Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава II. ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА И ЭНЕРГИИВ первой главе было показано, что задача о движении одной точки имеет общее решение для сравнительно широкого класса сил (см. примеры 4.1, 4.2 и 4.3). Задача о движении двух точек также имеет общее решение в квадратурах при достаточно общих предположениях о силе взаимодействия между точками (см. § 12). Однако отыскание общего решения задачи трех и более точек при достаточно общих предположениях о силах взаимодействия встречает непреодолимые трудности. В связи с этим общие теоремы, справедливые при любом числе материальных точек, приобретают громадное значение. Такими универсальными теоремами являются законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии. Рассмотрим эти законы для механических систем свободных точек (см. стр. 28), или, кратко говоря, для свободных систем. § 5. Законы изменения и сохранения импульса и момента импульса материальной точкиИз дальнейшего будет ясно, что законы сохранения импульса, кинетического момента и энергии приводят к так называемым интегралам движения. Интегралом движения называется такая функция времени, координат и скоростей точек, которая при движении механической системы сохраняет постоянное значение, определяемое начальными условиями. Таким образом, интеграл движения определяет соотношение вида
между радиусами-векторами и скоростями точек системы. Функция
где
Интегралы движения, содержащие скорости точек, называются первыми интегралами. Вторыми интегралами называются такие функции времени, координат точек и произвольных констант, которые при движении системы сохраняют постоянные значения. Если известны
то уравнения движения (3.5) механической системы можно считать проинтегрированными, поскольку соотношения (5.3) определяют радиусы-векторы и скорости точек системы как функции времени и Рассмотрим связь законов сохранения со свойствами сил на примере одной точки, движущейся относительно определенной инерциальной системы отсчета. Закон изменения импульса материальной точки совпадает со вторым законом Ньютона. Действительно, импульсом точки
На основании (5.4) можно утверждать: если проекция силы на некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция импульса на ту же ось сохраняется, например, если
Если проекции силы на две фиксированные оси равны нулю, то получим два интеграла. Например, пусть на точку действует сила тяжести момент времени. Следовательно, проекции импульса (и скорости) на оси, перпендикулярные
т. е. имеет место закон сохранения импульса точки. Отметим: если проекция силы на подвижную ось равна нулю, то отсюда не вытекает сохранение проекции импульса на эту ось. Пусть, например, проекция силы на координатную ось
Левая часть этого уравнения (согласно (1.20)) равна
где Закон изменения момента импульса точки является следствием второго закона Ньютона. Действительно, умножая (5.4) векторно слева на радиус-вектор точки
Правая часть этого уравнения называется моментом силы
где
Отсюда следует: если проекция момента силы на некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция момента импульса точки на ту же ось сохраняется; например, если
Подчеркнем, что момент силы (или его проекция) может равняться нулю не только в том случае, когда сила равняется нулю. Пусть, например, задана сила, направление которой постоянно. Направляя координатную ось
Таким образом, проекция момента импульса точки на направление силы сохраняется, что дает один первый интеграл движения.
Рис. 5.1 Теперь рассмотрим силу (рис. 5.1, б), линия действия которой все время пересекает неподвижную ось под прямым углом (линией действия силы называется прямая, на которой расположен этот вектор). Выбирая неподвижную ось за ось
Следовательно, проекция момента импульса точки на неподвижную ось сохраняется и дает также один первый интеграл, тогда как из равенства В физических приложениях очень распространен случай центральной силы, т. е. силы, линия действия которой все время проходит через некоторую неподвижную точку — центр силы. Выбирая эту точку за начало координат (рис. 5.1, в), найдем
Таким образом, момент импульса точки относительно центра силы сохраняется. Однако между тремя проекциями момента импульса имеется очевидная зависимость:
поэтому из полученных трех первых интегралов независимы лишь два. Под действием центральной силы точка всегда движется по плоской траектории. Это видно как из уравнения движения (см., в частности, пример 4.2 на стр. 47), так и из второго интеграла
Плоскость траектории проходит через центр силы и перпендикулярна постоянному моменту импульса точки; положение этой плоскости определяется начальными условиями, так как
Рис. 5.2 Во всех отмеченных случаях для выявления сохраняющихся величин важен такой выбор системы координат, который учитывает особенности сил. Только в случае изолированной точки не существенно, где поместить начало координат и как направить оси, поскольку силы, действующие на точку, отсутствуют
т. е. имеет место закон сохранения момента импульса точки. Для более наглядного представления о сохранении момента импульса выразим уравнение (5.7) через секторную скорость о (см. (1.11) и рис. 1.3, б). Тогда получим
откуда вытекает, что равенство
Это значит, что проекция радиуса-вектора точки на плоскость перпендикулярную оси Oz, описывает одинаковые площади за любые одинаковые интервалы времени (рис. 5.2). По этой причине интеграл (5.16) часто называется интегралом площадей.
|
1 |
Оглавление
|