Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 7. Движение в центрально-симметричном полеРассмотрим движение материальной точки массы
из которых три независимы (здесь и далее потенциальная энергия Наряду с первыми интегралами в данной задаче можно найти три вторых независимых интеграла. Один из таких интегралов представляет собой уравнение (5.13) плоскости, в которой происходит движение точки. Два других интеграла вытекают из (7.1). Действительно, направляя ось
Исключая
где функция
(отметим, что уравнение (7.3) эквивалентно уравнению для прямолинейного движения точки с потенциальной энергией, равной
Из интеграла (7.5) в принципе можно определить функцию
Отсюда найдем последний второй интеграл
Интеграл момента позволяет найти уравнение траектории, если с его помощью в интеграле энергии исключить
Выбор знака в интегралах (7.5) и (7.8) диктуется начальными условиями; например, знак перед интегралом (7.5) определяется знаком производной Итак, три вторых интеграла (5.13), (7.5) и (7.7) определяют общее решение поставленной задачи (один из интегралов (7.5) или (7.7) может быть заменен интегралом Замечательным является то, что полученное общее решение справедливо для любой центральной силы, зависящей только от расстояния до центра силы. Движение точки в поле таких сил обладает общими свойствами, а именно: движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы; радиус-вектор точки описывает равные площади за равные промежутки времени; угол траектория точки симметрична относительно апсид (так называются прямые, проходящие через центр силы, и точки поворота, т. е. точки траектории, в которых величина радиуса-вектора принимает экстремальные значения). Последнее утверждение означает, что материальная точка, находящаяся в начальный момент времени в точке поворота и обладающая в одном случае начальной скоростью
которое определяет знак подынтегральных функций в (7.5) и (7.8). Следовательно, при отсчете Если функция
определяющее область изменения
определяющее границы указанной области. Рассмотрим простейший пример, когда точка движется по инерции относительно системы координат с началом, не лежащим на траектории точки. В этом случае
а область изменения
Траекторией точки может быть любая прямая, касающаяся окружности радиуса Если точка движется в потенциальном поле (6.30), то
В этом случае уравнение (7.10) дает две точки поворота, определяемые равенствами
а неравенство (7.9) определяет область
Рис. 7.1
Рис. 7.2 Траектория точки в общем случае, когда Анализ графика
(такая степенная функция используется при рассмотрении межмолекулярного взаимодействия). Из графика
Рис. 7.3 В общем случае условие падения на центр можно получить с помощью неравенства (7.9), записанного в виде
Устремляя здесь
Для степенного потенциала
иначе говоря, потенциальная энергия должна достаточно быстро стремиться к В заключение приведем условие замкнутости финитной траектории, когда
где
|
1 |
Оглавление
|