§ 39. Плоскопараллельное движение твердого тела

Инерционные свойства твердого тела зависят от массы тела и ее распределения по объему тела. В связи с этим движение твердого тела представляет собой достаточно сложное механическое явление. Начнем его изучение с простейшего случая — плоскопараллельного движения, когда все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости (рис. 39.1).

Если движение твердого тела является плоскопараллельным, то систему жестко связанную с телом, всегда можно выбрать так, чтобы плоскость совпадала с неподвижной плоскостью некоторой инерциальной системы Тогда оси будут оставаться параллельными, а положение тела будет определяться

двумя координатами точки О и одним углом Эйлера (если на тело не налагается каких-либо дополнительных связей).

Рис. 39.1

Угловая скорость тела и его момент вращения будут, вообще говоря, неколлинеарны и соответственно равны (см. (17.10), (38.1) и

а кинетическая энергия, связанная с вращением тела, имеет вид (см. (38.7))

Помещая начало системы в центр масс несвободного тела, получим уравнение движения его центра масс относительно системы (см. (37.4))

и закон изменения момента вращения тела относительно системы (см. (37.4) и (37.11))

Запишем уравнение (39.4) в декартовых координатах для случая плоскопараллельного движения:

При использовании же уравнения (39.5) нужно иметь в виду, что производная момента вращения по времени берется при постоянных ортах а сам момент задается в виде разложения (39.2) по ортам движущимся вместе с телом. Чтобы устранить эту трудность, воспользуемся соотношением (19.16), справедливым для любого вектора, заданного в виде разложения по движущимся ортам. Тогда вместо (39.5) будем иметь

где - производная по времени при фиксированных ортах

Отсюда, учитывая разложения (39.1) и (39.2), найдем уравнения изменения момента в форме

Таким образом, уравнениями плоскопараллельного движения тела являются уравнения (39.6) и (39.8). Что касается уравнений в независимых координатах, то они будут определятьсяфункцией Лагранжа вида

(здесь также использованы декартовы координаты центра масс тела).

Распространенным случаем плоскопараллельного движения тела с внешними связями является движение физического маятника (так называется твердое тело, жестко связанное с неподвижной осью — осью маятника, вокруг которой оно может совершать колебания). В предположении идеальности этой связи задача легко решается в независимых координатах. Совместим одну из осей инерциальной системы с осью маятника, предполагая, что она горизонтальна. Другую ось системы координат направим вдоль напряженности поля тяготения . В качестве начала О возьмем точку пересечения оси маятника и перпендикулярной к ней прямой, проходящей через центр масс маятника (рис. 39.2).

Далее с иллюстративной целью рассмотрим данную задачу при разных выборах системы S, жестко связанной с твердым телом. Пусть система S выбрана так, что О совпадает с О, ось

с осью а ось проходит через центр масс.

Рис. 39.2

Тогда, выбирая в качестве независимой координаты угол между осями в соответствии с (37.12) и (37.17) найдем, что вся кинетическая энергия маятника будет равна кинетической энергии вращения а в соответствии с (37.19) и первой из формул (37.14) для потенциальной энергии маятника получим

где — масса маятника, а — расстояние от центра масс маятника до его оси. Пользуясь выражениями (см. (39.3)) и , с помощью уравнения Лагранжа найдем

где — частота линейных колебаний маятника.

Если начало системы S поместить в центр масс, а ось направить параллельно оси (рис. 39.2,б), то для кинетической энергии получим выражение (см. (37.9) и

где Учитывая, что потенциальная энергия остается той же, придем к уравнению движения маятника с квадратом частоты линейных колебаний, представленным в виде

Наконец, совместим начало системы S с центром масс, а ее оси направим по главным центральным осям инерции (рис. 39.2, в).

При таком выборе системы S проекции угловой скорости на оси S равны:

где — косинусы угла между осью вращения и главной центральной осью с индексом а, а — модуль угловой скорости. Подставляя (39.12) в (38.8), получим кинетическую энергию вращения в виде

где момент инерции тела относительно оси вращения, а — главные центральные моменты, В данном случае совпадает с и является постоянной величиной, так как углы между осями S и S не изменяются. Указанный выбор системы S приводит нас к тому же уравнению движения с квадратом частоты линейных колебаний, представленным в виде

Подчеркнем, что закон изменения координаты не зависит от выбора системы S и все полученные выражения для хотя и имеют разный вид, равны друг другу (моменты инерции связаны между собой соотношениями (38.20)

Пример 39.1. Плоскопараллельное движение однородного шара.

Исследовать плоскопараллельное движение шара массы радиуса в постоянном однородном электрическом поле напряженности если одна из точек на поверхности шара обладает электрическим зарядом (изменением поля, обусловленным наличием тела, пренебречь).

Рис. 39.3

Выберем инерциальную систему S так, чтобы плоскость проходила через цедтр масс шара параллельно вектору 6, а ось была направлена вдоль этого вектора (рис. 39.3). Начало О системы, жестко связанной с шаром, поместим в его центр масс, а ось совместим с прямой, проходящей через центр масс шара и заряд е.

Согласно (37.18) и (39.2) кинетическая энергия шара равна

где — декартовы координаты центра масс шара, угол между осями Потенциальная энергия шара в электрическом поле равна

где — радиус-вектор заряда. Выражая через независимые координаты , получим

Затем из уравнений Лагранжа найдем

Отсюда видно, что центр масс шара движется равноускоренно вдоль напряженности поля и по инерции перпендикулярно к ней. Одновременно шар совершает движение, подобное движению математического маятника; при малых шар будет совершать линейные колебания с частотой

Момент инерции ввиду симметрии шара равен (см. (38.3))

где — плотность массы на единицу объема, — элемент объема в системе S в сферических координатах . Учитывая однородность шара, получим

Наконец, принимая во внимание, что

найдем значение главного центрального момента инерции

а также квадрат частоты линейных колебаний шара

Пример 39.2. Колебания диска.

Найти частоту линейных колебаний однородного диска массы радиуса (рис. 39.4) в двух случаях: а) в случае шарнирного соединения диска со стержнем в центре масс диска, б) в случае жесткого скрепления диска со стержнем (стержень невесомый длины трением в местах соединения пренебречь).

Рис. 39.4

Выбирая в случае (а) системы S и S так, как это показано на рис. 39.4, а, и учитывая (37.18) и (39.2), получим кинетическую энергию диска

где — угол между — угол между Учитывая, что потенциальная энергия диска равна

найдем уравнение Лагранжа, соответствующее координате и обобщенную скорость :

где Таким образом, в этом случае происходит колебание центра диска и его вращение с постоянной угловой скоростью.

В случае имеем физический маятник, кинетическая энергия которого равна

где — главный центральный момент инерции относительно оси, перпендикулярной диску. Отсюда в соответствии с (39.4) найдем квадрат частоты линейных колебаний маятника, жестко скрепленного с подвесом:

Пример 39.3. Колебания неоднородного тонкого стержня, опирающегося на обруч.

Найти частоту линейных колебаний неоднородного тонкого стержня массы длины концы которого скользят (рис. 39.5) по расположенному в вертикальной плоскости гладкому обручу радиуса (плотность массы стержня линейно зависит от расстояния до одного из его концов).

Рис. 39.5

Выбирая системы координат так, как это показано на рис. 39.5, получим выражения для кинетической и потенциальной энергий стержня:

где — расстояние от центра обруча до центра масс стержня (здесь учтено, что центр масс находится на расстоянии от более легкого конца стержня — см. пример 37.3). Имея в виду, что разность между углами постоянна, а главный

центральный момент стержня равен (см. пример 38.1), найдем значение квадрата частоты линейных колебаний стержня

Пример 39.4. Плоскопараллельное качение неоднородного цилиндра.

По горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости катается неоднородный цилиндр массы и радиуса а (расстояние от его геометрической оси до центра масс равно I, а ось, проходящая через центр масс параллельно оси цилиндра, является главной осью инерции — момент инерции относительно этой оси равен .

Рис. 39.6

Найти частоту линейных колебаний цилиндра и реакцию плоскости, если движение цилиндра плоскопараллельно.

Выберем системы S и (т. е. системы ) так, как показано на рис. 39.6, а. Качение цилиндра по абсолютно шероховатой плоскости представляет собой движение системы, на которую наложена идеальная связь. Действительно, скорость точки цилиндра, касающейся плоскости, будет в момент касания равна нулю и, следовательно, виртуальное перемещение такой точки равно нулю. Учитывая, что реакция плоскости приложена к точке касания цилиндра, приходим к выводу, что эта реакция не совершает виртуальной работы.

Уравнение рассматриваемой связи можно записать в виде (см. (37.2))

где скорость центра масс и угловая скорость цилиндра, скорость точки касания относительно 5 и ее радиус-вектор относительно S.

Условие (1) в случае плоскопараллельного качения приводит к двум уравнениям:

где — декартовы координаты центра масс цилиндра, проекции радиуса-вектора на оси Координаты выражаются через угол между осями с помощью формул

Таким образом, уравнения (2) можно представить в виде

а затем проинтегрировать и тем самым получить как функции

(здесь постоянные интегрирования выбраны так, чтобы при центр масс цилиндра находился в наинизшем положении). Следовательно, в случае плоскопараллельного качения связь (1) является голономной.

Кинетическая и потенциальная энергии цилиндра как функции независимой координаты и обобщенной скорости соответственно равны (см. формулы (3) и (4))

Отсюда получим уравнение линейных колебаний цилиндра

где

Чтобы найти реакцию плоскости, используем закон изменения импульса цилиндра (см. (37.4) и рис. 39.6, б):

Подставим сюда проекции скорости центра масс из формулы и пренебрежем членами второго порядка малости и выше по величинам . Тогда, используя уравнение (5), найдем

Отсюда видно, что при малом отклонении возникает составляющая реакции стремящаяся вернуть центр масс цилиндра к положению устойчивого равновесия; момент всей реакции относительно центра масс стремится повернуть цилиндр по часовой стрелке, т. е. опять-таки к положению устойчивого равновесия.