Примечания

1. Один из примеров состоит в следующем. Пусть Г будет гексагональной решеткой, где определяет разбиение на равносторонние

треугольники. Определим как пространство непрерывных функций из кусочно-аффинных на этих треугольниках. Ортонормированный базис для этого кратномасштабного анализа построен Джаффаром в [99]. Биортогональные базисы вейвлетов с компактными носителями при такой гексагональной симметрии построены Коэном и Шленкером в [44].

2. Одномерные условия из § 5.1 могут быть облечены в матричную форму: в этом случае и условия гарантируют ортонормированность и ортогональность этих двух множеств векторов, соответственно. Но эти условия эквивалентны требованию унитарности матрицы

Если вместо элементов предпочтительнее индексировать элементы с номерами можно перенумеровать определяя

4. К настоящему времени я не знаю ни одной явной схемы, которая обеспечивает бесконечному семейству то с параметром сжатия 3 регулярность, растущую пропорционально ширине носителя фильтра.

5. То же можно сделать для параметра сжатия 2, для которых матрицы сжатия будут еще проще. Основная идея заключается в том, что если то для любых функция будет удовлетворять и условию Если то удобно выбрать что приводит к Все это можно переписать в матричной форме

Вся операция увеличивает степень то вдвое. Более того, можно доказать (Вайданатан, Хоанг [175]), что любой тригонометрический

полином удовлетворяющий условию может быть получен действием произведений таких -матриц на фильтры с двумя отводами. В нашей конструкции из § 6.4 он не сохраняет делимость то на предположение делимости конечного то на -приводит к существенно нелинейным ограничениям на параметры Преимущество же этого метода заключается в легкости использования фильтров (непосредственным образом используются и в том, что ошибки округления не портят свойства точного восстановления.

В любом случае сходная матричная техника может быть использована для более чем двух каналов (Доганата, Вайданатан, Нгуен [69]) или с более практичными матричными множителями (Вайданатан и соавторы [176]). Эта техника матричной факторизации восходят к работе Белевича [21] по теории цепей.

6. Этот метод определения был показан мне Лоутоном и Гопинатом при личном общении (1990).

7. Однако такой одномерный фильтр не был бы полезен для практических целей!

8. Это отмечалось многими авторами. Наиболее старой ссылкой является, видимо, работа МакКлелана [173]. Можно также заменить одномерный на для произвольного а 6 М. Однако представляется, что преимущества отказа от симметричного выбора велики.

9. Можно аргументировать, что некоторые из многомерных схем, обсуждаемые в § 10.3, соответствуют нецелым сжатиям. Например, для размерности 2 матрицы удовлетворяют так что одно сжатие можно рассматривать как сжатие в раз (в сочетании с вращением и/или отражением).

10. Если рассматривать и ортонормированные базисы вейвлетов, получаемые не из кратномасштабного анализа, то неизвестно, допустимы или нет иррациональные параметры сжатия.

11. Для больших I функции сосредоточены не так хорошо, как предполагает эта дискуссия (см. Койфман, Мейер, Викерхаузер [46]). Это заметно уже на рисунке 10.8, где имеют «боковые горбы».

12. В анализе изображение часто продолжается за пределы границ изображения с помощью отражения. Это продолжение непрерывно,

но производная все еще имеет «скачок». Мы вернемся к этому в конце § 10.7.

13. Некоторые из этих утверждений являются весьма нетривиальными! Значительная часть книги Мейера [143] посвящена их доказательству. Более простые доказательства недавно были найдены Лемарье и Малгуйресом [127].

14. Имеем