Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 59. Несжимаемая жидкостьУравнения движения идеальной жидкости заметно упрощаются, если жидкость можно считать несжимаемой, т. е. ее плотность массы
и являются системой уравнений, замкнутой относительно четырех функций Уравнения идеальной жидкости в особенности упрощаются, если течение несжимаемой жидкости потенциально. Тогда уравнение непрерывности (59.1) после подстановки (57.24) сводится к уравнению Лапласа
для потенциала
Если же твердая стенка движется заданным образом, то должна быть приравнена соответствующей известной функции времени и координат. Что касается уравнения Эйлера, то оно для потенциальных течений несжимаемой жидкости под действием потенциальных объемных сил ввиду постоянства внутренней энергии (см. стр. 487) приводит к интегралу Коши вида
Отсюда вытекает, что в случае стационарного потенциального течения несжимаемой идеальной жидкости имеет место интеграл
где постоянная С одинакова для всех частиц жидкости. Пример 59.1. Движение сферы в неограниченной несжимаемой жидкости. Сфера радиуса а в отсутствие объемных сил движется поступательно в неограниченной несжимаемой и безвихревой жидкости со скоростью Положим сначала скорость сферы и полярной осью, направленной по вектору
Учитывая, что течение обладает азимутальной симметрией, решение уравнения Лапласа можно искать в виде функции
где
получим
Отсюда находим, что
где
где А и В — произвольные постоянные. Следовательно, решение уравнения Лапласа (3) может быть записано в виде
Используя граничное условие на бесконечности, найдем
затем из условия на сфере получим
Из (7) и (8) следует, что
Таким образом, получим решение задачи об обтекании неподвижной сферы в виде
Нетрудно найти отличные от нуля компоненты скорости
Скорость течения на сфере будет равна
откуда видно, что точки Поскольку поток при обтекании сферы стационарен, воспользуемся интегралом (57.15) для определения давления жидкости на сферу. Подставляя (12) в этот интеграл, получим
Отсюда ясно, что суммарная сила
Вывод об отсутствии сопротивления движущемуся телу называется парадоксом Д’Аламбера, поскольку из опыта известно, что такое сопротивление существует. Этот парадокс является следствием неправомерного пренебрежения вязкими свойствами жидкости в пограничном слое. Теперь легко получить решение задачи о течении (покоящейся на бесконечности) жидкости под действием движущейся сферы. Для этого перейдем из системы S с началом в центре сферы в систему
т. е.
Ясно также, что при движении сферы со скоростью
Потенциал
Подставляя (15) при
Следовательно, реакция жидкости как бы увеличивает массу сферы на величину, равную половине массы жидкости, вытесненной сферой. По этой причине величина — Пример 59.2. Подъемная сила Жуковского. Стационарный поток несжимаемой жидкости в отсутствие внешних сил обтекает неподвижный бесконечный круговой цилиндр радиуса а, причем скорость
Рис. 59.1 Направим ось
Решение этого уравнения должно удовлетворять граничному условию (59.4) на поверхности цилиндра
и условию на бесконечности
Будем искать решение уравнения (1) в виде
Подставляя (4) в (1), найдем уравнения для функций
где
Поскольку значения угла
Таким образом, уравнение Лапласа (1) имеет решение
Подставляя (7) в граничные условия (3) и (2), найдем постоянные
и тем самым получим искомый потенциал
Отсюда легко найти компоненты скорости в любой точке потока
а также на поверхности цилиндра
(как видно, в точках поверхности при скорость по абсолютной величине в два раза превышает значение скорости на бесконечности). Далее, используя интеграл (59.6)
найдем реакцию жидкости на единицу длины цилиндра
т. е. снова придем к парадоксу д’Аламбера. Однако в действительности в пограничном слое около поверхности цилиндра вследствие вязкости среды возникает движение с циркуляцией отличной от нуля, т. е., вообще говоря, вихревое движение. Оставаясь в рамках модели идеальной жидкости и не рассматривая вопрос об образовании циркуляции, зададим такое движение (во всем пространстве за исключением области
Этот потенциал удовлетворяет уравнению (1) и определяет поле скорости (рис. 59.16)
причем
везде, кроме
(заметим, что задача о магнитном поле бесконечного прямолинейного постоянного тока аналогична задаче о рассматриваемом течении с потенциалом (8) — см. пример 6.2; в частности, напряженность такого магнитного поля описывается формулами вида (9)). Теперь рассмотрим течение, определяемое потенциалом, равным сумме
Этот потенциал удовлетворяет условиям (2), (3) и определяет поле скорости (рис. 59.1, в)
Отсюда
Далее, используя интеграл (59.6), найдем реакцию жидкости на единицу длины цилиндра
Как видно, поток с циркуляцией действует на цилиндр с силой, перпендикулярной направлению потока на бесконечности (знак
|
1 |
Оглавление
|