2.7. Параллели с непрерывным оконным преобразованием Фурье

Оконное преобразования Фурье функции задается формулой

где . Рассуждения, полностью сходные с использованными в доказательстве предложения 2.4.1, показывают, что для всех имеем

что можно переписать в виде:

Условие допустимости в этом случае отсутствует: можно брать любую оконную функцию из Подходящей нормировкой для будет (Отсутствие условия допустимости объясняется унимодулярностью группы Вейля-Гейзенберга, см. рассуждения Гроссмана, Морле и Пола в [90].)

Непрерывное оконное преобразование Фурье снова можно рассматривать как отображение из в г.п.в.я. Все функции лежат в и дополнительно удовлетворяют равенству

где (Здесь мы предполагаем, что ) И опять существует специальная которая сводит это г.п.в.я. к гильбертову пространству аналитических функций: при получаем

где — целая функция. Множество всех целых функций полученное таким образом, образует гильбертово пространство Баргмана (Баргман [13]).

Функции полученные из часто называют каноническими когерентными состояниями (см. Клаудер, Скагерстам , а соответствующее непрерывное оконное преобразование Фурье — каноническим представлением когерентного состояния. Оно имеет много красивых и полезных свойств. Одно из них, используемое в следующем пункте, мы объясним. Применив дифференциальный оператор получаем, что

т. е. — это собственная функция Н с собственным значением 0. На языке квантовой механики Н называется гармоническим осциляторным оператором Гамильтона, — его основным состоянием. (Строго говоря, Н, на самом деле, дважды стандартный гармонический осциляторный гамильтониан.) Остальные собственные функции Н задаются

функциями Эрмита более высокого порядка

которые удовлетворяют соотношению

(Для получения (2.7.4) стандартным простейшим методом следует написать, что , где — его сопряжение и показать, что так что . Нормировка также легко вычисляется.) Хорошо известно, что образуют ортонормированный базис для Таким образом, они составляют «полное множество собственных функций» для

Теперь рассмотрим однопараметрические семейства Они являются решениями уравнения

с начальным условием . В очень частном случае, когда мы находим где (что легко проверяется непосредственными вычислениями). То есть, каноническое когерентное состояние, «развиваясь» под действием (2.7.5), остается каноническим когерентным состояние (с точностью до фазового множителя, который для нас не имеет значения). Обозначение нового когерентного состояния получено из первоначального простым поворотом на плоскости время-частота.