§ 59. Несжимаемая жидкость

Уравнения движения идеальной жидкости заметно упрощаются, если жидкость можно считать несжимаемой, т. е. ее плотность массы (при изменении давления в широком диапазоне) можно считать равной постоянной величине во всем объеме жидкости в любой момент времени. Поскольку плотность известна, то движение среды определяется полями давления и скорости. Действительно, в этом случае уравнение непрерывности и уравнение Эйлера принимают вид

и являются системой уравнений, замкнутой относительно четырех функций . Поэтому для решения задачи о механическом движении несжимаемой идеальной жидкости не требуется знания внутренней энергии и энтропии.

Уравнения идеальной жидкости в особенности упрощаются, если течение несжимаемой жидкости потенциально. Тогда уравнение непрерывности (59.1) после подстановки (57.24) сводится к уравнению Лапласа

для потенциала скорости течения (как видно, потенциал скорости подчиняется тому же уравнению, что и потенциал электростатического поля в отсутствие зарядов). В случае неподвижной твердой стенки граничным условием для этого уравнения является условие (см. (56.8)):

Если же твердая стенка движется заданным образом, то должна быть приравнена соответствующей известной функции времени и координат.

Что касается уравнения Эйлера, то оно для потенциальных течений несжимаемой жидкости под действием потенциальных объемных сил ввиду постоянства внутренней энергии (см. стр. 487) приводит к интегралу Коши вида

Отсюда вытекает, что в случае стационарного потенциального течения несжимаемой идеальной жидкости имеет место интеграл

где постоянная С одинакова для всех частиц жидкости.

Пример 59.1. Движение сферы в неограниченной несжимаемой жидкости.

Сфера радиуса а в отсутствие объемных сил движется поступательно в неограниченной несжимаемой и безвихревой жидкости со скоростью направление которой коллинеарно некоторой неподвижной прямой. Найти реакцию жидкости на сферу.

Положим сначала скорость постоянной и рассмотрим задачу в системе отсчета связанной со сферой. Поскольку необходимо найти решение уравнения Лапласа для потенциала удовлетворяющего граничным условиям на поверхности сферы, воспользуемся сферической системой координат с началом в центре

сферы и полярной осью, направленной по вектору Тогда граничные условия задачи будут иметь вид

Учитывая, что течение обладает азимутальной симметрией, решение уравнения Лапласа можно искать в виде функции

где — функции, зависящие соответственно только от . Подставляя (2) в уравнение Лапласа

получим

Отсюда находим, что должны удовлетворять уравнениям

где — постоянная разделения. Как известно, уравнение (5) допускает однозначные непрерывные решения при Такими решениями являются полиномы Лежандра (например, Далее из уравнения (4) при для радиальной функции найдем

где А и В — произвольные постоянные. Следовательно, решение уравнения Лапласа (3) может быть записано в виде

Используя граничное условие на бесконечности, найдем

затем из условия на сфере получим

Из (7) и (8) следует, что

Таким образом, получим решение задачи об обтекании неподвижной сферы в виде

Нетрудно найти отличные от нуля компоненты скорости течения относительно системы

Скорость течения на сфере будет равна

откуда видно, что точки являются критическими а в точках скорость максимальна и в полтора раза превышает скорость потока на бесконечности.

Поскольку поток при обтекании сферы стационарен, воспользуемся интегралом (57.15) для определения давления жидкости на сферу. Подставляя (12) в этот интеграл, получим

Отсюда ясно, что суммарная сила давления жидкости на сферу равна нулю. В этом можно убедиться, вычисляя интеграл (56.9). Например, для проекции силы на полярную ось в результате подстановки (13) в (56.9) найдем

Вывод об отсутствии сопротивления движущемуся телу называется парадоксом Д’Аламбера, поскольку из опыта известно, что такое сопротивление существует. Этот парадокс является следствием неправомерного пренебрежения вязкими свойствами жидкости в пограничном слое.

Теперь легко получить решение задачи о течении (покоящейся на бесконечности) жидкости под действием движущейся сферы.

Для этого перейдем из системы S с началом в центре сферы в систему относительно которой скорость сферы равна При этом относительно скорость течения равна откуда следует, что потенциал скорости связан с потенциалом соотношением

т. е.

Ясно также, что при движении сферы со скоростью зависящей от времени, потенциал имеет аналогичный вид

Потенциал описывающий нестационарное течение жидкости относительно 5 выражен через переменные подвижной системы S с началом в центре сферы и имеет, следовательно, вид Учитывая это, из интеграла Коши (59.5) найдем

Подставляя (15) при в (56.9) и имея в виду, что отличный от нуля вклад дает лишь член, пропорциональный , для реакции жидкости получим выражение

Следовательно, реакция жидкости как бы увеличивает массу сферы на величину, равную половине массы жидкости, вытесненной сферой. По этой причине величина — называется присоединенной массой.

Пример 59.2. Подъемная сила Жуковского.

Стационарный поток несжимаемой жидкости в отсутствие внешних сил обтекает неподвижный бесконечный круговой цилиндр радиуса а, причем скорость потока на бесконечности перпендикулярна оси цилиндра. Найти потенциал скорости течения, при котором реакция жидкости на тело отлична от нуля.

Рис. 59.1

Направим ось по оси цилиндра, а ось х по вектору (рис. 59.1, а). Ввиду двумерности задачи, запишем уравнение Лапласа (59.3) в полярных координатах

Решение этого уравнения должно удовлетворять граничному условию (59.4) на поверхности цилиндра

и условию на бесконечности

Будем искать решение уравнения (1) в виде

Подставляя (4) в (1), найдем уравнения для функций

где — постоянная разделения. Уравнение (5) допускает частные решения вида

Поскольку значения угла должны соответствовать одной и той же точке поля скоростей, то Это условие приводит к требованию где Подставляя значения в уравнение (6), найдем его частные решения

Таким образом, уравнение Лапласа (1) имеет решение

Подставляя (7) в граничные условия (3) и (2), найдем постоянные

и тем самым получим искомый потенциал

Отсюда легко найти компоненты скорости в любой точке потока

а также на поверхности цилиндра

(как видно, в точках поверхности при скорость по абсолютной величине в два раза превышает значение скорости на бесконечности). Далее, используя интеграл (59.6)

найдем реакцию жидкости на единицу длины цилиндра

т. е. снова придем к парадоксу д’Аламбера. Однако в действительности в пограничном слое около поверхности цилиндра вследствие вязкости среды возникает движение с циркуляцией отличной от нуля, т. е., вообще говоря, вихревое движение. Оставаясь в рамках модели идеальной жидкости и не рассматривая вопрос об образовании циркуляции, зададим такое движение (во всем пространстве за исключением области потенциалом

Этот потенциал удовлетворяет уравнению (1) и определяет поле скорости (рис. 59.16)

причем

везде, кроме Таким образом, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, не охватывающему точку равна нулю, а по любому замкнутому контуру, охватывающему точку отлична от нуля. Например, циркуляция скорости по некоторой линии тока, т. е. по окружности с центром в начале координат, равна

(заметим, что задача о магнитном поле бесконечного прямолинейного постоянного тока аналогична задаче о рассматриваемом

течении с потенциалом (8) — см. пример 6.2; в частности, напряженность такого магнитного поля описывается формулами вида (9)).

Теперь рассмотрим течение, определяемое потенциалом, равным сумме

Этот потенциал удовлетворяет условиям (2), (3) и определяет поле скорости (рис. 59.1, в)

Отсюда

Далее, используя интеграл (59.6), найдем реакцию жидкости на единицу длины цилиндра

Как видно, поток с циркуляцией действует на цилиндр с силой, перпендикулярной направлению потока на бесконечности (знак конечно зависит от знака Г). Эта сила называется подъемной силой Жуковского. Теоретический расчет величины циркуляции может быть проведен на основе постулата Жуковского—Чаплыгина (см., например, [50]).