Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ§ 35. Собственные колебания и метод Крылова — БоголюбоваРассмотрим систему с одной степенью свободы, на которую наложены голономные стационарные связи и действуют заданные стационарные силы; при этом предположим, что у системы имеется положение устойчивого равновесия. Разложение кинетической, потенциальной и диссипативной функций в окрестности этого положения вплоть до членов второго порядка малости включительно приводит к линейному уравнению. Однако во многих практически важных задачах возникает необходимость исследования колебаний с достаточно большими амплитудами и скоростями. В таких случаях линейное приближение оказывается недостаточным и приходится учитывать последующие члены разложений, приводящие к нелинейным уравнениям. Если при этом отклонения от положения равновесия и скорости точек не слишком велики, то соответствующие уравнения будут описывать малые нелинейные колебания.
Рис. 35.1 Изучим особенности таких колебаний на примере математического маятника, помещенного в среду с «линейным» сопротивлением (рис. 35.1). Его кинетическая и потенциальная энергия, а также диссипативная функция соответственно равны
Разлагая потенциальную энергию в положении устойчивого равновесия
а используя (27.23) и (27.26), найдем уравнение Лагранжа
где
где
где Величина обобщенной силы, связанной с отклонением маятника от вертикали и пропорциональной
где Предположение об изменении амплитуды нелинейного колебания, по существу, также связано с допущением (35.1) о «близости» нелинейного и линейного колебаний в течение одного периода. Действительно, в линейном приближении амплитуда математического маятника изменяется по закону
и удовлетворяет уравнению
Поэтому будем считать, что и в общем случае производная от амплитуды нелинейных колебаний является функцией амплитуды, т. е.
Характерным для нелинейных колебаний является наличие «обертонов», т. е. частот, кратных основной частоте. В частности, это можно видеть на примере математического маятника, уравнение которого содержит нелинейный член, приводящий к появлению высшей гармоники (см. (35.1)):
Наконец, в силу нелинейности уравнения движения его общее решение не сводится к сумме частных решений, и, следовательно, принцип суперпозиции не имеет места. Таковы особенности нелинейных малых колебаний или, как говорят, слабо нелинейных колебаний. Рассмотрим уравнение слабо нелинейных собственных одномерных колебаний вида
где Учитывая (35.1), решение уравнения (35.4) будем искать в виде ряда
где
Правые части этих уравнений могут быть найдены, поскольку ряд (35.5), в котором а и
Общая схема решения исходного уравнения заключается в отыскании функций Найдем решение исходного уравнения в первом приближении. Прежде чем подставить ряд (35.5) в уравнение (35.4), получим величины
Учитывая, что а и
Дифференцируя (35.9) по времени, получим
а подставляя сюда (35.6), найдем с точностью до
Формулы (35.11) и (35.5) дают возможность определить левую часть исходного уравнения как функцию а и с точностью до
Подставляя (35.5), (35.11) и (35.12) в исходное уравнение (35.4), с указанной точностью получим
где Соотношение (35.13) дает возможность определить неизвестные функции
где
где
Подставляя (35.14) и (35.15) в (35.13) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, находим
Используя (35.17), получим дифференциальные уравнения (35.6) для амплитуды и фазы
Таким образом, в первом приближении производная амплитуды по времени и частота определяются коэффициентами Фурье заданной функции Подстановка (35.18) в (35.15) приведет к определению функции
Решая систему уравнений (35.19), получим амплитуду а и фазу
Проводя аналогичные вычисления с точностью до На достаточно большом интервале времени первому приближению для функций а и
где производных
Пример 35.1. Нелинейные колебания математического маятника в среде с «линейной» силой сопротивления. Пусть математический маятник совершает малые нелинейные колебания в среде, сила сопротивления которой пропорциональна первой степени скорости точки. Найти закон движения маятника. Перепишем уравнение движения маятника (см. стр. 317) в виде (35.4)
где
Разлагая эту функцию в ряд Фурье, что в данном случае сводится к использованию формулы
найдем
Отсюда получим коэффициенты Фурье
а следовательно, и уравнения для амплитуды и фазы (см. (35.22))
Подставляя решение первого из этих уравнений
во второе уравнение, в результате интегрирования найдем угол отклонения маятника как функцию времени
(постоянные интегрирования Итак, в данном примере учет нелинейной потенциальной силы приводит к уменьшению частоты Пример 35.2. Автоколебания математического маятника. Подвес маятника жестко скреплен с муфтой, которая надета на вал, вращающийся с постоянной угловой скоростью
Рис. 35.2 Уравнение движения маятника определяется кинетической и потенциальной энергиями (см. предыдущий пример), а также диссипативной силой
где
где Сила сухого трения как функция относительной угловой скорости имеет «падающие» участки (рис. 35.4), на которых Выберем угловую скорость вращения вала так, чтобы она являлась абсциссой точки перегиба на «падающем» участке функции
Рис. 35.3
Рис. 35.4 Учитывая, что положение
где
Знак обобщенной диссипативной силы, пропорциональной Изучаемый маятник является типичным примером автоколебательной системы. Такая система состоит из «колебательного контура» (маятника), «источника питания» (вращающегося вала) и «нелинейного элемента» (силы сухого трения), регулирующего поступление энергии в колебательный контур. Автоколебательные (механические и немеханические) системы часто встречаются на практике (например, такой автоколебательной системой является простейший ламповый генератор). В первом приближении правая часть уравнения (1) как функция
Выделяя здесь первые гармоники, получим 2
Отсюда, используя (35.14), (35.17) и (35.19), найдем уравнения для амплитуды а и фазы
Интегрируя первое из уравнений (2), получим амплитуду как фунцию времени
и ее значение
где
|
1 |
Оглавление
|