2.8. Непрерывное преобразование как инструмент для построения полезных операторов

Формулы обращения (2.4.4), (2.7.2) могут быть переписаны и другим образом:

где обозначает оператор на сопоставляющий функции ее образ Этот оператор проектирования имеет ранг 1 (т.е. его квадрат и сопряжение идентичны ему самому). Формулы (2.8.1) утверждают, что «суперпозиция» с равными весами операторов проектирования ранга один, соответствующих семейству вейвлетов (или семейству оконных преобразований Фурье), в точности является тождественным оператором. (Как и прежде, интегралы в (2.8.1) нужно брать в слабом смысле). Что произойдет, если мы возьмем аналогичные комбинации, но придадим разные веса разным операторам проектирования ранга 1? Если весовая функция вообще имеет смысл, то мы прийдем к корректно определенному оператору, отличному от тождественного. Если весовая функция ограничена, то таким же будет и соответствующий оператор, но во многих примерах удобнее рассматривать неограниченные весовые функции, которые могут порождать неограниченные операторы. В этом пункте мы рассмотрим несколько интересных примеров (ограниченных и неограниченных).

Начнем со случая оконного преобразования Фурье. Перепишем (2.8.16) в обозначениях (импульс, координата), более принятых в квантовой механике, чем обозначения для плоскости частота-время, и введем весовую функцию

Если может быть неограниченным и, значит, не везде определенным. В качестве области определения мы можем взять множество которое будет плотным при разумном выборе и Приведем два полезных примера из квантовой механики: (1) выбор приводит к где при выборе является мультипликативным потенциальным оператором Читатели, знакомые с основами квантовой механики, заметят, что в обоих случаях оператор достаточно хорошо соответствует «квантованной версии» функции на фазовом пространстве (в системе, где ) с небольшим видоизменением: дополнительная константа в первом случае, и подстановка вместо потенциальной функции во втором случае. На самом деле обе формулы использовались Либом в [129] для доказательства

ства того, что теория Томаса-Ферми, полуклассическая теория атомов и молекул, является «асимптотически» верной (при , т. е. для очень тяжелых атомов). Это дает член главного порядка более сложной квантомеханической модели. В доказательстве Либа использовались вышеупомянутые примеры с тремя переменными (вместо одной): операторами, которые он в действительности хотел рассматривать, были, конечно, так что ему нужно было выбрать подходящую и работать с дополнительной постоянной и разностью между V и несколько другими методами. Заметим, что выбор функции с интегрируемой особенностью (такой, как трехмерный потенциал Кулона) всегда приводит к без особенностей: операторы вида (2.8.2) не могут представлять таких особенностей.

Существует много других приложений операторов вида (2.8.2). В чистой математике они иногда называются операторами Теплица, и по этому предмету написаны уже тома. В квантовой оптике они также называются «операторами типа Р», и, опять же, существует обширная литература на сей предмет (см. Клаудер и Скагерстам Но вернемся снова к анализу сигнала и посмотрим, как формула (2.8.2) может быть использована для построения оператора частотно-временной локализации.

Пусть — это некоторое измеримое подмножество Вернемся снова к частотно-временным обозначениям и определим с помощью (2.8.2) оператор соответствующий характеристической функции если если

Из формулы обращения немедленно получаем

С другой стороны, очевидно, Другими словами,

Если — ограниченное множество, то ядерный оператор (см. предварительные сведения), поскольку для любого ортонормированного базиса из

где обозначает меру . Следовательно, существует полное множество собственных векторов с собственными значениями, убывающими к нулю

Такие операторы имеют очень естественное толкование. Если оконная функция достаточно хорошо локализована, сосредоточена возле нуля и по времени, и по частоте, то может рассматриваться как «элементарная компонента» локализованная на частотно-временной плоскости около Суммируя все эти компоненты, получаем снова — это сумма лишь тех компонент, для которых Таким образом, соответствует извлечению из такой информации, которая имеет отношение к области на частот-но-временной плоскости, и построению из этой локализованной информации функции, которая «живет» только на (или очень близко). Это составляет суть операторов с частотно-временной локализацией, рассмотренных в § 2.3! Теперь мы можем изучать для множеств не обязательно являющихся прямоугольниками вида . (Заметим, однако, что даже для наши операторы отличны от рассмотренных в § 2.3). К несчастью, для большинства случаев и собственные функции и собственные значения трудно охарактеризовать, и такая конструкция является

ограничено пригодной. Однако есть один пример и одно специальное семейство множеств для которых все становится прозрачным. Возьмем Обозначим соответствующий оператор локализации через

Эти операторы перестановочны с гамильтонианом гармонического осциллятора из § 2.7, что можно легко увидеть из следующих рассуждений. Поскольку

где , имеем

откуда

Если мы подставим то легко проверить (используя явные выражения для помещенные в конце § 2.7), что

С другой стороны, область интегрирования инвариантна под действием преобразования (потому что это преобразование является просто вращением в частотновременном пространстве!), так что

перестановочен с Н, как и было заявлено. Следовательно, существует ортонормированный базис, в котором и и Н диагональны (см. предварительные сведения). Но поскольку все собственные значения Н невырождены, существует только один базис, диагонализирующий Н, а именно, функции Эрмита (см. § 2.7). Следовательно, функции

Эрмита являются собственными функциями Собственные значения могут быть вычислены из соотношения

(Существует много способов вычисления этого выражения. Один из них, с использованием гильбертова пространства Баргмана, объясняется в примечании 3 в конце этой главы). Тогда мы имеем

где

которая является так называемой неполной Г-функцией. По этой явной формуле для можно изучить ее поведение как функции от и Здесь я лишь суммирую итоги (подробности можно найти в работе Добеши [52]). Рисунок 2.4 также изображает для трех различных значений Для каждого функция монотонно убывает с ростом . При малых ее значения близки 1, при больших — нулю. Пороговое значение, вблизи которого происходит «нырок», определяется, например, как ппор и равняется ппор Заметим, что это опять т. е. площадь области частотно-времен-ной локализации умноженная на частоту Найквиста, также, как и в § 2.3. Ширина области нырка больше, чем в § 2.3. Однако

(если сравнивать с логарифмической шириной из (2.3.2)), но это пренебрежительно мало для больших если сравнивать с Другое

Рис. 2.4. Собственные значения для и 7

ощутимое отличие от § 2.3 состоит в том, что собственные функции в этом случае не зависят от размера области (в отличие от волновых функций вытянутого сфероида): -зависимость полностью сосредоточена в

Примеры, сходные с вышеприведенным, существуют и для непрерывного вейвлет-преобразования. Снова подставим функцию отличную от постоянной, в интеграл из (2.8.1а) и построим операторы отличные от тождественного оператора. Примером является в трехмерном случае со сферически симметричной (формула обращения дана формулой (2.6.2), т. е.

Поскольку для трехмерным преобразованием Фурье является (понимаемое в смысле распределений), легко проверяется, что может записать так:

так что представляет кулоновскую потенциальную энергию взаимодействия двух зарядов с распределениями и . Эта формула использовалась, например, в работе Фефермана и де ла Лаве [79] о релятивистской устойчивости вещества. Заметим, что становится «диагональным» в представлении (2.8.3) (почему, собственно, это и оказалось полезным для работы [79]). Заметим также, что это диагональное вейвлет-представление полностью учитывает особенности ядра в (2.8.4): нет «вырезания» особенностей, в отличие от оконного преобразования Фурье. Это имеет место вследствие того факта, что вейвлеты могут учитывать размер особенностей (предельный вариант высокочастотных особенностей с очень коротким временем существования!), в то время как оконные функции Фурье не могут (см. § 1.2 или

Как и в случае оконного преобразования Фурье, мы можем ограничить интегрирование в (2.8.1а) подмножеством из -пространства, определив таким образом операторы частотно-временной локализации. Они определены корректно для измеримых Для компактных не содержащих точек с является ядерным оператором. В общем случае для собственные функции и собственные значения снова трудно охарактеризовать, но, опять же, существуют такие и для которых собственные функции и собственные значения определяются явно. Их анализ аналогичен анализу, проведенному для случая оконного преобразования Фурье, но является несколько более замысловатым. Здесь мы лишь схематично обрисуем результат. Для полного описания следует обратиться к работе Пола [185] или Добеши и Пола [62]. Одним из вариантов таких является при при Соответствующей формулой обращения, с которой мы и начнем (см. (2.4.9)), будет

где Рассматриваемые нами операторы задаются с помощью формулы

где . В представлении -пространства как верхней комплексной полуплоскости соответствуют кругам Роль гамильтониана гармонического осцилятора теперь играет оператор Н, определенный по формуле

Для такого Н имеем

где

и . Легко проверить, что сохраняет все окружности , что иллюстрирует рисунок 2.5. Следовательно, Н и перестановочны, значит, они диагонализируемы одновременно. Собственные значения Н имеют кратность 2. Для каждого собственного значения мы можем найти две собственные функции

и . Здесь — полином Лагерра (2 — верхний индекс, а не степень), в общем случае задаваемый формулой

Рис. 2.5. Линии потока для

Поскольку операторы перестановочны с операцией то будут собственными функциями и для (вследствие вырожденности Н, не каждая собственная функция Н является собственной функцией Соответствующие собственные значения задаются с помощью

(Это означает, что имеет ту же вырожденность, что и Н, так что в этом случае каждая собственная функция Н фактически является также и собственной функцией Таким образом, мы можем использовать в качестве собственных функций, которые имеют то преимущество, что они вещественные. Рисунок 2.6 показывает, как выглядят несколько первых

(кликните для просмотра скана)

Рис. 2.7. Собственные значения для различных значений С

(ч — для четных, н — для нечетных). График для различных значений С приведен на рисунке 2.7. При достаточно больших С величины ведут себя так, как и подобает собственным значениям оператора частотно-временной локализации: они близки 1 для маленьких и убывают к 0 для больших, зависящих от С, значений Более точно, для любой значение при котором пересекает равняется (С — большое) и или — Отсюда

где . В частности,

Чтобы сравнить с плотнотью Найквиста, нам нужно вначале найти площадь в пространстве время-частота, соответствующую Для этого

Рис. 2.8. (а) Множество Для различных значений С. (б) Сравнение с множествами частотно-временной локализации для оконного преобразования Фурье (круг слева) и вейвлет-преобразования (справа)

вернемся к Имеем

Тогда соответствует частотно-временному множеству

Это соответствует срезке как низкой, так и высокой частоты (см. рисунок 2.8 для сравнения этого множества частотно-временной локализации с кругами в случае оконного преобразования Фурье). Площадь равна сочетании с (2.8.4) это дает

что отличается от плотности Найквиста! Это противоречие возникает вследствие того, что ширина «области нырка» для пропорциональна С и, значит, . В самом деле, для имеем

что отличается от случая волновых функций вытянутого сфероида, где аналог выражения в круглых скобках стремится к нулю как при и случая оконного преобразования Фурье, где он ведет себя как при Факт, что в данном случае ширина района нырка имеет тот же порядок, что и следут из неравномерной частотно-временной локализации Это указывет на то, что мы должны быть осторожными, используя интуицию, основанную на соображениях о времени-частоте-плотности, когда имеем дело с вейвлетами. К этому мы еще вернемся в главе 4.