§ 7. Движение в центрально-симметричном поле

Рассмотрим движение материальной точки массы под действием центральной силы, произвольно зависящей только от расстояния между точкой и центром силы. Такая сила потенциальна (см. (6.14) и (6.15) и стационарна (см. стр. 71). Помещая начало системы отсчета в центр силы и используя законы сохранения момента импульса и энергии (см. (5.11) и (6.29)), получим четыре первых интеграла движения

из которых три независимы (здесь и далее потенциальная энергия считается заданной).

Наряду с первыми интегралами в данной задаче можно найти три вторых независимых интеграла. Один из таких интегралов представляет собой уравнение (5.13) плоскости, в которой происходит движение точки. Два других интеграла вытекают из (7.1). Действительно, направляя ось по вектору и вводя на плоскости полярные координаты, получим

Исключая из интеграла энергии с помощью интеграла площадей, придем к уравнению, допускающему разделение переменных

где функция часто называемая «эффективной» потенциальной энергией, равна

(отметим, что уравнение (7.3) эквивалентно уравнению для прямолинейного движения точки с потенциальной энергией, равной Разделяя переменные в уравнении (7.3), найдем еще один второй интеграл

Из интеграла (7.5) в принципе можно определить функцию и подставить ее в интеграл момента. Тогда получим, что

Отсюда найдем последний второй интеграл

Интеграл момента позволяет найти уравнение траектории, если с его помощью в интеграле энергии исключить а затем вычислить квадратуру:

Выбор знака в интегралах (7.5) и (7.8) диктуется начальными условиями; например, знак перед интегралом (7.5) определяется знаком производной взятой в начальный момент времени.

Итак, три вторых интеграла (5.13), (7.5) и (7.7) определяют общее решение поставленной задачи (один из интегралов (7.5) или (7.7) может быть заменен интегралом Это решение содержит шесть постоянных: Выбор постоянных не является единственным: можно, например, ввести и два угла, определяющие положение плоскости движения. Однако выбор постоянных интегрирования, содержащих энергию и момент, имеет определенное преимущество, в частности, при переходе к соответствующим квантовым задачам.

Замечательным является то, что полученное общее решение справедливо для любой центральной силы, зависящей только от расстояния до центра силы. Движение точки в поле таких сил обладает общими свойствами, а именно: движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы; радиус-вектор точки описывает равные площади за равные промежутки времени; угол изменяется со временем всегда монотонно;

траектория точки симметрична относительно апсид (так называются прямые, проходящие через центр силы, и точки поворота, т. е. точки траектории, в которых величина радиуса-вектора принимает экстремальные значения).

Последнее утверждение означает, что материальная точка, находящаяся в начальный момент времени в точке поворота и обладающая в одном случае начальной скоростью а в другом случае будет двигаться по симметричным кривым. Действительно, в точках поворота обращается в нуль, а в окрестности этих точек изменяет знак; вместе с изменяет знак выражение

которое определяет знак подынтегральных функций в (7.5) и (7.8). Следовательно, при отсчете от некоторой апсиды участки траектории, находящиеся по разные стороны от апсиды, будут отличаться знаком (при одинаковых значениях ). Это свойство симметрии позволяет построить всю траекторию, зная лишь участок траектории между двумя апсидами. Таковы общие черты движения точки в центрально-симметричном поле.

Если функция задана, то, вычисляя интегралы (7.5) к (7.7) (или (7.8)), можно получить общее решение для соответствующего вида взаимодействия. Однако до нахождения общего решения полезно провести его качественный анализ. Построив график можно определить область изменения координаты движущейся точки. Действительно, поскольку в классической механике, и вещественны, то должна быть положительно определенной величиной. Таким образом, из уравнения (7.3) вытекает неравенство

определяющее область изменения и уравнение

определяющее границы указанной области. Рассмотрим простейший пример, когда точка движется по инерции относительно системы координат с началом, не лежащим на траектории точки. В этом случае

а область изменения определяется неравенством

Траекторией точки может быть любая прямая, касающаяся окружности радиуса (см. рис. 7.1, где плоскость Оху является плоскостью движения точки).

Если точка движется в потенциальном поле (6.30), то

В этом случае уравнение (7.10) дает две точки поворота, определяемые равенствами

а неравенство (7.9) определяет область (рис. 7.2). Если то точка будет двигаться по окружности радиуса

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Траектория точки в общем случае, когда находится с помощью интеграла (7.8). Ею является эллипс, центр которого находится в центре силы и который дважды касается окружностей с радиусами соответственно (см. пример 4.2).

Анализ графика позволяет найти условие падения частицы на центр силового поля. Пусть, например,

(такая степенная функция используется при рассмотрении межмолекулярного взаимодействия). Из графика (рис. 7.3) видно: если то движение происходит в неограниченной области и, в частности, возможно падение точки на центр. Если то движение происходит либо в области либо в области в которой точка достигает центра; при также имеет место падение на центр.

Рис. 7.3

В общем случае условие падения на центр можно получить с помощью неравенства (7.9), записанного в виде

Устремляя здесь к нулю, найдем условие падения на центр силового поля

Для степенного потенциала это условие выполняется при

иначе говоря, потенциальная энергия должна достаточно быстро стремиться к при

В заключение приведем условие замкнутости финитной траектории, когда . В этом случае, определяя из (7.8) угол поворота радиуса-вектора точки за период времени, в течение которого изменяется от до и опять до

и приравнивая рациональной части от получим условие замкнутости траектории

где — целые числа. Действительно, если (7.13) имеет то через полных оборотов точка займет первоначальное положение. Соотношение (7.13) при любых начальных условиях выполняется только для двух полей: