая систему отсчета S с началом в точке О и осью направленной по стержню, в результате измерений получим значения ускорений точки 1, которые аналитически можно представить формулой

где — координата точки — величина, постоянная для данной точки и пружины. Поскольку сила действующая на точку 1 со стороны пружины, равна отношение будет постоянной величиной для данной точки и данной пружины, а именно:

Рис. 2.3

Аналогичные эксперименты, поставленные с другими пружинами 2, но с тем же телом 1, показывают, что отношение не зависит от свойств используемой пружины и является постоянным для данного тела.

Если эти эксперименты поставить в условиях, когда стержень вращается с постоянной угловой скоростью о) в горизонтальной плоскости т. е. вращается относительно системы S (рис. 2.3, б), то измерения покажут, что ускорение точки относительно системы связанной со стержнем, в случае воздействия на точку пружины будет определяться формулой

Здесь первый член справа равен ускорению точки в отсутствие пружины (рис. 2.3, в), x - координата точки в системе ось которой направлена по стержню, а начало совпадает с началом системы причем величина та же постоянная, что и в экспериментах с неподвижным стержнем.

Сравнивая ускорения точки на вращающемся стержне при наличии пружины и в ее отсутствие, найдем — ускорение точки, вызываемое пружиной:

Сопоставляя это выражение с силой, действующей со стороны пружины и равной убедимся в том, что для данной точки отношение силы к вызываемому ускорению в обеих системах отсчета S и S одинаково.

На основании этих опытов, а также опытов с использованием других сил, приходим к фундаментальному утверждению классической механики: в любой системе отсчета отношение силы, действующей на некоторую материальную точку, к ускорению точки, вызываемому этой силой, является величиной постоянной для данной материальной точки. Эту постоянную называют инертной массой или просто массой. Таким образом,

где — положительная постоянная — масса точки 1. Утверждение (2.13) означает независимость массы от того, как движется тело. Это справедливо, однако для скоростей, малых по сравнению со скоростью света. Если же скорость тела сравнима со скоростью света, то утверждение (2.13) оказывается неверным.

Основываясь на (2.13), можно измерять массы различных тел Действительно, выберем за эталон массы массу некоторого тела и определим ее как отношение где абсолютная величина силы, действующей на тело-эталон со стороны тела 2, а — величина вызываемого этой силой ускорения тела-эталона. Массу тела 1 можно определить, используя воздействие произвольного тела 3. Тогда отношение массы к массе-эталону будет равно

Пользуясь способом измерения масс, сил и расстояний, можно экспериментально установить закон всемирного тяготения Ньютона, согласно которому сила гравитационного притяжения двух материальных точек пропорциональна произведению масс этих точек, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющей точки. Из эксперимента находится и коэффициент пропорциональности — гравитационная постоянная у. Таким образом, сила гравитационного воздействия одной точки на другую равна

Подчеркнем, что только гравитационные силы обладают замечательным свойством одинаково ускорять любые тела, помещаемые в данную точку пространства. Действительно, из (2.15), (2.13) и (2.3) видно, что ускорение, которое приобретает тело 1 в гравитационном поле тела 2, равно

и не зависит от массы Следовательно, ускорения двух любых тел 1 и находящихся на одинаковых расстояниях от тела 2, равны между собой, т. е.

Из (2.15) и (2.17) вытекает, что отношение сил гравитационного притяжения двух данных тел У и к любому третьему телу 2 (при условии равенства расстояний равно отношению масс:

Это свойство гравитационных сил удобно использовать для измерения масс.

Наряду с определением инертной массы в классической механике имеется определение гравитационной (или тяжелой) массы. При этом исходят из экспериментально установленного постоянства отношения Для данной пары тел 1 и поочередно помещаемых в одну и ту же точку

гравитацнонного поля любого тела 2. Это отношение определяют как отношение гравитационных масс Иначе говоря, исходят из закона всемирного тяготения в виде

Далее, опираясь на экспериментально установленное свойство гравитационных сил (2.17) и исходя из отношения инертных масс (2.14), убеждаются в том, что гравитационная и инертная массы тела пропорциональны, т. е.

причем коэффициент пропорциональности зависит от выбора системы единиц измерения (обычно полагают, что и тем самым фиксируют размерность гравитационной постоянной; в системе единиц в этом случае Заключение о пропорциональности гравитационной и инертной масс тела неоднократно и с большой степенью точности подтверждалось на опыте.