§ 22. Законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии относительно произвольных неинерциальных систем отсчета

Рассмотрим соотношения важнейших динамических величин, характеризующих механическую систему и отнесенных к произвольным системам отсчета S и Пусть движение системы S относительно S известно, т. е. — радиус-вектор начала системы S им — ее угловая скорость заданы как функции времени; будем также считать, что все векторы, характеризующие механическую систему относительно 5, заданы в виде разложений по ортам а векторы, характеризующие систему относительно — в виде разложения по ортам

Найдем, например, соотношение между Р — импульсом системы относительно S и Р — импульсом той же системы относительно Для этого используем определение импульса и связь скоростей любой точки относительно систем S и S (см. (9.5) и Тогда

В первой и второй суммах этого выражения множители не зависят от номера точки, а третья сумма является импульсом Р относительно Учитывая это, придем к соотношению между импульсами Р и Р (одной и той же механической системы) относительно систем отсчета S и

где масса системы, радиус-вектор центра масс относительно Отсюда следует, что скорость центра масс системы относительно S равна (см. (9.2) и (9.7))

где — скорость центра масс относительно

Аналогично найдем соотношения кинетических моментов и моментов внешних сил. В самом деле, используя определения кинетического момента и момента внешних сил (см. (10.2) и (10.5)), а также соотношения (1.6) и (19.10) для каждой точки системы, получим

где и кинетический момент системы и сумма моментов внешних сил относительно

Соотношения для кинетических энергий и мощностей всех сил, действующих на точки, найдем, используя определения этих величин (см. (11.2) и (6.1)), формулы (19.10) и третий закон Ньютона. В результате получим

где Т — кинетическая энергия относительно мощность сил относительно - мощность сил относительно Заметим, что соотношения (22.1) — (22.6) справедливы для любых двух систем отсчета S и

Чтобы установить законы изменения Р, М и Т относительно S, систему S будем считать инерциальной, а систему S — неинерциальной и исходить из уравнений движения относительно

неинерциальной системы отсчета (см. (20.1)). Например, суммируя эти уравнения по всем точкам, найдем

Левая часть этого уравнения, согласно определению, равна произведению а ускорение любой точки относительно согласно (19.14), есть производная скорости этой точки относительно взятая при постоянных «штрихованных» ортах. Следовательно, а

Сумма всех сил из уравнения (22.7) равна сумме только внешних сил поскольку внутренние силы взаимодействия подчинены третьему закону Ньютона. Суммируя переносные силы инерции, найдем

Отсюда видно, что сумма переносных сил инерции, «приложенных» к точкам системы, равна переносной силе инерции, «приложенной» к центру масс. Аналогично для суммы кориолисовых сил инерции получим

Таким образом, уравнение (22.7) представляет собой закон изменения импульса относительно неинерциальной системы отсчета:

где

Как мы видим, вывод и содержание этого закона аналогичны выводу и содержанию закона изменения импульса относительно инерциальной системы отсчета (9.15). Однако в неинерциальной системе кроме сил, действующих на точки со стороны

различных тел, имеются силы инерции, которые не подчинены закону действия и противодействия. Эти силы играют роль внешних сил и также изменяют импульс системы.

Вывод закона изменения момента М аналогичен выводу уравнения (10.5) для момента М. Действительно, умножим обе части уравнения (20.1), взятого для -той точки, векторно слева на и просуммируем полученные выражения по всем точкам. Затем учтем, что — скорость -той точки относительно равна производной от по времени при постоянных «штрихованных» ортах. Тогда, исключая внутренние силы взаимодействия с помощью третьего закона аналогично (10.3) и (10.4), лолучим закон изменения кинетического момента относительно неинерциальной системы отсчета:

Умножая каждое из уравнений (20.1), взятых для различных точек системы, скалярно на скорость соответствующей точки относительно системы в результате простых преобразований, лайдем закон изменения кинетической энергии относительно неинерциальной системы отсчета:

где — мощность всех сил относительно При выводе (22.12) следует иметь в виду, что производная кинетической энергии по времени при постоянных ортах системы S равна производной той же функции при постоянных ортах системы , т. е.

поскольку . Кроме того, нужно также учитывать, что работа кориолисовых сил относительно S равна нулю:

Итак, согласно закону (22.12) изменение кинетической энергии относительно S определяется работой внутренних и внешних сил, а также работой переносных сил инерции. Рассмотрим подробнее этот закон, предполагая, что внешние силы заданы как

функции положений и скоростей точек относительно а также предполагая, что среди этих сил есть потенциальные, диссипативные и гироскопические силы; относительно внутренних сил взаимодействия предположим, что среди них могут быть потенциальные и диссипативные силы. Для потенциальной энергии V относительно S аналогично (11.14) и (11.15) получим

где для гироскопических сил будем иметь (ср. с (11.6))

Учитывая (22.15), (22.16) и соотношения типа (11.2) — (11.13), закон (22.12) можно записать в виде, аналогичном (11.18):

где

Изучим свойства переносных сил инерции, имея в виду, что эти силы заданы как функции времени и координат точек, поскольку — ускорение начала системы S и угловая скорость считаются известными функциями времени. Вычисляя ротор от каждого из трех слагаемых переносной силы инерции, убеждаемся в потенциальности части сил:

(здесь дифференцирование производится по координатам точки пространства в системе S при фиксированном времени). Таким образом, сила инерции, возникающая за счет поступательного ускорения, и центробежная сила являются потенциальными силами. Поэтому можно ввести — потенциальную энергию -той точки, соответствующую указанным двум силам, и, согласно (11.8), записать эту функцию в виде

Учитывая, что

получим

где

и т. д. Таким образом,

Затем, используя векторное тождество

окончательно получим

Суммируя это выражение по всем точкам, найдем потенциальную энергию системы в поле переносных сил инерции:

(подчеркнем, что эта потенциальная энергия соответствует не всем переносным силам инерции, а только потенциальной ее части).

Учитывая свойства сил инерции (см. (20.1) и (22.18)), запишем мощность этих сил в виде, аналогичном (11.9):

Затем, используя (22.21), найдем частную производную:

Наконец, учитывая (22.22) и (22.23), из (22.17) получим закон изменения полной энергии относительно неинерциальной системы отсчета:

где — полная механическая энергия относительно неинерциальной системы отсчета; определены в (22.15) и (22.21), являются заданными функциями времени.

Законы сохранения относительно неинерциальных систем отсчета аналогичны соответствующим законам для инерциальных систем; однако для сохранения какой-либо проекции импульса или момента необходимо большее число требований, включающее в себя требования на соответствующие проекции сил инерции или момента сил инерции. Например, из (22.10) следует:

а из (22.11) получим:

В случае изолированной механической системы ее импульс и кинетический момент относительно инерциальной системы отсчета сохраняются; если же движение механической системы отнесено к неинерциальной системе отсчета, то импульс и кинетический момент механической системы сохраняться не будут, так как и в случае изолированной системы на нее «действуют» силы инерции.

Рис. 22.1

Наконец (см. (22.24)), если потенциальная энергия механической системы во внешних полях стационарна, диссипативные силы (внутренние и внешние) отсутствуют, а неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной с постоянной угловой скоростью и постоянным ускорением начала, то полная энергия механической системы,

относительно неинерциальной системы отсчета будет сохраняться, т. е.

Пример 22.1. Задача двух тел в неинерциальной системе отсчета.

Рассмотрим движение двух взаимодействующих точек относительно поступательно движущейся системы S с началом в одной из точек (рис. 22.1). Поместим начало этой системы в точку 1, т. е. потребуем, чтобы Учитывая, что движение S относительно инерциальной системы 5 поступательно, т. е. и что получим из уравнений вида (20.1) уравнения движения относительно S:

Первое из этих уравнений по существу является уравнением движения начала системы S относительно а второе — уравнением движения точки относительно Это движение точка 2 совершает под действием силы и силы инерции — Исключая из второго уравнения с помощью первого уравнения, получим уравнение движения второй точки в виде

где

Сопоставляя (2) с (12.11), придем к выводу, что точка 2 движется относительно неинерциальной системы S так же, как воображаемая -точка движется относительно инерциальной системы центра масс.

Интересно рассмотреть законы сохранения относительно неинерциальной системы

Закон изменения момента (22.11) в данной задаче принимает вид

где . Из первого уравнения (1) следует, что переносная сила инерции равна

и является центральной силой; момент силы относительно точки 1 равен нулю, а значит, момент М сохраняется:

Закон изменения энергии относительно S используем в форме (22.17), поскольку в рассматриваемом случае ускорение начала системы S является не заданной функцией времени, а заданной функцией координат. Тогда

где

Теперь учтем, что переносная сила инерции (4) потенциальна, а соответствующая ей потенциальная энергия равна

Таким образом, используя (6) и (7), придем к интегралу энергии

Отметим также, что в предельном случае центр масс двух точек совпадает с точкой 1, а система S становится инерциальной.

Пример 22.2. Возмущение эллиптической орбиты.

Как известно, под действием силы гравитационного притяжения (2.15) точка может двигаться по эллиптической орбите относительно инерциальной системы отсчета. Определить центральную силу, которую необходимо добавить к силе (2.15) с тем, чтобы орбита стала вращаться относительно инерциальной системы без изменения своего вида, т. е. чтобы точка в некоторой вращающейся системе отсчета двигалась по эллиптической орбите с фокусом в центре сил (центры добавочной и гравитационной сил совпадают).

Начало О инерциальной системы S поместим в центр сил, а плоскость совместим с плоскостью орбиты (орбита будет

плоской, так как и сила гравитационного притяжения и возмущающая сила Ф центральны). Введем также неинерциальную систему S с началом О, совпадающим с О, а координатную плоскость этой системы совместим с плоскостью

Если на точку действует только сила то относительно S эта точка движется по эллипсу. Если же на точку действует сила , то по условию задачи точка также будет двигаться по эллипсу, но относительно причем относительно S точка будет двигаться, вообще говоря, по незамкнутой орбите между двумя концентрическими окружностями (см. рис. 8.1).

Уравнение движения точки относительно S получим (см. (20.1)), учитывая, что

здесь

кроме того, по условию Таким [образом, для неизвестной силы Ф получаем уравнение

в котором угловая скорость о» также неизвестна. Векторы и входящие в это уравнение, можно записать в виде

поскольку система S вращается относительно S только вокруг оси а движение точки происходит в плоскости (координаты являются полярными координатами точки в этой плоскости). Используя (3), найдем выражения для сил инерции:

Учитывая (4) и центральность силы Ф, из уравнения (2) получим

Интегрируя (5), найдем как функцию

Так как сила F центральна, а сумма сил инерции и добавочной силы Ф равна нулю, имеет место сохранение момента импульса точки относительно S:

Подставляя (7) и (8) в уравнение (6), получим