§ 3. Понятие об инерциальной системе отсчета и законы Ньютона. Принцип относительности Галилея

Понятие об инерциальной системе отсчета связано с понятием об изолированной материальной точке, т. е. точке, которая находится на весьма больших расстояниях от всех прочих тел. Ускорения изолированной точки, вызываемые телами, будут исчезающе малыми (см. 2.1). Вместе с тем экспериментальные исследования показывают, что относительно одних систем отсчета ускорение такой точки равно нулю, а относительно других систем изолированные точки движутся ускоренно. Например, возьмем изолированную точку, покоящуюся относительно системы 5 и занимающую положение (рис. 3.1, а). Тогда ускорение точки относительно S равно нулю. Теперь рассмотрим ту же точку в системе вращающейся относительно 5 с постоянной угловой скоростью со вокруг оси (для простоты совместим начала систем и оси Ясно, что относительно S точка будет двигаться по окружности радиуса и поэтому ее ускорение относительно S отлично от нуля (рис. 3.1, б).

Система отсчета, относительно которой изолированная материальная точка либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно из любого начального положения при любом направлении скорости, называется инерциальной системой

отсчета. В инерциальной системе отсчета радиус-вектор изолированной точки есть линейная функция времени

при любых постоянных Система отсчета, в которой условие (3.1) для изолированной точки не выполняется, называется неинерциальной системой.

Существование инерциальных систем отсчета подтверждается экспериментом (как всегда, с известной степенью точности). Простейший опыт Галилея заключался в наблюдении над отполированным металлическим шариком, скатывающимся по наклонной гладкой доске. Наблюдением было установлено, что если угол наклона доски к горизонту стремится к нулю, то ускорение шарика также стремится к нулю. Отсюда был сделан вывод о том, что «когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления, то движение его является равномерным и продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в пространстве без конца» [2, стр. 417, 418]. Последующие более точные опыты установили неинерциальность геоцентрической системы отсчета, которая фактически используется в эксперименте Галилея. В то же время наблюдения над ускорениями небесных тел показали инерциальность гелиоцентрической системы Коперника. Конечно, участие солнечной системы во вращении вокруг центра нашей Галактики должно приводить к весьма малой неинерциальности гелиоцентрической системы (по сравнению с неинерциальностью геоцентрической системы). Однако тогда за инерциальную систему можно принять систему, связанную с несколькими галактиками.

Рис. 3.1

Первый закон классической механики или закон инерции Галилея—Ньютона сводится к утверждению, что инерциальные системы отсчета существуют, т. е.

существуют системы, удовлетворяющие требованию (3.1). Конечно, возникает вопрос, с чем связано существование такой привилегированной системы отсчета, как инерциальная система? Однако этот вопрос до сих пор не может считаться решенным.

В основе второго закона Ньютона лежат утверждения о независимости массы от движения тела, о независимости сил и независимости ускорений, сообщаемых данному телу различными другими телами, и утверждение о существовании инерциальной системы отсчета. Рассмотрим для простоты систему из трех точек 1, 2 и 3. На основании утверждений (2.13), (2.3), (2.5) и (2.2) для первой точки можно получить соотношение между силой действующей на нее со стороны второй и третьей точек, и ускорением которое вызывает эта сила:

где — масса точки 1,

Однако ускорение точки 1, вызываемое телами 2 и 3, равно ускорению точки 1 относительно инерциальной системы отсчета, поскольку в этой системе тела 2 и 3 являются единственной причиной ускорения точки (см. таким образом,

где (см. (1.10)).

Нетрудно показать, что соотношения вида (3.2) и (3.3) будут справедливыми и при любом числе тел, действующих на данную точку. Следовательно, ускорение точки 1 относительно инерциальной системы и сумма сил действующих на точку со стороны всех тел, связаны уравнением

которое называется вторым законом Ньютона.

Итак, согласно второму закону Ньютона произведение массы любой материальной точки на ее ускорение относительно инерциальной системы отсчета равно сумме всех сил, действующих на данную точку со стороны других тел.

Рис. 3.2

Второй закон является одним из фундаментальных законов природы. Он лежит в основе того раздела механики, в котором рассматривается движение материальных точек в зависимости от действия сил. Этот раздел механики называется динамикой.

Второй закон позволяет найти положение и скорость точки в любой момент времени, если известны: масса точки сила как Функция положения, скорости и времени, а также положение точки и ее скорость в некоторый момент времени (конечно, рассматриваются положение и скорость относительно инерциальной системы). Действительно, зная можно определить силу в момент а зная эту силу и массу, найти ускорение в тот же момент времени (рис. 3.2). Ускорение в свою очередь определяет приращение скорости а скорость определяет приращение радиуса-вектора Таким образом, определяются положение и скорость точки в момент и тем самым определяется сила действующая на точку в момент Повторяя указанный процесс, можно найти положение и скорость точки в любой момент времени Сформулированная здесь задача является основной задачей динамики.

Используя второй закон Ньютона, можно решать и обратную задачу: зная массу точки и ее положение относительно инерциальной системы отсчета в любой момент времени, получить силу, действующую на точку также в любой момент времени.

Подчеркнем, что под действием данной силы данное изменение скорости у тела с большей массой происходит за более длительный промежуток времени. В связи с этим говорят, что тела обладают инертностью, а масса тел является мерой инертности.

Второй закон дает возможность выбрать основные единицы измерения в механике. В самом деле, этот закон устанавливает взаимосвязь между массой, ускорением и силой. Но ускорение

является второй производной радиуса-вектора по времени. Следовательно, закон устанавливает взаимосвязь между величинами с размерностями массы, длины, времени и силы. В принятой с 1960 г. системе СИ за основные единицы в механике выбраны единицы длины, времени и массы. За эталон массы принят килограи масса определенного тела — международного килограмма. Единицей силы является ньютон — сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение

Применяя второй закон к системе материальных точек, получим уравнения движения механической системы относительно инерциальной системы отсчета:

здесь — сила, действующая на -тую материальную точку; предполагается, что все эти силы являются заданными функциями (см., например,

В третьем законе Ньютона утверждается, что силы, с которыми две любые материальные точки действуют друг на друга, равны по величине и направлены в противоположные стороны по прямой, соединяющей точки (см. рис. 3.3, где изображен случай сил отталкивания).

Рис. 3.3

Таким образом, для любых двух точек 1 и 2

где — сила, действующая на первую точку со стороны второй, а сила действует на вторую точку со стороны первой; эти силы коллинеарны вектору

Из третьего и второго законов механики вытекает, что любые две материальные точки сообщают друг другу ускорения, обратно пропорциональные их массам и направленные в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти точки. Следовательно, величины ускорений и масс взаимодействующих точек связаны соотношением

При установлении третьего закона Ньютон также основывался на данных эксперимента.

Принцип относительности Галилея. Возьмем систему отсчета неускоренно движущуюся относительно инерциальной системы Это означает, что начало системы S движется относительно S равномерно и прямолинейно, а углы между осями систем S и S сохраняют постоянные значения. Тогда система S также будет инерциальной. Действительно, из (1.6) вытекает, что радиусы-векторы характеризующие положение любой материальной точки относительно систем S и связаны между собой соотношением

где — радиус-вектор начала О относительно — скорость и радиус-вектор начала О в момент времени Дифференцируя обе части (3.8) по времени и учитывая неизменность ориентации осей получим соотношение для скоростей точки

где и — скорости точки относительно систем S и S соответственно. Дифференцируя по времени (3.9), найдем, что

Рис. 3.4

Таким образом, ускорение точки в данный момент времени одинаково относительно любой из систем, неускоренно движущихся относительно друг друга. Следовательно, если в системе S ускорение изолированной точки равно нулю, то и в системе S оно равно нулю. Итак, если система S является инерциальной системой, то любая другая система неускоренно движущаяся относительно также инерциальна.

Преобразование координат при переходе от одной инерциальной системы к другой инерциальной системе определяется соотношением (3.8). Это преобразование называется преобразованием Галилея. Оно заметно упрощается, если системы 5 и S одинаково ориентированы, скорость начала О направлена по одной из осей (например, по оси а в начальный момент времени точки О и О совпадают (рис. 3.4). В этом случае преобразование Галилея имеет вид

где (конечно, в этом преобразовании «участвует» фундаментальное допущение классической механики о преобразовании времени (1.7)).

На основании наблюдений Галилеем был сформулирован классический принцип относительности, согласно которому законы механики одинаковы в любых инерциальных системах отсчета. Это значит, что уравнения движения относительно любых инерциальных систем S и S совпадают друг с другом, т. е. уравнение

эквивалентно уравнению

Поскольку в классической механике масса данной точки постоянна а ускорение точки в данный момент времени одинаково по отношению к любым инерциальным системам из принципа Галилея следует, что

т. е. следует утверждение о неизменности сил, действующих на точку, при переходе от одной инерциальной системы к другой, также инерциальной системе. Итак, все величины, входящие в уравнение Ньютона, не изменяются при преобразовании от одной инерциальной системы к другой инерциальной системе. Иными словами, уравнения Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.

Рассмотренные выше основные понятия и законы классической механики: понятия о материальной точке, о пространстве и времени, о силе и массе, понятие об инерциальной системе отсчета, законы Ньютона и принцип относительности Галилея — являются фундаментом классической механики. Этот фундамент был построен в результате деятельности многих поколений, был создан в результате анализа и теоретического обобщения экспериментальных данных. Проверкой правильности основ классической механики, ее соответствия природе является сопоставление выводов теории опять-таки с экспериментом. Так как теория создается человеком в определенные исторические эпохи с определенными воззрениями и техническими возможностями, то любая физическая теория является приближенной, ограниченной. В том числе приближенными, ограниченными являются основные понятия и законы классической механики.