1.3.2. Дискретное избыточное вейвлет-преобразование (фрейм)

В этом случае оба параметра, сжатия а и сдвига, принимают только дискретные значения. Для а мы берем целые (отрицательные и положительные) степени фиксированного параметра Как показано на рисунке 1.2, разные значения то соответствуют разной ширине вейвлетов. Следовательно, дискретизация параметра сдвига должна зависеть от то: узкие (высокие частоты) вейвлеты сдвигаются малыми шагами, чтобы покрыть весь временной спектр, в то время как более широкие (низкие частоты) вейвлеты сдвигаются большими шагами. Поскольку ширина пропорциональна мы выбираем где — фиксированное, Соответствующие вейвлеты с дискретными индексами выглядят как

На рисунке 1.4 а схематически изображена сетка центров частотно-временной локализации, соответствующая Тогда для заданной функции

(кликните для просмотра скана)

скалярное произведение точно дает дискретное вейвлет-преобразование, определенное формулой (1.2.2) (мы снова предполагаем, что вещественная).

В дискретном случае, вообще говоря, не существует формулы обращения, аналогичной (1.3.1) для непрерывного случая. Восстановление из если оно вообще возможно, должно, таким образом, производиться другими методами. Естественным образом возникают следующие вопросы:

(1) Зная возможно ли полностью характеризовать

(2) Возможно ли восстановить из численно устойчивым способом?

Эти вопросы касаются восстановления по ее вейвлет-преобразованию. Мы можем также рассмотреть сопряженную задачу (см. § 1.3.1) о возможности разложения по вейвлетам, которая приводит к двойственным вопросам:

(1) Любая ли функция может быть записана в виде суперпозиции

(2) Существует ли численно устойчивый алгоритм для вычисления коэффициентов такого разложения?

Глава 3 посвящена этим вопросам. Как и в непрерывном случае, дискретное вейвлет-преобразование часто дает весьма избыточное описание исходной функции. Эта избыточность может быть использована (например, можно вычислить вейвлет-преобразование лишь приблизительно, при этом восстановить с достаточно хорошей точностью) или ликвидирована путем удаления его несущественных значений (как сделано в работе Малла и Жонга [136] о сжатии изображения). В такой дискретной форме вейвлет-преобразование наиболее близко -преобразованию Фразиера и Яверта из [82].

Выбор вейвлета используемого в непрерывном вейвлет-преобразовании или в семействе вейвлетов с дискретными индексами, существенно ограничен требованием, чтобы определенная по формуле (1.3.2), была конечной. Из практических соображений обычно берется хорошо сконцентрированной во временной и частотной областях, но это, тем не менее, оставляет достаточно свободы для выбора. В следующей главе мы увидим, как, отказываясь во многом от этой свободы выбора, мы получим ортонормированные базисы вейвлетов.