§ 9. Движение центра масс; законы изменения и сохранения импульса системы

Как будет ясно из дальнейшего, закон изменения импульса механической системы тесно связан с понятием о центре масс. Центром масс или центром инерции механической системы называется воображаемая точка, которая как бы обладает массой, равной массе всей системы, и положение которой определяется радиусом-вектором

где — масса и радиус-вектор -той точки системы, — масса всей системы, число материальных точек системы. Скорость центра масс можно получить, продифференцировав левую и правую части (9.1) по времени:

Аналогично найдем ускорение центра масс:

Из определений (9.1), (9.2) и (9.3) вытекают некоторые свойства центра масс, его скорости и ускорения. Например, скорость и ускорение, приобретаемые центром масс в результате движения -той точки (см. рис. 9.1, на котором изображена система двух точек), будут равны и соответственно. Таким образом, скорость и ускорение центра масс, связанные с движением только -той точки, параллельны соответственно скорости и ускорению этой точки и в раз меньше их по величине.

Рис. 9.1.

Импульсом механической системы Р называется сумма импульсов точек системы

где — импульс -той точки. Согласно (9.2) импульс системы равен массе всей системы, умноженной на скорость центра масс, т. е.

а согласно (9.3) производная импульса по времени равна массе системы, умноженной на ускорение центра масс:

Заметим, что определение импульса системы в виде (9.5) аналогично определению импульса одной материальной точки.

Уравнение движения центра масс можно получить с помощью уравнений движения материальных точек (3.5), так как движение центра масс — этой воображаемой точки — обусловлено движением отдельных реальных точек механической системы. Из (9.3) следует, что

однако в инерциальной системе отсчета произведение массы какой-либо точки на ее ускорение согласно второму закону Ньютона должно быть равно силе, приложенной к этой точке, т. е.

Следовательно, произведение массы всей системы на ускорение центра масс ввиду (9.7) должно быть равно сумме всех сил, действующих на отдельные точки системы (см. рис. 9.1, в):

где — сила, действующая на -тую точку.

Среди сил, действующих на точки системы, есть как внутренние, так и внешние силы. Под внутренними силами понимают силы, действующие между точками данной механической системы, а под внешними — силы, действующие на точки данной системы со стороны тел, не входящих в эту систему. Деление сил на внутренние и внешние зависит от того, какую систему мы считаем данной, движение какой системы изучается. Если система выбрана, то силу, действующую на ее -тую точку, всегда можно записать в виде

где — сумма внутренних сил, действующих на -тую точку, -сила, действующая на -тую точку со стороны -той точки системы, — суммарная внешняя сила, действующая на -тую точку. Складывая все силы (9.10), действующие на точки системы, находим

Однако сумма всех внутренних сил равна нулю, поскольку силы взаимодействия каждой пары точек равны по величине и противоположны по направлению. Действительно, представляя сумму всех внутренних сил в виде

и применяя третий закон Ньютона (3.6) к каждой паре точек системы, найдем

Таким образом, из уравнения (9.9) получаем уравнение движения центра масс относительно инерциальной системы отсчета

где — сумма всех внешних сил, действующих на точки системы. Уравнение (9.14) ввиду соотношения (9.6) приводит к закону изменения импульса

На основании (9.15) в полной аналогии со случаем одной материальной точки (см. (5.5)) можно утверждать, что если проекция суммы внешних сил на некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция импульса системы или проекция скорости центра масс системы на ту же ось сохраняется. Например, если

то

или

Следовательно, в направлении оси центр масс системы движется равномерно

Теперь рассмотрим замкнутую, или изолированную, систему, т. е. систему, взаимодействием которой с прочими не входящими в нее телами можно пренебречь Для такой системы все внешние силы равны нулю:

и поэтому

или

т. e. имеет место закон сохранения импульса замкнутой системы.

Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно, а ее внутренние силы не могут изменить скорости центра масс (или импульса системы). Например, солнечная система с определенной степенью точности может рассматриваться как замкнутая, и поэтому силы взаимодействия между ее телами не влияют на равномерное и прямолинейное движение центра масс системы, хотя все тела, входящие в солнечную систему, движутся ускоренно.

В случае незамкнутой системы внутренние силы, вообще говоря, влияют на изменение импульса и ускорение центра масс системы, если сумма внешних сил зависит от положения или скоростей точек системы. Действительно, изменение импульса системы определяется вектором — суммой всех внешних сил, действующих на систему (см. (9.15)), причем вектор считается известной функцией радиусов-векторов точек и их скоростей. Однако радиусы-векторы и скорости точек изменяются под воздействием как внешних, так и внутренних сил согласно. уравнениям движения

(см. (3.5) и (9.10)). Вместе с тем изменяются аргументы вектора , как следствие этого, изменяется сам вектор Влияние внутренних сил на ускорение центра масс подробно проиллюстрировано на примере 9.2.

Подчеркнем, что закон сохранения импульса справедлив и для таких замкнутых систем, поведение которых не подчинено уравнениям Ньютона. Например, при исследовании движения системы заряженных частиц, среди внутренних сил которой есть электромагнитные силы, было обнаружено излучение электромагнитных волн. Это излучение, как оказалось, обладает импульсом, в связи с чем импульс собственно зарядов не сохраняется. Однако суммарный импульс зарядов и электромагнитного поля остается неизменным, т. е. имеет место закон сохранения импульса замкнутой системы, под которой в данном случае следует понимать совокупность зарядов и поля излучения.

Пример 9.1. Движение центра масс в однородном поле.

В однородном постоянном электрическом поле с напряженностью движутся две заряженные точки. Их массы и заряды соответственно равны Найти положение центра масс как функцию времени, если начальные значения известны.

Направляя ось вдоль вектора и учитывая, что внутренние силы электростатического взаимодействия подчинены закону (3.6), получим уравнение (9.15) в проекциях на декартовы оси

Интегрируя эту систему, найдем

Сопоставляя это решение с решением задачи о движении одного заряда (см. на стр. 53), мы видим, что воображаемая точка — центр масс двух зарядов — движется как материальная точка с массой и зарядом Что касается движения каждого из зарядов, то без решения системы уравнений (3.5) найти закон такого движения нельзя.

Пример 9.2. Движение центра масс в неоднородном поле.

Две точки с массами движутся в силовом поле

(здесь — радиус-вектор точки пространства в инерциальной системе отсчета с началом в центре силы). Найти положение центра масс системы как функцию времени в двух случаях: а) пренебрегая взаимодействием точек друг с другом; б) предполагая, что внутренними силами являются силы притяжения, прямо пропорциональные расстоянию между точками с коэффициентом пропорциональности х.

В обоих случаях движение центра масс определяется одним и тем же уравнением (9.14)

где Однако уравнения движения точек системы будут различными. В случае (а)

а в случае

где

Перепишем системы (2) и (3) в удобном для интегрирования виде:

где Решение этих систем в декартовых координатах не представляет затруднений. Найдем, например, решение системы уравнений, описывающих движение точек в направлении оси

Решение системы (6) имеет вид

где

— произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. Учитывая (8), из уравнения (1) найдем проекцию ускорения центра масс невзаимодействующих точек как функцию времени

а из определения центра масс и решения (8) легко получим

Умножая правую и левую части второго из уравнений (7) на отношение и затем один раз складывая, а второй раз вычитая результат умножения из первого уравнения системы (7), придем к уравнениям

где

Решением системы (11) являются функции

Отсюда, используя соотношения между находим

Это решение дает возможность определить проекцию ускорения центра масс и проекцию центра масс на ось в случае взаимодействующих точек:

Решение для других проекций ускорения центра масс аналогично полученному.

Из формул (9) и (12) видно, что в отсутствие внешних сил скорость центра масс становится постоянной и внутренние силы не могут ее изменить. Однако если внешняя неоднородная сила отлична от нуля, то внутренние силы влияют на движение центра масс (сравните (10) и (13)).

Пример 9.3. Движение тела переменной массы; задача Циолковского.

В современной технике большое практическое значение имеет задача о движении тела переменной массы. Пусть изменение массы тела происходит за счет непрерывного отделения от тела некоторых его частей, причем за бесконечно малый элемент времени отделяется частица бесконечно малой массы; Однако скорость отделившейся частицы отличается от скорости тела на конечную величину. Найти уравнение движения тела (в предположении, что тело и отделяющиеся частицы можно считать материальиыми точками).

Отделение частиц от тела происходит за счет внутренних сил системы тело — частица. Следовательно, изменение импульса рассматриваемой системы подчинено закону (9.15). Подсчитаем это изменение. В момент времени (до отделения частицы от тела) импульс системы равен

где — масса тела в момент — скорость тела в тот же момент времени относительно некоторой инерциальной системы

отсчета. В момент времени t + dt (после отделения частицы) импульс системы равен сумме импульса тела и импульса частицы:

где — изменение скорости тела за время — уменьшение массы тела, соответственно — масса отделившейся частицы, — скорость этой частицы относительно инерциальной системы отсчета.

Следовательно, изменение импульса системы с точностью до бесконечно малых второго порядка равно

Подставляя это выражение в (9.15), получим уравнение движения точки с переменной массой, т. е. уравнение Мещерского

где — скорость отделяющихся частиц относительно тела, — внешняя сила, действующая на тело, а Нетрудно убедиться, что в случае присоединяющихся к телу частиц справедливо то же уравнение (1).

В качестве примера на решение уравнения (1) рассмотрим задачу Циолковского. Пусть ракета движется в отсутствие внешнего поля, скорость и отделяющихся частиц сгорающего топлива постоянна и направлена противоположно — скорости тела в начальный момент времени., Найти скорость, которую приобретает тело за счет конечного изменения своей массы.

Умнождя правую и левую, части уравнения (1) на и проектируя их на ось, направленную по вектору получим

откуда находим, что

Таким образом, скорость, приобретаемая телом, зависит только от величины относительной скорости отделяющихся частиц и от изменения массы тела и не зависит от того, по какому закону изменялась масса тела.