Глава VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 35. Собственные колебания и метод Крылова — Боголюбова

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, на которую наложены голономные стационарные связи и действуют заданные стационарные силы; при этом предположим, что у системы имеется положение устойчивого равновесия. Разложение кинетической, потенциальной и диссипативной функций в окрестности этого положения вплоть до членов второго порядка малости включительно приводит к линейному уравнению. Однако во многих практически важных задачах возникает необходимость исследования колебаний с достаточно большими амплитудами и скоростями. В таких случаях линейное приближение оказывается недостаточным и приходится учитывать последующие члены разложений, приводящие к нелинейным уравнениям. Если при этом отклонения от положения равновесия и скорости точек не слишком велики, то соответствующие уравнения будут описывать малые нелинейные колебания.

Рис. 35.1

Изучим особенности таких колебаний на примере математического маятника, помещенного в среду с «линейным» сопротивлением (рис. 35.1). Его кинетическая и потенциальная энергия, а также диссипативная функция соответственно равны

Разлагая потенциальную энергию в положении устойчивого равновесия

с точностью до членов четвертого порядка малости включительно, получим

а используя (27.23) и (27.26), найдем уравнение Лагранжа

где Если в этом уравнении пренебречь нелинейным членом, пропорциональным то придем к линейному уравнению, решением которого в случае является функция

где Если же не пренебрегать нелинейным членом, то, учитывая его малость по сравнению с линейным членом, пропорциональным можно предположить, что решение, описывающее нелинейное колебание, по форме близко к решению линейного уравнения, т. е.

где — неизвестные амплитуды и фаза нелинейного колебания.

Величина обобщенной силы, связанной с отклонением маятника от вертикали и пропорциональной меньше величины той же силы в линейном приближении, причем различие в этих значениях тем больше, чем больше отклонение маятника от вертикали (см., например, рис. 30.1). Следовательно, первая производная фазы по времени или частота нелинейных колебаний маятника будет меньше собственной частоты его линейных колебаний и будет зависеть от амплитуды колебаний. В связи с этим можно допустить, что для собственных нелинейных колебаний, вообще говоря, имеет место зависимость:

где — неизвестная функция, вид которой определяется видом обобщенной силы.

Предположение об изменении амплитуды нелинейного колебания, по существу, также связано с допущением (35.1) о «близости» нелинейного и линейного колебаний в течение одного периода. Действительно, в линейном приближении амплитуда математического маятника изменяется по закону

и удовлетворяет уравнению

Поэтому будем считать, что и в общем случае производная от амплитуды нелинейных колебаний является функцией амплитуды, т. е.

Характерным для нелинейных колебаний является наличие «обертонов», т. е. частот, кратных основной частоте. В частности, это можно видеть на примере математического маятника, уравнение которого содержит нелинейный член, приводящий к появлению высшей гармоники (см. (35.1)):

Наконец, в силу нелинейности уравнения движения его общее решение не сводится к сумме частных решений, и, следовательно, принцип суперпозиции не имеет места. Таковы особенности нелинейных малых колебаний или, как говорят, слабо нелинейных колебаний.

Рассмотрим уравнение слабо нелинейных собственных одномерных колебаний вида

где — параметр, указывающий на малость функции по сравнению с линейным членом (порядок малости членов в этом и последующих уравнениях определяется так, чтобы при имел место случай линейных гармонических колебаний). Одним из методов решения этого уравнения является метод Крылова — Боголюбова.

Учитывая (35.1), решение уравнения (35.4) будем искать в виде ряда

где — неизвестные функции амплитуды а и периодические функции фазы . В свою очередь амплитуда а и фаза являются неизвестными функциями времени, подчиненными «своим» дифференциальным уравнениям (см. (35.3) и

Правые части этих уравнений могут быть найдены, поскольку ряд (35.5), в котором а и как функции времен определяются уравнениями вида (35.6), должен удовлетворять исходному уравнению (35.4). Неизвестные функции определяются с некоторым произволом, который можно исключить, если потребовать, чтобы а явилась полнгй амплитудой основной гармоники. Тогда функции не будут содержать членов, пропорциональных и и будут удовлетворять условиям:

Общая схема решения исходного уравнения заключается в отыскании функций по заданной функции при этом амплитуда и фаза как функции времени будут определяться по найденным функциям с помощью уравнений (35.6).

Найдем решение исходного уравнения в первом приближении. Прежде чем подставить ряд (35.5) в уравнение (35.4), получим величины как функции а и с точностью до включительно. Дифференцируя первые два члена ряда (35.5) по времени, найдем

Учитывая, что а и подчинены уравнениям (35.6), в результате их подстановки с той же точностью получим

Дифференцируя (35.9) по времени, получим

а подставляя сюда (35.6), найдем с точностью до включительно

Формулы (35.11) и (35.5) дают возможность определить левую часть исходного уравнения как функцию а и Для отыскания

с точностью до правой части (35.4) как функции а и нужно разложить в «точке» :

Подставляя (35.5), (35.11) и (35.12) в исходное уравнение (35.4), с указанной точностью получим

где

Соотношение (35.13) дает возможность определить неизвестные функции и по заданной функции Действительно, представим заданную функцию и неизвестную функцию (по предположению, она является периодической функцией в виде рядов Фурье

где — известные коэффициенты Фурье, и

где — коэффициенты Фурье, подлежащие определению, а коэффициенты согласно (35.7), равны

Подставляя (35.14) и (35.15) в (35.13) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, находим ессц и коэффициенты

Используя (35.17), получим дифференциальные уравнения (35.6) для амплитуды и фазы

Таким образом, в первом приближении производная амплитуды по времени и частота определяются коэффициентами Фурье заданной функции т. е. коэффициентами Фурье правой (вообще говоря, нелинейной) части исходного уравнения, взятой с точностью до производная амплитуды определяется коэффициентом Фурье при а производная фазы определяется коэффициентом Фурье при

Подстановка (35.18) в (35.15) приведет к определению функции

Решая систему уравнений (35.19), получим амплитуду а и фазу как функции времени и начальных значений Используя эти функции с помощью (35.5) и (35.20), найдем решение исходного уравнения

Проводя аналогичные вычисления с точностью до можно получить решение во втором приближении.

На достаточно большом интервале времени первому приближению для функций а и соответствует нулевое приближение для 1, а второму приближению для а и соответствует первое приближение для и т. д. [19, стр. 42—43]. Действительно, возьмем за меру большого временного интервала время — . Для таких интервалов конечные приращения амплитуды Да и фазы можно записать в виде (см. уравнения (35.6) в первом приближении)

где — средние значения на рассматриваемом интервале времени. Таким образом, погрешностям порядка в значениях

производных соответствуют погрешности нулевого порядка в значениях самих амплитуды и фазы. Поэтому для достаточно больших интервалов времени в качестве первого и второго приближений нужно брать приближения

Пример 35.1. Нелинейные колебания математического маятника в среде с «линейной» силой сопротивления.

Пусть математический маятник совершает малые нелинейные колебания в среде, сила сопротивления которой пропорциональна первой степени скорости точки. Найти закон движения маятника.

Перепишем уравнение движения маятника (см. стр. 317) в виде (35.4)

где . Затем в первом приближении определим правую часть этого уравнения как функцию а и (см. 35.13)):

Разлагая эту функцию в ряд Фурье, что в данном случае сводится к использованию формулы

найдем

Отсюда получим коэффициенты Фурье

а следовательно, и уравнения для амплитуды и фазы (см. (35.22))

Подставляя решение первого из этих уравнений

во второе уравнение, в результате интегрирования найдем угол отклонения маятника как функцию времени

(постоянные интегрирования связаны с начальными условиями

Итак, в данном примере учет нелинейной потенциальной силы приводит к уменьшению частоты по сравнению с частотой линейных колебаний. С течением времени благодаря сопротивлению амплитуда становится исчезающе малой, поэтому со стремится к (рис. 35.2).

Пример 35.2. Автоколебания математического маятника.

Подвес маятника жестко скреплен с муфтой, которая надета на вал, вращающийся с постоянной угловой скоростью (рис. 35.3). Сила сухого трения действующая со стороны вала на маятник, известна как функция их относительной угловой скорости. Найти амплитуду установившихся колебаний маятника.

Рис. 35.2

Уравнение движения маятника определяется кинетической и потенциальной энергиями (см. предыдущий пример), а также диссипативной силой

где — угол отклонения маятника от вертикали. Используя (27.23), получим

где

Сила сухого трения как функция относительной угловой скорости имеет «падающие» участки (рис. 35.4), на которых

Выберем угловую скорость вращения вала так, чтобы она являлась абсциссой точки перегиба на «падающем» участке функции тогда кроме того, допустим, что

Рис. 35.3

Рис. 35.4

Учитывая, что положение равновесия маятника определяется соотношением и разлагая обе части исходного уравнения Лагранжа по степеням отклонения от положения равновесия и скорости получим уравнение для слабо нелинейных колебаний

где

Знак обобщенной диссипативной силы, пропорциональной при совпадает со знаком скорости ; для достаточно больших значений этот знак противоположен знаку . Это связано с тем, что в качестве «рабочего» участка выбран «падающий» участок функции Итак, для очень малых амплитуда колебаний маятника будет нарастать, а для достаточно больших — убывать, следовательно, возможно установление стационарной амплитуды, независимой от начального значения амплитуды.

Изучаемый маятник является типичным примером автоколебательной системы. Такая система состоит из «колебательного контура» (маятника), «источника питания» (вращающегося вала) и «нелинейного элемента» (силы сухого трения),

регулирующего поступление энергии в колебательный контур. Автоколебательные (механические и немеханические) системы часто встречаются на практике (например, такой автоколебательной системой является простейший ламповый генератор).

В первом приближении правая часть уравнения (1) как функция равна

Выделяя здесь первые гармоники, получим 2

Отсюда, используя (35.14), (35.17) и (35.19), найдем уравнения для амплитуды а и фазы

Интегрируя первое из уравнений (2), получим амплитуду как фунцию времени

и ее значение при

где Из (3) видно, что амплитуда установившихся колебаний не зависит от начального значения амплитуды: достаточно сколь угодно малого начального отклонения от положения равновесия, чтобы амплитуда возросла вплоть до значения .