§ 58. Потоки импульса и энергии

Уравнения импульса и энергии идеальной жидкости могут быть представлены в виде уравнения непрерывности для соответствующей величины. Прежде всего убедимся, что для любой тензорной величины в силу уравнения непрерывности (54.5) имеет место равенство

Полагая здесь найдем

С другой стороны, уравнение Эйлера можно записать в виде

Сопоставляя (58,2) и (58.3), получим уравнение непрерывности для компоненты импульса приходящегося на единицу объема:

здесь

Для выяснения смысла тензора проинтегрируем каждый член этого уравнения по фиксированному объему пространства и применим преобразование Остроградского. Тогда найдем интегральную форму уравнения (58.4)

(в этом соотношении мы опустили внешний источник изменения импульса — силу Из сопоставления левой и правой частей (58.5) видно, что поверхностный интеграл представляет собой разность -тых компонент импульса частиц среды, вытекающих и втекающих за единицу времени через поверхность , охватывающую объем Таким образом, есть -тая компонента импульса, протекающая за единицу времени через площадку а -тая компонента импульса среды, протекающей за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси Поэтому тензор называется тензором плотности потока импульса.

Теперь подставим в (58.1) величину равную полной энергии — приходящейся на единицу массы. Тогда получим, что

С другой стороны, уравнение (55.15) в случае изэнтропических течений идеальной жидкости принимает вид

Из последних двух уравнений и определения (57.9) вытекает уравнение непрерывности для энергии

(здесь опять-таки опущен член с силой

Для изменения энергии среды в заданном объеме за единицу времени аналогично (58.5) получим

откуда видно, что величина

представляет собой плотность потока энергии (вектор Умова). Этот поток слагается из потока полной энергии и мощности сил давления.