Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 39. Плоскопараллельное движение твердого телаИнерционные свойства твердого тела зависят от массы тела и ее распределения по объему тела. В связи с этим движение твердого тела представляет собой достаточно сложное механическое явление. Начнем его изучение с простейшего случая — плоскопараллельного движения, когда все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости (рис. 39.1). Если движение твердого тела является плоскопараллельным, то систему двумя координатами точки О и одним углом Эйлера
Рис. 39.1 Угловая скорость тела и его момент вращения будут, вообще говоря, неколлинеарны и соответственно равны (см. (17.10), (38.1) и
а кинетическая энергия, связанная с вращением тела, имеет вид (см. (38.7))
Помещая начало системы
и закон изменения момента вращения тела относительно системы
Запишем уравнение (39.4) в декартовых координатах для случая плоскопараллельного движения:
При использовании же уравнения (39.5) нужно иметь в виду, что производная момента вращения по времени берется при постоянных ортах
где Отсюда, учитывая разложения (39.1) и (39.2), найдем уравнения изменения момента в форме
Таким образом, уравнениями плоскопараллельного движения тела являются уравнения (39.6) и (39.8). Что касается уравнений в независимых координатах, то они будут определятьсяфункцией Лагранжа вида
(здесь также использованы декартовы координаты центра масс тела). Распространенным случаем плоскопараллельного движения тела с внешними связями является движение физического маятника (так называется твердое тело, жестко связанное с неподвижной осью — осью маятника, вокруг которой оно может совершать колебания). В предположении идеальности этой связи задача легко решается в независимых координатах. Совместим одну из осей инерциальной системы с осью маятника, предполагая, что она горизонтальна. Другую ось системы координат направим вдоль напряженности поля тяготения Далее с иллюстративной целью рассмотрим данную задачу при разных выборах системы S, жестко связанной с твердым телом. Пусть система S выбрана так, что О совпадает с О, ось
Рис. 39.2 Тогда, выбирая в качестве независимой координаты угол
где
где Если начало системы S поместить в центр масс, а ось
где
Наконец, совместим начало системы S с центром масс, а ее оси направим по главным центральным осям инерции (рис. 39.2, в). При таком выборе системы S проекции угловой скорости
где
где
Подчеркнем, что закон изменения координаты Пример 39.1. Плоскопараллельное движение однородного шара. Исследовать плоскопараллельное движение шара массы
Рис. 39.3 Выберем инерциальную систему S так, чтобы плоскость Согласно (37.18) и (39.2) кинетическая энергия шара равна
где
где
Затем из уравнений Лагранжа найдем
Отсюда видно, что центр масс шара движется равноускоренно вдоль напряженности поля и по инерции перпендикулярно к ней. Одновременно шар совершает движение, подобное движению математического маятника; при малых
Момент инерции ввиду симметрии шара равен (см. (38.3))
где
Наконец, принимая во внимание, что
найдем значение главного центрального момента инерции
а также квадрат частоты линейных колебаний шара
Пример 39.2. Колебания диска. Найти частоту линейных колебаний однородного диска массы
Рис. 39.4 Выбирая в случае (а) системы S и S так, как это показано на рис. 39.4, а, и учитывая (37.18) и (39.2), получим кинетическую энергию диска
где
найдем уравнение Лагранжа, соответствующее координате
где В случае
где
Пример 39.3. Колебания неоднородного тонкого стержня, опирающегося на обруч. Найти частоту линейных колебаний неоднородного тонкого стержня массы
Рис. 39.5 Выбирая системы координат так, как это показано на рис. 39.5, получим выражения для кинетической и потенциальной энергий стержня:
где центральный момент стержня равен
Пример 39.4. Плоскопараллельное качение неоднородного цилиндра. По горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости катается неоднородный цилиндр массы
Рис. 39.6 Найти частоту линейных колебаний цилиндра и реакцию плоскости, если движение цилиндра плоскопараллельно. Выберем системы S и Уравнение рассматриваемой связи можно записать в виде (см. (37.2))
где Условие (1) в случае плоскопараллельного качения приводит к двум уравнениям:
где
Таким образом, уравнения (2) можно представить в виде
а затем проинтегрировать и тем самым получить
(здесь постоянные интегрирования выбраны так, чтобы при Кинетическая и потенциальная энергии цилиндра как функции независимой координаты
Отсюда получим уравнение линейных колебаний цилиндра
где
Чтобы найти реакцию плоскости, используем закон изменения импульса цилиндра (см. (37.4) и рис. 39.6, б):
Подставим сюда проекции скорости центра масс из формулы
Отсюда видно, что при малом отклонении
|
1 |
Оглавление
|