Глава 2. Непрерывное вейвлет-преобразование

Образы -функций под действием непрерывного вейвлет-преобра-зования образуют гильбертово пространство с воспроизводящим ядром (г.п.в.я.) (reproducting kernel Hilbert space). Г.п.в.я. появляются и широко используются в различных контекстах. Одним из простейших примеров является пространство всех функций с ограниченной шириной полосы, обсуждаемое в §§ 2.1 и 2.2. В § 2.3 мы вводим понятие ограничения на частотную и временную полосы. Конечно, ни одна ненулевая функция не может быть строго ограничена во времени (т. е. для вне ) и по диапазону для но по-прежнему можно ввести операторы ограничения по времени и частоте. Мы представляем короткий обзор замечательной работы Ландау, Поллака, Слепьяна по этой теме. Затем мы переключаемся на непрерывное вейвлет-преобразование: формула обращения в § 2.4 (с доказательством (1.3.1)), соответствующее г.п.в.я. в § 2.5. В § 2.6 мы кратко показываем, как результаты для одномерного случая из предыдущих параграфов можно распространить на многомерные случаи. В § 2.7 мы проводим параллель с непрерывным преобразованием Фурье. В § 2.8 мы показываем, как из непрерывного оконного преобразования Фурье или вейвлет-преобразования можно построить другой оператор ограничения по времени и частоте. И, наконец, в § 2.9 мы комментируем такое свойство вейвлет-преобразования, как «увеличение» («zoom in»).

2.1. Функции с ограниченной шириной полосы и теорема Шеннона

Функция из называется функцией с ограниченной шириной полосы (bandlimited), если ее преобразование Фурье имеет компактный носитель, т. е. для Для простоты предположим, что Тогда можно представить через ряд Фурье

(см. предварительные сведения):

где

Следовательно,

на третьем шаге мы поменяли порядок интегрирования и суммирования, что заведомо справедливо, если (например, если имеется лишь конечное число ненулевых ). Стандартными рассуждениями о непрерывности получаем, что окончательный результат верен для всех функций с ограниченной частотной полосой (bandlimited functions) (для всех х ряд абсолютно сходится, поскольку Формула (2.1.1) говорит о том, что полностью определена своими «отсчетами» («samples») . Если мы снимем ограничение и предположим, что , где — произвольное, то (2.1.1) превратится в

где функция определена отсчетами соответствующими «плотности отсчетов» (sampling density) . (Через мы обозначаем «размер» множества измеряемый мерой Лебега, в нашем случае Плотность отсчетов обычно называется плотностью Найквиста (или предельной плотностью, Nyquist density). Разложение (2.1.2) носит название теоремы Шеннона.

Рис. 2.1. График

«Элементарные строительные блоки» в (2.1.2) убывают

очень медленно (они не являются абсолютно интегрируемыми). «Перенасыщение» (oversampling) делает возможным представление в виде комбинации функций с более быстрым убыванием. Предположим, что по-прежнему пространственно-ограничена на но теперь представлена с частотой в раз большей, чем частота Найквиста (Nyquist rate), . Тогда можно восстановить по следующим образом. Определим

(см. рис. 2.1). Так как на мы имеем

Теперь можем повторить то же построение, что и раньше. Верно следующее представление

где

отсюда

где

Эти убывают быстрее, чем Заметим, что если то как и ожидалось. Можно получить более быстрое убывание, выбрав более гладким, но не стоит прилагать слишком много усилий, чтобы сделать очень гладким: на самом деле, будет очень быстро убывать при асимптотически больших х, но величина А накладывает ограничение на численное убывание Другими словами, выбрав из получим убывающее быстрее, чем любой обратный полином

при этом постоянная может быть очень большой (это связано с величиной производной на грубо она оценивается через .

Что происходит, если «недонасыщена» (undersampled), т. е. но известны только Имеем

здесь мы использовали, что имеют период , и предполагали, что (в противном случае в сумму из последнего подынтегрального выражения входило бы больше членов). Это означает, что недонасыщенные ведут себя так же, как и взятые с частотой Найквиста отсчеты функции с более узкой шириной полосы, для которой преобразование Фурье получается периодизацией («folding»)

Рис. 2.2. Три слагаемых и их сумма (жирная линия) на отрезке

(см. рис. 2.2). В этой версии некоторые высокие частоты обнаруживаются в областях низких частот, лишь в области воздействие не оказывается. Этот феномен, называемый наложением спектров (aliasing), ясно слышится, например, для недонасыщенных акустических сигналов, как металлическое клацанье.