Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 22. Законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии относительно произвольных неинерциальных систем отсчетаРассмотрим соотношения важнейших динамических величин, характеризующих механическую систему и отнесенных к произвольным системам отсчета S и Найдем, например, соотношение между Р — импульсом системы относительно S и Р — импульсом той же системы относительно
В первой и второй суммах этого выражения множители
где
где Аналогично найдем соотношения кинетических моментов и моментов внешних сил. В самом деле, используя определения кинетического момента и момента внешних сил (см. (10.2) и (10.5)), а также соотношения (1.6) и (19.10) для каждой точки системы, получим
где Соотношения для кинетических энергий и мощностей всех сил, действующих на точки, найдем, используя определения этих величин (см. (11.2) и (6.1)), формулы (19.10) и третий закон Ньютона. В результате получим
где Т — кинетическая энергия относительно Чтобы установить законы изменения Р, М и Т относительно S, систему S будем считать инерциальной, а систему S — неинерциальной и исходить из уравнений движения относительно неинерциальной системы отсчета (см. (20.1)). Например, суммируя эти уравнения по всем точкам, найдем
Левая часть этого уравнения, согласно определению, равна произведению
Сумма всех сил
Отсюда видно, что сумма переносных сил инерции, «приложенных» к точкам системы, равна переносной силе инерции, «приложенной» к центру масс. Аналогично для суммы кориолисовых сил инерции получим
Таким образом, уравнение (22.7) представляет собой закон изменения импульса относительно неинерциальной системы отсчета:
где
Как мы видим, вывод и содержание этого закона аналогичны выводу и содержанию закона изменения импульса относительно инерциальной системы отсчета (9.15). Однако в неинерциальной системе кроме сил, действующих на точки со стороны различных тел, имеются силы инерции, которые не подчинены закону действия и противодействия. Эти силы играют роль внешних сил и также изменяют импульс системы. Вывод закона изменения момента М аналогичен выводу уравнения (10.5) для момента М. Действительно, умножим обе части уравнения (20.1), взятого для
Умножая каждое из уравнений (20.1), взятых для различных точек системы, скалярно на скорость соответствующей точки относительно системы
где
поскольку
Итак, согласно закону (22.12) изменение кинетической энергии относительно S определяется работой внутренних и внешних сил, а также работой переносных сил инерции. Рассмотрим подробнее этот закон, предполагая, что внешние силы заданы как функции положений и скоростей точек относительно
где
Учитывая (22.15), (22.16) и соотношения типа (11.2) — (11.13), закон (22.12) можно записать в виде, аналогичном (11.18):
где Изучим свойства переносных сил инерции, имея в виду, что эти силы заданы как функции времени и координат точек, поскольку
(здесь дифференцирование производится по координатам точки пространства в системе S при фиксированном времени). Таким образом, сила инерции, возникающая за счет поступательного ускорения, и центробежная сила являются потенциальными силами. Поэтому можно ввести
Учитывая, что
получим
где
и т. д. Таким образом,
Затем, используя векторное тождество
окончательно получим
Суммируя это выражение по всем точкам, найдем потенциальную энергию
(подчеркнем, что эта потенциальная энергия соответствует не всем переносным силам инерции, а только потенциальной ее части). Учитывая свойства сил инерции (см. (20.1) и (22.18)), запишем мощность этих сил в виде, аналогичном (11.9):
Затем, используя (22.21), найдем частную производную:
Наконец, учитывая (22.22) и (22.23), из (22.17) получим закон изменения полной энергии относительно неинерциальной системы отсчета:
где Законы сохранения относительно неинерциальных систем отсчета аналогичны соответствующим законам для инерциальных систем; однако для сохранения какой-либо проекции импульса или момента необходимо большее число требований, включающее в себя требования на соответствующие проекции сил инерции или момента сил инерции. Например, из (22.10) следует:
а из (22.11) получим:
В случае изолированной механической системы
Рис. 22.1 Наконец (см. (22.24)), если потенциальная энергия механической системы во внешних полях стационарна, диссипативные силы (внутренние и внешние) отсутствуют, а неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной с постоянной угловой скоростью и постоянным ускорением начала, то полная энергия механической системы, относительно неинерциальной системы отсчета будет сохраняться, т. е.
Пример 22.1. Задача двух тел в неинерциальной системе отсчета. Рассмотрим движение двух взаимодействующих точек относительно поступательно движущейся системы S с началом в одной из точек (рис. 22.1). Поместим начало этой системы в точку 1, т. е. потребуем, чтобы
Первое из этих уравнений по существу является уравнением движения начала системы S относительно
где Сопоставляя (2) с (12.11), придем к выводу, что точка 2 движется относительно неинерциальной системы S так же, как воображаемая Интересно рассмотреть законы сохранения относительно неинерциальной системы Закон изменения момента (22.11) в данной задаче принимает вид
где
и является центральной силой; момент силы относительно точки 1 равен нулю, а значит, момент М сохраняется:
Закон изменения энергии относительно S используем в форме (22.17), поскольку в рассматриваемом случае ускорение начала системы S является не заданной функцией времени, а заданной функцией координат. Тогда
где
Теперь учтем, что переносная сила инерции (4) потенциальна, а соответствующая ей потенциальная энергия равна
Таким образом, используя (6) и (7), придем к интегралу энергии
Отметим также, что в предельном случае Пример 22.2. Возмущение эллиптической орбиты. Как известно, под действием силы гравитационного притяжения (2.15) точка может двигаться по эллиптической орбите относительно инерциальной системы отсчета. Определить центральную силу, которую необходимо добавить к силе (2.15) с тем, чтобы орбита стала вращаться относительно инерциальной системы без изменения своего вида, т. е. чтобы точка в некоторой вращающейся системе отсчета двигалась по эллиптической орбите с фокусом в центре сил (центры добавочной и гравитационной сил совпадают). Начало О инерциальной системы S поместим в центр сил, а плоскость плоской, так как и сила гравитационного притяжения Если на точку действует только сила Уравнение движения точки относительно S получим (см. (20.1)), учитывая, что
здесь
кроме того, по условию
в котором угловая скорость о» также неизвестна. Векторы
поскольку система S вращается относительно S только вокруг оси
Учитывая (4) и центральность силы Ф, из уравнения (2) получим
Интегрируя (5), найдем
Так как сила F центральна, а сумма сил инерции и добавочной силы Ф равна нулю, имеет место сохранение момента импульса точки относительно S:
Подставляя (7) и (8) в уравнение (6), получим
|
1 |
Оглавление
|