§ 33. Собственные колебания системы под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил

Рассмотрим колебания системы при наличии потенциальных и гироскопических сил, а также диссипативных сил, линейных

относительно скоростей точек. В остальном сохраним предположения о силах и связях, сформулированные в предыдущем параграфе. Тогда кинетическая энергия Т, обобщенный потенциал и диссипативная функция будут иметь вид (см. (32.1), (27.21), (27.27))

где все функции зависят только от координат, поскольку силы и связи стационарны; кроме того, коэффициенты симметричны относительно перестановок индексов.

Разлатая в положении устойчивого равновесия с точностью до членов второго порядка малости включительно, можно получить линейные уравнения движения. Однако эти уравнения легче получить, проводя разложение обеих частей уравнений Лагранжа (27.23) с точностью до членов первого порядка.

Запишем исходные уравнения (27.23) с учетом (27.26)

Используя выражение для кинетической энергии (см. (33.1)), представим левые части системы (33.2) в виде

Затем, учитывая, что производные от обобщенного потенциала соответственно равны

для обобщенно-потенциальной силы получим выражения

где - коэффициенты, антисимметричные по индексам. Для обобщенных диссипативных сил соответственно найдем

Теперь разложим все члены, входящие в уравнения Лагранжа, в положении устойчивого равновесия, т. е. в положении изолированного минимума обычной потенциальной энергии (см. достаточный признак устойчивости на стр. 268). Это положение определяется из уравнений

Разложение доведем до членов первого порядка малости включительно по степеням отклонений и обобщенных скоростей . В результате из (33.3), (33.4) и (33.5) с учетом (33.6) получим

где

Подставляя (33.7) в (33.2) и опуская для простоты записи знак равновесия найдем интересующие нас уравнения

В этой системе уравнений коэффициенты симметричны, антисимметричны относительно перестановки индексов.

Общая процедура решения системы (33.8) аналогична методу решения системы (32.4). Поэтому сразу приведем соответствующее характеристическое уравнение и уравнения для амплитуд:

Общее решение системы (33.8) имеет вид (32.9), где определяются из (33.9), а отношения амплитуд — из (33.10).

Каждое из собственных значений может быть либо комплексным (и тогда сопряженное ему число также будет корнем характеристического уравнения), либо вещественным. Таким образом, каждое из собственных значений можно записать в одной из форм

где — действительные величины. Это следует из известной теоремы о корнях алгебраического уравнения с действительными коэффициентами [45, стр. 159—161]. Кроме того, можно утверждать, что все коэффициенты затухания положительны. Действительно, согласно закону (28.15), энергия системы со стационарными силами и связями убывает за счет работы диссипативных сил. Ввиду того, что в решении (32.9) имеются экспоненциальные множители, это возможно только в случае положительности коэффициентов затухания.

Если диссипация энергии достаточно мала, то все корни к можно разбить на пары комплексно сопряженных корней, а общее решение имеет вид

и описывает затухающие колебания системы. Если диссипация энергии отсутствует (т. е. все коэффициенты ), то корни будут чисто мнимыми, коэффициенты затухания равны нулю, а система совершает незатухающие колебания. Наконец, если все коэффициенты достаточно велики, то все корни к вещественны.

В этом случае система совершает апериодическое движение, которое описывается решением

Если среди всех корней характеристического уравнения часть корней является комплексной, а часть действительной, то соответствующую форму общего решения нетрудно получить из (32.9).

В общем случае при наличии диссипативных и гироскопических сил алгебраические дополнения, определяющие отношение амплитуд в решении (32.9), не удовлетворяют требованию (32.15), т. е. имеют место неравенства

Однако в частных случаях и при наличии диссипативных сил возможно выполнение требований (32.15) и введение «главных» координат (в том смысле, что каждое из уравнений (33.8), записанное в таких переменных, будет уравнением относительно какой-либо одной переменной).

Пример 33.1. Движение маятников, соединенных пружиной, в среде с сопротивлением.

Точки подвеса двух одинаковых математических маятников длины и массы находятся на расстоянии а друг от друга и расположены на одной горизоитали.

Точки соединены между собой пружиной жесткости х и длины а в ненапряженном состоянии. Вся система помещена в среду с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости тела (коэффициент сопротивления Найти закон движения маятников в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса, вблизи положения устойчивого равновесия системы.

Выберем систему координат так, как это показано на рис. 33.1, а в качестве независимых координат возьмем — углы

Рис. 33.1

отклонения каждого маятника от положения устойчивого равновесия: Тогда удлинение пружины для малых отклонений и энергия ее упругой деформации с точностью до величин второго порядка малости будут соответственно равны

С той же точностью для потенциальной энергии обоих маятников в поле тяжести получим выражение

Следовательно, потенциальная энергия системы будет равна

(здесь опущена несущественная постоянная). Выражения для кинетической энергии и диссипативной функции будут иметь вид

Квадратичные формы могут быть заданы с помощью матриц

где

Записывая линейные уравнения движения в форме (33.8)

найдем характеристическое уравнение

Учитывая, что это уравнение можно записать в виде

или в виде двух квадратных уравнений

с коэффициентами

Таким образом, решение характеристического уравнения приводит к четырем собственным значениям К:

где

Общее решение уравнений движения запишем в виде (33.12)

Затем получим значения алгебраических дополнений

характеристического детерминанта при различных корнях , характеристического уравнения. Нетрудно убедиться, что

а дополнение как видно, не зависит от X. В связи с этим общее решение может быть записано в виде

Здесь соответственно равны

Таким образом, функция описывает либо затухающее колебание с частотой он и коэффициентом затухания либо апериодическое движение с коэффициентами затухания Функция соответственно характеризуется частотой и затуханием или двумя коэффициентами затухания

Величины являются главными координатами системы. Действительно, эти независимые координаты подчинены уравнениям Лагранжа

каждое из которых является уравнением относительно одной из этих координат. Соответственно и выраженные через главные координаты, будут содержать только квадраты переменных, т. е. коэффициенты этих форм будут образовывать диагональные матрицы:

Главное «колебание» осуществляется, если начальные отклонения обоих маятников и их скорости соответственно равны между собой (рис. 33.2, а). Если же начальные отклонения обоих маятников и их скорости соответственно равны по величине, но противоположны по знаку, то реализуется второе главное «колебание» (рис. 33.2, б).

В заключение отметим частные случаи. Пусть, например, сопротивление достаточно мало, т. е. . Тогда функции описывают затухающие гармонические колебания. Если же маятники помещены в достаточно вязкую среду

Рис. 33.2

то изменяется апериодически, а совершает затухающее колебание. Наконец, в весьма вязкой среде, когда обе главные координаты описывают апериодические движения.

Пример 33.2. Линейный заряженный осциллятор в магнитном поле.

Точка массы с зарядом движется в постоянном однородном магнитном поле напряженности . На материальную точку также действует сила притяжения, пропорциональная расстоянию до центра силы О (коэффициент пропорциональности х). Найти частоты колебаний осциллятора и закон его движения.

Выбирая систему декартовых координат с началом в точке О и осью направленной вдоль и проектируя правую и левую части уравнения движения точки

на координатные оси, получим систему дифференциальных уравнений

где

Эти же уравнения можно получить, используя уравнения Лагранжа. Действительно, обобщенный потенциал в рассматриваемой задаче равен (см. (27.11) и

где А — вектор-потенциал магнитного поля. Выбор А диктуется (хотя и неоднозначно) условиями задачи. Например, если положить

то мы сможем удовлетворить условию (см. (27.12))

Используя выражение для А, найдем функцию Лагранжа в декартовых координатах

которая приведет к полученным выше линейным уравнениям движения.

Соответствующие им уравнения для амплитуд и характеристическое уравнение имеют вид

Из последнего уравнения находим собственные значения Я:

где

a — ларморова частота.

Последовательно подставляя собственные значения к в уравнения для амплитуд, найдем соотношения между амплитудами:

Используя эти соотношения, придем к общему решению в виде

откуда окончательно находим

где все — постоянные, определяемые начальными условиями.

Итак, колебание проекции заряженной точки на плоскость, перпендикулярную характеризуется частотами отличными от — собственной частоты, осциллятора в отсутствие магнитного поля. Интересно отметить, что первое частное решение описывает движение проекций точки по окружности с угловой скоростью по часовой стрелке; второе частное решение описывает аналогичное движение с угловой скоростью против часовой стрелки. Колебание заряда в направлении происходит с собственной частотой со. В случае малой напряженности магнитного поля частоты сводятся к сумме и разности собственной частоты осциллятора и ларморовой частоты:

Пример 33.3. Линейные колебания вращающейся двухатомной молекулы.

Исходя из той же модели молекулы, что и в примере 32.5, и допуская, что внешние силы отсутствуют, определить частоту линейных колебаний вращающейся молекулы.

Применяя законы сохранения момента и энергии относительно системы центра масс молекулы, получим два интеграла движения в полярных координатах в плоскости движения молекулы (см. (7.2) и

где — полярные координаты вектора — момент и энергия молекулы относительно -системы.

Исключая из интеграла энергии с помощью интеграла момента угловую скорость найдем

где Функция имеет минимум

(рис. 33.), причем если то в -системе каждый атом будет двигаться по окружности, а расстояние между ними будет неизменным.

Рис. 33.3

Обозначая расстояние между атомами, соответствующее символом и приравнивая нулю первую производную получим уравнение, определяющее

Если несколько превышает , то молекула будет вращаться вокруг своего центра масс с переменной угловой скоростью Ф, а атомы будут совершать колебания вдоль оси молекулы. Чтобы найти частоту этих колебаний, разложим в ее минимуме до членов второго порядка малости включительно. Тогда с точностью до несущественной постоянной получим

где Таким образом, интеграл энергии примет вид

Дифференцируя правую и левую части этого интеграла по времени, с точностью до линейных членов найдем

где

Замечая, что величина равна угловой скорости в «равновесии» (когда ), приходим к выводу, что квадрат частоты линейных колебаний вращающейся двухатомной молекулы равен сумме квадрата частоты колебаний невращающейся молекулы и утроенного квадрата угловой скорости вращения молекулы в «равновесии», т. е.

где . Влияние колебаний молекулы на ее угловую скорость вращения можно определить, используя интеграл момента. Тогда с точностью до членов первого порядка включительно найдем, что