§ 24. Действительные, возможные и виртуальные перемещения; идеальные связи

Определим действительные, возможные и виртуальные перемещения на примере одной точки, подчиненной одной голономной удерживающей связи

Действительным перемещением точки называется бесконечно малое перемещение этой точки под действием как заданных сил, так и реакций связи; действительное

перемещение происходит за время в соответствии с уравнением движения и уравнением связи.

Возможным перемещением назовем «перемещение» точки, допускаемое связью; в отличие от действительных перемещений возможные перемещения удовлетворяют только уравнению связи. Действительное перемещение всегда является одним из возможных. Дифференциальное уравнение, которому подчинены возможные перемещения точки, получим, взяв дифференциал от левой части уравнения (24.1) и приравняв его нулю:

Наконец, виртуальным перемещением называется воображаемое бесконечно малое «перемещение» точки, допускаемое связью в данный фиксированный момент времени; в этот момент времени связь «застывает», т. е. ее изменение со временем мысленно прекращается. Виртуальные перемещения не происходят под действием сил и не обладают длительностью. Представление о виртуальных перемещениях можно получить, если сделать мгновенную фотографию движущейся поверхности и рассмотреть возможные перемещения точки по изображению этой поверхности на фотографии. Дифференциальное уравнение, которому подчинены виртуальные перемещения точки, получим, вычисляя дифференциал левой части уравнения (24.1) при фиксированном времени, т. е. вычисляя вариацию и приравнивая ее нулю [42, гл. I, § 1]:

Здесь приращение радиуса-вектора точки также -при фиксированном времени, т. е. является вариацией радиуса-вектора. Из (24.2) и (24.3) видно, что совокупность виртуальных перемещений совпадает с возможными перемещениями только в случае стационарных связей, когда

Проиллюстрируем уравнения (24.2) и (24.3) на примере точки, движущейся по горизонтальной плоскости (см. рис. 23.2). В этом случае уравнения для возможных и виртуальных перемещений точки имеют вид

Легко обобщить рассмотренные определения на систему точек, подчиненных голономным связям

и получить уравнения для механической системы, аналогичные уравнениям (24.2) и (24.3). В самом деле, вычисляя дифференциалы и вариации левых частей уравнений (24.4) и приравнивая их нулю, найдем

Понятие о виртуальных перемещениях позволяет определить очень важный класс связей. Пусть сумма работ всех реакций связей на виртуальных перемещениях точек системы равна нулю; иначе говоря, пусть — виртуальная работа реакций связей — равна нулю:

где — число точек системы. Связи, удовлетворяющие условию (24.7), называются идеальными. Этот класс связей обладает достаточной общностью, причем физические причины идеальности связей могут быть различными. Убедимся в этом на двух примерах.

Еще раз рассмотрим точку, движущуюся по горизонтальной плоскости, допуская, что плоскость абсолютно гладкая. Тогда реакция плоскости на точку в любой момент времени перпендикулярна плоскости (рис. 23.2), т. е. Следовательно, виртуальная работа, совершаемая реакцией связи, равна нулю:

поскольку для рассматриваемой связи Поэтому гладкая плоскость, покоящаяся или движущаяся, является идеальной связью: и в том, и в другом случаях виртуальная работа равна нулю. Заметим, что работа совершаемая реакцией гладкой плоскости на действительных перемещениях, равна нулю только, в том случае, когда плоскость покоится. Если же плоскость движется, то действительная работа отлична от нуля:

Таким образом, понятие виртуальной работы, «совершаемой» на воображаемых перемещениях, отражает физическое свойство

поверхности — ее гладкость. Ясно, что любые гладкие поверхности и кривые (неподвижные и подвижные) также являются идеальными голономными связями.

В качестве другого примера идеальной связи рассмотрим прямолинейный стержень длины и исчезающей массы, который соединяет материальные точки 1 и 2, движущиеся, например, по параболической поверхности (рис. 24.1, а). На точки действуют заданные внешние силы реакции поверхности а также реакции стержня . Для системы «точки — стержень» силы тяжести и реакции поверхности являются внешними силами (величина и направление реакций поверхности зависят от характера поверхности), а реакции стержня являются внутренними силами.

Рис. 24.1

Для системы «стержень» внешними силами являются силы с которыми точки действуют на концы стержня, а также силы тяжести. Поэтому законы изменения импульса и кинетического момента стержня конечной массы имеют вид

где — масса, достаточно малой части стержня, а суммирование ведется по всем его частям. Отсюда, устремляя все к нулю, для стержня исчезающей массы получим соотношения

из которых следует, что реакции равны по величине и направлены по стержню в противоположные стороны:

(здесь X — некоторая скалярная функция). Используя эти выражения, найдем, что виртуальная работа реакций стержня равна нулю,

поскольку длина стержня задана:

К тому же результату можно прийти, замечая, что виртуальное перемещение перпендикулярно к так как длина стержня задана (рис. 24.1, б). Следовательно, проекции векторов на направление стержня одинаковы, а работа равна по величине и противоположна по знаку работе . Таким образом, стержень заданной длины и исчезающей массы действительно является идеальной голономной связью. Кроме того, эта связь стационарна и, следовательно, совокупности виртуальных и возможных перемещений точек 1 и 2 совпадают. Учитывая также, что действительное перемещение всегда является одним из возможных, придем к выводу о равенстве нулю работы реакций стержня и на действительных перемещениях точек 1 и 2:

Приведенные примеры показывают сравнительно большую общность класса идеальных связей. Например, любое сочетание гладких связей со связями, состоящими из тонких стержней исчезающей массы и заданной длины, является идеальной связью, если в местах соединения связей отсутствует трение. Все абсолютно шероховатые поверхности, по которым происходит качение тел без проскальзывания, также представляют собой идеальные связи (как голономные, так и неголономные). Действительно, поскольку в точке касания тела и поверхности отсутствует проскальзывание, виртуальное перемещение точки тела, совпадающей с точкой касания, равно нулю, в силу чего и виртуальная работа реакции поверхности равна нулю.