§ 58. Потоки импульса и энергии
Уравнения импульса и энергии идеальной жидкости могут быть представлены в виде уравнения непрерывности для соответствующей величины. Прежде всего убедимся, что для любой тензорной величины
в силу уравнения непрерывности (54.5) имеет место равенство
Полагая здесь
найдем
С другой стороны, уравнение Эйлера можно записать в виде
Сопоставляя (58,2) и (58.3), получим уравнение непрерывности для компоненты импульса
приходящегося на единицу объема:
здесь
Для выяснения смысла тензора
проинтегрируем каждый член этого уравнения по фиксированному объему
пространства и применим преобразование Остроградского. Тогда найдем интегральную форму уравнения (58.4)
(в этом соотношении мы опустили внешний источник изменения импульса — силу
Из сопоставления левой и правой частей (58.5) видно, что поверхностный интеграл представляет собой разность
-тых компонент импульса частиц среды, вытекающих и втекающих за единицу времени через поверхность
, охватывающую объем
Таким образом,
есть
-тая компонента импульса, протекающая за единицу времени через площадку
а
-тая компонента импульса среды, протекающей за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси
Поэтому тензор
называется тензором плотности потока импульса.
Теперь подставим в (58.1) величину
равную полной энергии —
приходящейся на единицу массы. Тогда получим, что
С другой стороны, уравнение (55.15) в случае изэнтропических течений идеальной жидкости принимает вид
Из последних двух уравнений и определения (57.9) вытекает уравнение непрерывности для энергии
(здесь опять-таки опущен член с силой
Для изменения энергии среды в заданном объеме
за единицу времени аналогично (58.5) получим
откуда видно, что величина
представляет собой плотность потока энергии (вектор Умова). Этот поток слагается из потока полной энергии
и мощности
сил давления.