Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 40. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Уравнения ЭйлераИзменение ориентации тела с одной закрепленной точкой Для исследования рассматриваемой задачи поместим в неподвижную точку тела как начало О инерциальной системы
где Так как оси системы S направлены по главным осям инерции, то в уравнении моментов (см. (40.1)) необходимо использовать разложение вектора М. по этим осям (см. (38.10)). С этой целью представим уравнение для момента в форме (39.7) и, таким образом, получим
Проектируя правую и левую части уравнения (40.2) на оси системы
найдем динамические уравнения Эйлера
Для решения задачи методом Лагранжа необходимо найти кинетическую энергию как функцию независимых координат
Выражение (40.4) заметно упрощается, если моменты инерции относительно двух главных осей равны друг другу (в этом случае тело называется симметричным волчком). Действительно, направляя по этим главным осям оси
Отметим известные общие решения задачи о движении тела с одной закрепленной точкой под действием однородного поля тяжести, которые справедливы при произвольных начальных условиях. Такими решениями являются решения: а) задачи Эйлера (случай уравновешенного волчка), когда неподвижная точка и центр масс тела совпадают, б) задачи Лагранжа (случай симметричного неуравновешенного волчка), когда частные интегралы, т. е. интегралы, имеющие место при определенных начальных условиях. Пример 40.1. Изменение ориентации спутника (свободного симметричного волчка). Найти закон изменения ориентации спутника Земли относительно гелиоцентрической системы отсчета. В качестве инерциальной системы S выберем систему с началом в центре Земли и осями, направленными на «неподвижные» звезды (см. пример 20.3). Начало системы
Рис. 40.1 Уравнения движения спутника относительно S можно записать в виде (37.11)
где
где Из (2) видно, что кинетический момент вращения относитель но
где
Сопоставляя выражения (3) и (4), видим, что кинетическая энергия вращения также сохраняется и, следовательно, при решении задачи об изменении ориентации спутника (свободного волчка) можно исходить из двух законов сохранения:
Направляя ось
которое для симметричного волчка можно записать в виде (см.
Следовательно, в выбранной системе координат
Используя (40.5), запишем интеграл энергии в виде
где Итак, симметрия волчка и законы сохранения его кинетического момента и кинетической энергии приводят к решению
Следовательно, свободный симметричный волчок совершает регулярную прецессию (см. пример 17.1). Для этого движения характерно, что ось симметрии волчка и его ось вращения сами вращаются относительно инерциальной системы вокруг постоянного вектора Если в начальный момент ось симметрии совпадала по направлению с вектором
т. е. в этом случае волчок все время будет вращаться вокруг главной оси инерции, сохраняющей ориентацию относительно лнерциальной системы; эта ось по направлению все время будет совпадать с угловой скоростью Рассмотрим тот же пример методом независимых переменных, в качестве которых возьмем углы Эйлера. Лагранжиан свободного симметричного волчка относительно
Отсюда, ввиду цикличности времени и углов
Направляя ось Если исходить из уравнений Эйлера (40.3), то, учитывая симметрию волчка
где
откуда, используя (17.11), получим решение для углов Эйлера. Регулярная прецессия является сравнительно распространенным видом движения твердого тела. Например, такое движение совершают уравновешенный гироскоп и симметричная молекула (как твердое тело); ось вращения Земли прецессирует вокруг ее полюсов (это связано с тем, что Земля является не сферой, а слегка сплющенным у полюсов эллипсоидом, симметричным относительно оси). Пример 40.2. Симметричный тяжелый быстрый волчок. Симметричный волчок с одной закрепленной точкой и центром масс, находящимся от нее на расстоянии
Рис. 40.2 Выберем системы координат и S так, как это показано на рис. 40.2, и рассмотрим сначала качественное решение задачи на основе уравнения моментов (см. (40.1)). Поскольку в начальный момент времени волчок быстро вращается вокруг оси симметрии, допустим, что его угловая скорость в любой момент времени примерно равна
где
из уравнения моментов получим
Сопоставляя уравнение (3) с соотношением (19.16), составленным для
малой по сравнению Подставляя Как видно из формулы (3), ось волчка все время движется в направлении, перпендикулярном силе тяжести, что в действительности возможно лишь при специальном выборе начальных условий. Рассмотрим строгое решение поставленной задачи. Учитывая, что кинетическая энергия волчка равна энергии вращения (см. (37.17)), найдем функцию Лагранжа как функцию углов Эйлера и их производных (см. (40.5)):
Эти же интегралы можно получить и из других соображений. Действительно, момент силы тяжести перпендикулярен как к вертикали, так и к оси Из последних двух интегралов (6) найдем
Подставляя эти функции в интеграл энергии, получим дифференциальное уравнение относительно угла
В частных случаях это уравнение имеет решение в виде элементарных функций. Например, пусть в начальный момент времени наклоненный волчок закручен вокруг своей неподвижной оси симметрии, т. е. пусть
Учитывая, что при этом
сведем уравнение (8) к виду
откуда вытекает, что угол Так как
то из уравнения (10) будет следовать, что Разлагая правую часть уравнения (10) в «точке»
(здесь нельзя пренебречь членом, пропорциональным
запишем уравнение (12) в виде
Решением этого уравнения, удовлетворяющим начальному условию
Используя (7) и (14), с той же степенью точности получим
откуда находим углы Эйлера как функции времени:
Приведем также выражения для угловых скоростей, усредненных: по периоду
Как видно из решения, ось симметрии волчка медленно прецессирует вокруг вертикали со средней угловой скоростью, равной амплитудой, т. е. нутация. Такое движение твердого тела называется псевдорегулярной прецессией. Эта прецессия происходит следующим образом: в начальный момент времени ось волчка опускается под действием тяжести, соответственно потенциальная энергия волчка уменьшается, а кинетическая возрастает; увеличение наклона оси, благодаря собственному вращению тела, приводит к появлению прецессионной скорости Заметим, что задачи, аналогичные рассмотренной, используются в теории гироскопических навигационных приборов, имеющей большое практическое значение. Пример 40.3. Симметричный заряженный быстрый волчок в однородном магнитном поле. Симметричное заряженное тело с покоящимся центром масс и одинаковыми удельными зарядами его точек Поместим начала систем S и S в центр масс тела, ось
где
Здесь
где М — кинетический момент вращения тела. Используя разложение момента вращения по осям S (см. (38.10)), запишем скалярное произведение в виде
затем выразим проекции напряженности
В результате найдем лагранжиан волчка
где Отсюда видно, что обобщенная энергия, равная в данном случае кинетической энергии вращения, и обобщенные импульсы
Из последних двух интегралов получим
Подставляя эти функции в интеграл энергии, найдем уравнение для 0:
Это уравнение упрощается, если начальные условия заданы так же, как в предыдущем примере. Действительно, выражая с помощью (4) постоянные
и располагая члены в уравнении (6) по степеням
Из этого уравнения следует (см. стр. 373), что
где
Отсюда (см. стр. 373—374) найдем решение
Следовательно, ось симметрии заряженного быстрого волчка медленно прецессирует вокруг направления напряженности однородного магнитного поля со средней угловой скоростью, равной частоте Лармора. Кроме того, ось волчка быстро нутирует с малой амплитудой и частотой порядка угловой скорости
|
1 |
Оглавление
|