Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 33. Собственные колебания системы под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных силРассмотрим колебания системы при наличии потенциальных и гироскопических сил, а также диссипативных сил, линейных относительно скоростей точек. В остальном сохраним предположения о силах и связях, сформулированные в предыдущем параграфе. Тогда кинетическая энергия Т, обобщенный потенциал
где все функции Разлатая Запишем исходные уравнения (27.23) с учетом (27.26)
Используя выражение для кинетической энергии (см. (33.1)), представим левые части системы (33.2) в виде
Затем, учитывая, что производные от обобщенного потенциала соответственно равны
для обобщенно-потенциальной силы получим выражения
где
Теперь разложим все члены, входящие в уравнения Лагранжа, в положении устойчивого равновесия, т. е. в положении изолированного минимума обычной потенциальной энергии (см. достаточный признак устойчивости на стр. 268). Это положение определяется из уравнений
Разложение доведем до членов первого порядка малости включительно по степеням отклонений
где Подставляя (33.7) в (33.2) и опуская для простоты записи знак равновесия
В этой системе уравнений коэффициенты Общая процедура решения системы (33.8) аналогична методу решения системы (32.4). Поэтому сразу приведем соответствующее характеристическое уравнение и уравнения для амплитуд:
Общее решение системы (33.8) имеет вид (32.9), где Каждое из собственных значений
где Если диссипация энергии достаточно мала, то все корни к можно разбить на пары комплексно сопряженных корней, а общее решение имеет вид
и описывает затухающие колебания системы. Если диссипация энергии отсутствует (т. е. все коэффициенты В этом случае система совершает апериодическое движение, которое описывается решением
Если среди всех корней характеристического уравнения часть корней является комплексной, а часть действительной, то соответствующую форму общего решения нетрудно получить из (32.9). В общем случае при наличии диссипативных и гироскопических сил алгебраические дополнения, определяющие отношение амплитуд в решении (32.9), не удовлетворяют требованию (32.15), т. е. имеют место неравенства
Однако в частных случаях и при наличии диссипативных сил возможно выполнение требований (32.15) и введение «главных» координат (в том смысле, что каждое из уравнений (33.8), записанное в таких переменных, будет уравнением относительно какой-либо одной переменной). Пример 33.1. Движение маятников, соединенных пружиной, в среде с сопротивлением. Точки подвеса двух одинаковых математических маятников длины Точки соединены между собой пружиной жесткости х и длины а в ненапряженном состоянии. Вся система помещена в среду с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости тела (коэффициент сопротивления Выберем систему координат так, как это показано на рис. 33.1, а в качестве независимых координат возьмем
Рис. 33.1 отклонения каждого маятника от положения устойчивого равновесия:
С той же точностью для потенциальной энергии обоих маятников в поле тяжести получим выражение
Следовательно, потенциальная энергия системы будет равна
(здесь опущена несущественная постоянная). Выражения для кинетической энергии и диссипативной функции будут иметь вид
Квадратичные формы
где
Записывая линейные уравнения движения в форме (33.8)
найдем характеристическое уравнение
Учитывая, что
или в виде двух квадратных уравнений
с коэффициентами
Таким образом, решение характеристического уравнения приводит к четырем собственным значениям К:
где
Общее решение уравнений движения запишем в виде (33.12)
Затем получим значения алгебраических дополнений
характеристического детерминанта при различных корнях
а дополнение
Здесь
Таким образом, функция Величины
каждое из которых является уравнением относительно одной из этих координат. Соответственно
Главное «колебание» В заключение отметим частные случаи. Пусть, например, сопротивление достаточно мало, т. е.
Рис. 33.2
Пример 33.2. Линейный заряженный осциллятор в магнитном поле. Точка массы Выбирая систему декартовых координат с началом в точке О и осью
на координатные оси, получим систему дифференциальных уравнений
где
Эти же уравнения можно получить, используя уравнения Лагранжа. Действительно, обобщенный потенциал в рассматриваемой задаче равен (см. (27.11) и
где А — вектор-потенциал магнитного поля. Выбор А диктуется (хотя и неоднозначно) условиями задачи. Например, если положить
то мы сможем удовлетворить условию (см. (27.12))
Используя выражение для А, найдем функцию Лагранжа в декартовых координатах
которая приведет к полученным выше линейным уравнениям движения. Соответствующие им уравнения для амплитуд и характеристическое уравнение имеют вид
Из последнего уравнения находим собственные значения Я:
где
a Последовательно подставляя собственные значения к в уравнения для амплитуд, найдем соотношения между амплитудами:
Используя эти соотношения, придем к общему решению в виде
откуда окончательно находим
где все Итак, колебание проекции заряженной точки на плоскость, перпендикулярную
Пример 33.3. Линейные колебания вращающейся двухатомной молекулы. Исходя из той же модели молекулы, что и в примере 32.5, и допуская, что внешние силы отсутствуют, определить частоту линейных колебаний вращающейся молекулы. Применяя законы сохранения момента и энергии относительно системы центра масс молекулы, получим два интеграла движения в полярных координатах в плоскости движения молекулы (см. (7.2) и
где Исключая из интеграла энергии с помощью интеграла момента угловую скорость
где (рис. 33.), причем если
Рис. 33.3 Обозначая расстояние между атомами, соответствующее
Если
где
Дифференцируя правую и левую части этого интеграла по времени, с точностью до линейных членов найдем
где Замечая, что величина
где
|
1 |
Оглавление
|