8.3.3. Регулярность и нулевые моменты

Если семейства к образуют двойственные базисы Рисса (вейвлетов с компактными носителями, поскольку мы работаем с КИХ-фильтрами), то можно применить теорему 5.5.1, чтобы связать нулевые моменты одной функции с регулярностью другой: если то автоматически . Это эквивалентно условию для . Формулы (8.3.9) и влекут выполнение условий для .

Отсюда в силу (8.3.10) полином то делится на . Для получения регулярной функции нам нужно построить пары фильтров то, то, где имеет кратный ноль в

Заметим, что ничто не препятствует проявлению весьма различных свойств регулярности функций что иллюстрируется нижеприведенными примерами. Если намного регулярнее что отвечает большему чем для количеству нулевых моментов для тогда две одинаково верные формулы

имеют очень разные толкования (Чамичан [171]). На практике формула (8.3.17) более употребима, чем (8.3.18): с одной стороны большое число нулевых моментов приводит к «потенциально лучшей сжимаемости» в областях, где — достаточно гладкая (см. § 7.4); с другой стороны «простейшие строительные блоки» более гладки. В работе [2] Антонини и соавторы провели следующий эксперимент с биортогональными вейвлетами: одна и та же пара фильтров использовалась дважды,

во второй раз фильтр разложения и фильтр восстановления поменялись ролями. Случай, соответствующий (8.3.17), после квантования дал гораздо более лучшие результаты, чем (8.3.18). Мы уже упоминали в § 7.4, что остается неясным, какой из факторов являетсязолее важным: большое число нулевых моментов или регулярность Возможно, они оба важны.