Глава II. ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА И ЭНЕРГИИ

В первой главе было показано, что задача о движении одной точки имеет общее решение для сравнительно широкого класса сил (см. примеры 4.1, 4.2 и 4.3). Задача о движении двух точек также имеет общее решение в квадратурах при достаточно общих предположениях о силе взаимодействия между точками (см. § 12). Однако отыскание общего решения задачи трех и более точек при достаточно общих предположениях о силах взаимодействия встречает непреодолимые трудности. В связи с этим общие теоремы, справедливые при любом числе материальных точек, приобретают громадное значение. Такими универсальными теоремами являются законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии. Рассмотрим эти законы для механических систем свободных точек (см. стр. 28), или, кратко говоря, для свободных систем.

§ 5. Законы изменения и сохранения импульса и момента импульса материальной точки

Из дальнейшего будет ясно, что законы сохранения импульса, кинетического момента и энергии приводят к так называемым интегралам движения. Интегралом движения называется такая функция времени, координат и скоростей точек, которая при движении механической системы сохраняет постоянное значение, определяемое начальными условиями. Таким образом, интеграл движения определяет соотношение вида

между радиусами-векторами и скоростями точек системы.

Функция сохраняет постоянное значение при любых начальных условиях, а значение постоянной С фиксируется, если начальные условия заданы, т. е.

где

Интегралы движения, содержащие скорости точек, называются первыми интегралами. Вторыми интегралами называются такие функции времени, координат точек и произвольных констант, которые при движении системы сохраняют постоянные значения.

Если известны независимых первых интегралов движения

то уравнения движения (3.5) механической системы можно считать проинтегрированными, поскольку соотношения (5.3) определяют радиусы-векторы и скорости точек системы как функции времени и произвольных постоянных. Соответственно знание независимых первых интегралов дает возможность понизить порядок системы уравнений движения на s.

Рассмотрим связь законов сохранения со свойствами сил на примере одной точки, движущейся относительно определенной инерциальной системы отсчета.

Закон изменения импульса материальной точки совпадает со вторым законом Ньютона. Действительно, импульсом точки называется произведение массы точки на ее скорость (часто эту величину называют количеством движения). Поскольку масса точки постоянна, то из уравнения (3.4) получаем закон изменения

На основании (5.4) можно утверждать: если проекция силы на некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция импульса на ту же ось сохраняется, например, если то

Если проекции силы на две фиксированные оси равны нулю, то получим два интеграла. Например, пусть на точку действует сила тяжести Так как вектор постоянен, то проекции силы на оси, перпендикулярные этому вектору, равны нулю в любой

момент времени. Следовательно, проекции импульса (и скорости) на оси, перпендикулярные сохраняются, т. е. направлена вдоль вектора Наконец, если сумма сил, действующих на точку, равна нулю то

т. е. имеет место закон сохранения импульса точки.

Отметим: если проекция силы на подвижную ось равна нулю, то отсюда не вытекает сохранение проекции импульса на эту ось. Пусть, например, проекция силы на координатную ось равна нулю. Спроектировав на эту ось обе части уравнения (3.4) (или (5.4)), найдем, что

Левая часть этого уравнения (согласно (1.20)) равна

где и является проекцией импульса точки на ось Таким образом, если то это не означает, что сохраняется.

Закон изменения момента импульса точки является следствием второго закона Ньютона. Действительно, умножая (5.4) векторно слева на радиус-вектор точки получим

Правая часть этого уравнения называется моментом силы Левую часть (используя определение импульса и очевидное равенство ) можно представить в виде

где — момент импульса точки. В результате найдем, что производная момента импульса материальной точки по времени равна моменту силы, действующей на эту точку,

Отсюда следует: если проекция момента силы на некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция момента импульса точки на ту же ось сохраняется; например, если , то

Подчеркнем, что момент силы (или его проекция) может равняться нулю не только в том случае, когда сила равняется нулю.

Пусть, например, задана сила, направление которой постоянно. Направляя координатную ось коллинеарно силе, на основании (5.8) найдем (рис. 5.1, а)

Таким образом, проекция момента импульса точки на направление силы сохраняется, что дает один первый интеграл движения.

Рис. 5.1

Теперь рассмотрим силу (рис. 5.1, б), линия действия которой все время пересекает неподвижную ось под прямым углом (линией действия силы называется прямая, на которой расположен этот вектор). Выбирая неподвижную ось за ось на основании (5.8) получим

Следовательно, проекция момента импульса точки на неподвижную ось сохраняется и дает также один первый интеграл, тогда как из равенства нулю не следует постоянство поскольку орт сам зависит от времени.

В физических приложениях очень распространен случай центральной силы, т. е. силы, линия действия которой все время проходит через некоторую неподвижную точку — центр

силы. Выбирая эту точку за начало координат (рис. 5.1, в), найдем

Таким образом, момент импульса точки относительно центра силы сохраняется. Однако между тремя проекциями момента импульса имеется очевидная зависимость:

поэтому из полученных трех первых интегралов независимы лишь два.

Под действием центральной силы точка всегда движется по плоской траектории. Это видно как из уравнения движения (см., в частности, пример 4.2 на стр. 47), так и из второго интеграла

Плоскость траектории проходит через центр силы и перпендикулярна постоянному моменту импульса точки; положение этой плоскости определяется начальными условиями, так как

Рис. 5.2

Во всех отмеченных случаях для выявления сохраняющихся величин важен такой выбор системы координат, который учитывает особенности сил. Только в случае изолированной точки не существенно, где поместить начало координат и как направить оси, поскольку силы, действующие на точку, отсутствуют в этом случае

т. е. имеет место закон сохранения момента импульса точки.

Для более наглядного представления о сохранении момента импульса выразим уравнение (5.7) через секторную скорость о (см. (1.11) и рис. 1.3, б). Тогда получим

откуда вытекает, что равенство можно записать в виде

Это значит, что проекция радиуса-вектора точки на плоскость перпендикулярную оси Oz, описывает одинаковые площади за любые одинаковые интервалы времени (рис. 5.2). По этой причине интеграл (5.16) часто называется интегралом площадей.