§ 40. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Уравнения Эйлера

Изменение ориентации тела с одной закрепленной точкой зано с изменением всех углов Эйлера, поэтому задача о движении такого тела является более сложной по сравнению с задачей о плоскопараллельном движении.

Для исследования рассматриваемой задачи поместим в неподвижную точку тела как начало О инерциальной системы так и: начало О системы 5, жестко связанной с телом, а оси системы S направим по главным осям инерции относительно неподвижной точки. Тогда векторные уравнения движения (37.4) с учетом (37.13) можно записать в виде

где — импульс тела, — реакция опоры в точке закрепления (момент реакции в силу выбора начала отсчета равен нулю).

Так как оси системы S направлены по главным осям инерции, то в уравнении моментов (см. (40.1)) необходимо использовать разложение вектора М. по этим осям (см. (38.10)). С этой целью представим уравнение для момента в форме (39.7) и, таким образом, получим

Проектируя правую и левую части уравнения (40.2) на оси системы жестко связанной с темм, и учитывая, что проекции производной на оси , согласно (38.10), соответственно равны

найдем динамические уравнения Эйлера

Для решения задачи методом Лагранжа необходимо найти кинетическую энергию как функцию независимых координат и обобщенных скоростей Учтем, что кинетическая энергия Т равна энергии вращения (см. (37.17)), а оси системы направлены по главным осям инерции (см. (38.8)). Тогда, используя кинематические формулы Эйлера (17.11), получим

Выражение (40.4) заметно упрощается, если моменты инерции относительно двух главных осей равны друг другу (в этом случае тело называется симметричным волчком). Действительно, направляя по этим главным осям оси и полагая из (40.4) найдем

Отметим известные общие решения задачи о движении тела с одной закрепленной точкой под действием однородного поля тяжести, которые справедливы при произвольных начальных условиях. Такими решениями являются решения: а) задачи Эйлера (случай уравновешенного волчка), когда неподвижная точка и центр масс тела совпадают, б) задачи Лагранжа (случай симметричного неуравновешенного волчка), когда а центр масс находится на оси задачи Ковалевской (случай симметричного неуравновешенного волчка), когда а центр масс находится в плоскости Кроме этих случаев существования общих интегралов известны также некоторые

частные интегралы, т. е. интегралы, имеющие место при определенных начальных условиях.

Пример 40.1. Изменение ориентации спутника (свободного симметричного волчка).

Найти закон изменения ориентации спутника Земли относительно гелиоцентрической системы отсчета.

В качестве инерциальной системы S выберем систему с началом в центре Земли и осями, направленными на «неподвижные» звезды (см. пример 20.3). Начало системы жестко связанной со спутником, поместим в его центр масс, а ось направим по оси материальной симметрии спутника (рис. 40.1).

Рис. 40.1

Уравнения движения спутника относительно S можно записать в виде (37.11)

где — масса спутника, — напряженность поля тяготения Земли в точке пространства, где находится -тая достаточно малая часть спутника с радиусом-вектором относительно S и радиусом-вектором относительно системы Учитывая что размеры спутника исчезающе малы по сравнению с расстоянием от центра Земли до любой точки спутника, т. е. полагая, что получим

где — радиус-вектор центра масс спутника относительно в силу выбора системы Таким образом, задача о движении спутника распадается на две независимые задачи: задачу о движении центра масс, которая была рассмотрена в § 8, и задачу об изменении ориентации спутника относительно поступательно движущейся системы центра масс.

Из (2) видно, что кинетический момент вращения относитель

но сохраняется. Кроме того, имеет место интеграл полной энергии спутника относительно системы S (см. (37.18))

где Пользуясь уравнением движения центра масс (см. (2)), нетрудно показать, что

Сопоставляя выражения (3) и (4), видим, что кинетическая энергия вращения также сохраняется и, следовательно, при решении задачи об изменении ориентации спутника (свободного волчка) можно исходить из двух законов сохранения:

Направляя ось по вектору достигаем того, что — проекция момента на линию узлов — будет равна нулю (см. рис. 16.2). С другой стороны, эта проекция равна выражению

которое для симметричного волчка можно записать в виде (см.

Следовательно, в выбранной системе координат т. е. наклон оси симметрии тела по отношению к остается постоянным. Это в свою очередь приводит к сохранению проекции угловой скорости на ось симметрии волчка, поскольку (см. рис. 40.1 и (38.10))

Используя (40.5), запишем интеграл энергии в виде

где главные центральные моменты инерции волчка. Отсюда, учитывая постоянство приходим к выводу о постоянстве что обусловливает постоянство (см. третью из формул (17.11)).

Итак, симметрия волчка и законы сохранения его кинетического момента и кинетической энергии приводят к решению

Следовательно, свободный симметричный волчок совершает регулярную прецессию (см. пример 17.1). Для этого движения характерно, что ось симметрии волчка и его ось вращения сами вращаются относительно инерциальной системы вокруг постоянного вектора с постоянной скоростью прецессии наклоны этих осей по отношению к вектору различны, но постоянны, а угловая скорость изменения ориентации волчка, оставаясь по величине постоянной, все время лежит во вращающейся плоскости, образуемой осью симметрии и вектором

Если в начальный момент ось симметрии совпадала по направлению с вектором то из решения (7) следует, что

т. е. в этом случае волчок все время будет вращаться вокруг главной оси инерции, сохраняющей ориентацию относительно лнерциальной системы; эта ось по направлению все время будет совпадать с угловой скоростью и моментом

Рассмотрим тот же пример методом независимых переменных, в качестве которых возьмем углы Эйлера. Лагранжиан свободного симметричного волчка относительно равен кинетической энергии вращения (см. (40.5)), т. е.

Отсюда, ввиду цикличности времени и углов получим интеграл энергии (6) и два интеграла для проекций момента вращения:

Направляя ось по вектору и используя интегралы (6) и (9), найдем решение задачи.

Если исходить из уравнений Эйлера (40.3), то, учитывая симметрию волчка и равенство нулю момента внешних сил относительно получим

где . В результате решения этой системы найдем проекции угловой скорости как функции времени

откуда, используя (17.11), получим решение для углов Эйлера.

Регулярная прецессия является сравнительно распространенным видом движения твердого тела. Например, такое движение совершают уравновешенный гироскоп и симметричная молекула (как твердое тело); ось вращения Земли прецессирует вокруг ее полюсов (это связано с тем, что Земля является не сферой, а слегка сплющенным у полюсов эллипсоидом, симметричным относительно оси).

Пример 40.2. Симметричный тяжелый быстрый волчок.

Симметричный волчок с одной закрепленной точкой и центром масс, находящимся от нее на расстоянии движется в однородном поле тяжести. Найти закон движения волчка, если в начальный момент времени его кинетическая энергия вращения вокруг оси симметрии велика по сравнению с потенциальной энергией.

Рис. 40.2

Выберем системы координат и S так, как это показано на рис. 40.2, и рассмотрим сначала качественное решение задачи на основе уравнения моментов (см. (40.1)). Поскольку в начальный момент времени волчок быстро вращается вокруг оси симметрии, допустим, что его угловая скорость в любой момент времени примерно равна . Тогда момент вращения волчка равен (см. (38.10))

где — момент инерции относительно оси симметрии. Используя (1), а также представляя момент силы тяжести в виде

из уравнения моментов получим

Сопоставляя уравнение (3) с соотношением (19.16), составленным для придем к выводу, что вектор прецессирует вокруг вертикали с угловой скоростью

малой по сравнению (по условию задачи).

Подставляя в уравнение импульса (см. (40.1)), получим, что и соответственно реакция опоры Если же принять, что значение реакции будет отличаться от найденного лишь на величину порядка

Как видно из формулы (3), ось волчка все время движется в направлении, перпендикулярном силе тяжести, что в действительности возможно лишь при специальном выборе начальных условий. Рассмотрим строгое решение поставленной задачи. Учитывая, что кинетическая энергия волчка равна энергии вращения (см. (37.17)), найдем функцию Лагранжа как функцию углов Эйлера и их производных (см. (40.5)):

— главные моменты инерции относительно осей с началом в неподвижной точке О. Поскольку лагранжиан (5) явно не зависит от времени и углов имеют место три первых интеграла:

Эти же интегралы можно получить и из других соображений. Действительно, момент силы тяжести перпендикулярен как к вертикали, так и к оси проходящей через центр масс. Следовательно, проекция момента силы на ось равна нулю, а проекция момента вращения сохраняется. Проекция момента силы на ось также равна нулю, однако ввиду подвижности этой оси проекция сохраняется только в случае симметричного тела (см. третье уравнение Эйлера (40.3)).

Из последних двух интегралов (6) найдем как функции 0:

Подставляя эти функции в интеграл энергии, получим дифференциальное уравнение относительно угла

В частных случаях это уравнение имеет решение в виде элементарных функций. Например, пусть в начальный момент времени наклоненный волчок закручен вокруг своей неподвижной оси симметрии, т. е. пусть

Учитывая, что при этом

сведем уравнение (8) к виду

откуда вытекает, что угол не может быть меньше

Так как а по условию задачи кинетическая энергия вращения в начальный момент времени велика по сравнению с потенциальной энергией т. е.

то из уравнения (10) будет следовать, что в любой момент времени близко к

Разлагая правую часть уравнения (10) в «точке» и пренебрегая членами третьего и более высокого порядка малости, найдем

(здесь нельзя пренебречь членом, пропорциональным так как он умножается на большую величину). Вводя обозначения

запишем уравнение (12) в виде

Решением этого уравнения, удовлетворяющим начальному условию является функция

Используя (7) и (14), с той же степенью точности получим

откуда находим углы Эйлера как функции времени:

Приведем также выражения для угловых скоростей, усредненных: по периоду

Как видно из решения, ось симметрии волчка медленно прецессирует вокруг вертикали со средней угловой скоростью, равной (сравнить с формулой (4)); эта скорость тем меньше, чем, больше начальная скорость вращения вокруг оси симметрии. Значение скорости прецессии колеблется около своего среднего значения с малой амплитудой и большой частотой прямо пропорциональной Одновременно с этим ось симметрии совершает колебания вокруг линии узлов с большой частотой и малой амплитудой (см. рис. 40.2, на котором штриховой линией изображена траектория конца орта ). Таким образом, в среднем получаем картину регулярной прецессии вокруг вертикали, а на это усредненное движение налагается дрожание оси с малой

амплитудой, т. е. нутация. Такое движение твердого тела называется псевдорегулярной прецессией.

Эта прецессия происходит следующим образом: в начальный момент времени ось волчка опускается под действием тяжести, соответственно потенциальная энергия волчка уменьшается, а кинетическая возрастает; увеличение наклона оси, благодаря собственному вращению тела, приводит к появлению прецессионной скорости пропорциональной Угловая скорость и момент тела в этом случае также прецессируют по сравнительно сложному закону вокруг вертикали, отклоняясь друг от друга и от оси волчка на малые величины, пропорциональные отношению

Заметим, что задачи, аналогичные рассмотренной, используются в теории гироскопических навигационных приборов, имеющей большое практическое значение.

Пример 40.3. Симметричный заряженный быстрый волчок в однородном магнитном поле.

Симметричное заряженное тело с покоящимся центром масс и одинаковыми удельными зарядами его точек вращается в однородном постоянном магнитном поле напряженности Определить закон движения волчка, если в начальный момент времени угловая скорость вращения вокруг оси симметрии тела велика по сравнению с частотой Лармора.

Поместим начала систем S и S в центр масс тела, ось направим по вектору а ось — по оси симметрии тела. Представляя вектор-потенциал однородного магнитного поля в виде

где — радиус-вектор точки пространства, и учитывая, что электростатическая энергия твердого тела постоянна, с помощью (27.20) получим

Здесь — радиус-вектор и скорость -той точки тела, обладающей зарядом Так как по условию удельный заряд для всех точек одинаков, положим его равным тогда для обобщенного потенциала найдем выражение:

где М — кинетический момент вращения тела. Используя разложение момента вращения по осям S (см. (38.10)), запишем скалярное произведение в виде

затем выразим проекции напряженности на оси S через углы Эйлера:

В результате найдем лагранжиан волчка

где - частота Лармора.

Отсюда видно, что обобщенная энергия, равная в данном случае кинетической энергии вращения, и обобщенные импульсы сохраняются:

Из последних двух интегралов получим как функции 0:

Подставляя эти функции в интеграл энергии, найдем уравнение для 0:

Это уравнение упрощается, если начальные условия заданы так же, как в предыдущем примере. Действительно, выражая с помощью (4) постоянные через

и располагая члены в уравнении (6) по степеням получим

Из этого уравнения следует (см. стр. 373), что должно быть малой величиной, поскольку скорость собственного вращения велика по сравнению с частотой Лармора . Полагая для определенности и оставляя в уравнении (7) только члены порядка и порядка получим

где

Отсюда (см. стр. 373—374) найдем решение

Следовательно, ось симметрии заряженного быстрого волчка медленно прецессирует вокруг направления напряженности однородного магнитного поля со средней угловой скоростью, равной частоте Лармора. Кроме того, ось волчка быстро нутирует с малой амплитудой и частотой порядка угловой скорости собственного вращения волчка. Таким образом, рассматриваемое движение заряженного тела в однородном магнитном поле аналогично псевдорегулярной прецессии волчка в поле тяжести.