1.3.3. Ортонормированные базисы вейвлетов: кратномасштабный анализ

При некотором, весьма специальном, выборе функции образуют ортонормированный базис в . В частности, возьмем а тогда существует такая с хорошими свойствами частотно-временной локализации, что семейство

образует ортонормированный базис в (Начиная с этого места и до главы 10, мы будем предполагать, что Самым старым примером функции для которой определенные формулой (1.3.4), образуют ортонормированный базис в является функция Хаара:

Базис Хаара известен с 1910 года. Заметим, что функция Хаара не обладает хорошей частотно-временной локализацией: ее преобразование Фурье убывает как при Тем не менее, здесь мы будем использовать ее для наглядных целей. Далее следует доказательство того, что семейство Хаара действительно образует ортонормированный базис. Это доказательство отлично от тех, что приводится в большинстве учебников. Фактически, в качестве инструмента мы будем использовать кратномасштабный анализ (multiresohition analysis).

Для того чтобы доказать, что образуют ортонормированный базис, мы должны установить, что

(1) — ортонормированы,

(2) любая функция из может быть аппроксимирована с любой точностью конечной линейной комбинацией, составленной из

Ортонормированность устанавливается легко. Поскольку то два вейвлета одной шкалы (с одним значением не перекрываются. Тогда Перекрывающиеся носители возможны в случае, если два вейвлета имеют разные размеры, как на рисунке 1.5. Однако легко проверить, что если

Рис. 1.5. Два вейвлета Хаара. Носитель более «узкого» вейвлета полностью содержится в интервале, на котором более «широкий» вейвлет равен постоянной

то лежит полностью внутри участка, где постоянна (как на рисунке). Следовательно, скалярное произведение пропорционально интегралу от самой который равен нулю.

Теперь сосредоточим внимание на вопросе о том, как хорошо произвольная функция может быть аппроксимирована линейными комбинациями вейвлетов Хаара. Любую из можно достаточно хорошо приблизить функцией с компактным носителем, кусочно-постоянной на отрезке (достаточно взять носитель и достаточно большими). Таким образом, мы можем ограничиться лишь такими кусочно-постоянными функциями: предположим, что имеет носитель и является кусочно-постоянной на могут быть как угодно большими (см. рисунок 1.6). Обозначим постоянное значение на через Представим в виде суммы где — кусочно-постоянная, аппроксимирующая на интервале, вдвое большем, чем исходный, т. е. Значения задаются усреднением двух соответствующих постоянных значений для (см. рисунок 1.6). Функция является кусочно-постоянной с той же шириной шага, что и Тогда имеем

и

Рис. 1.6. (а) Функция с носителем кусочно-постоянная на Выделение части На каждой паре интервалов заменяется усредненным значением Разница между равняется , линейной комбинации вейвлетов Хаара

Отсюда следует, что является линейной комбинацией из функций Хаара, масштабированных и сдвинутых:

Таким образом, записана как

где того же вида, что и но с шириной шага вдвое большей. Тот же трюк можем применить и к так, что

Рис. 1.7. Средние значения на можно «размазать» по большим интервалам Разница будет линейной комбинацией очень вытянутых функций Хаара

имеет тот же носитель но является кусочно-постоянной на большем интервале Продолжаем делать это до тех пор, пока не получим

Здесь состоит из двух постоянных кусков (см. рисунок 1.7), равняется среднему значению на интервале равняется среднему значению на

Даже если мы «заполнили» весь носитель мы можем по-прежнему продолжать этот трюк с усреднением: ничто не мешает нам расширить наш горизонт с до и записать где

и

(см. рисунок 1.7). Повторяя это, приходим к

где

Отсюда немедленно следует, что норму

можно сделать как угодно малой, взяв достаточно большое К. Как и было заявлено, таким образом, аппроксимируется с произвольной точностью конечными линейными комбинациями вейвлетов Хаара.

В только что проведенных рассуждениях мы неявно использовали «кратномасштабный» подход: мы последовательно выписывали все более грубые приближения к средние значения на все больших интервалах), на каждом шаге мы записывали разницу между приближением с разрешением и следующим, более грубым уровнем с разрешением как линейную комбинацию На самом деле мы ввели цепочку пространств представляющих уровни с последовательным разрешением: в нашем случае — кусочнопостоянные на Эти пространства имеют следующие свойства:

Свойство (3) говорит о том, что все пространства являются масштабированными версиями одного пространства («кратномасштабность»).

В примере с функцией Хаара мы обнаружили, что существует функция такая что

Красота кратномасштабного подхода заключается в том, что для любой цепочки пространств удовлетворяющей четырем вышеприведенным свойствам и свойству

(5) такая, что семейство образует ортонормированный базис для ,

существует для которой верно (1.3.5). (В примере с функцией Хаара мы можем взять если в противном случае.) Функции автоматически образуют ортонормированный базис. Оказывается, существует много примеров таких «кратномасштабных цепочек», соответствующих ортонормированным базисам вейвлетов. Существует точный рецепт построения поскольку , а функции образуют ортонормированный базис для (в силу (3) и (5)), существует такая, что Тогда достаточно взять Функция называется масштабирующей функцией (scaling function) кратномасштабного анализа. Соответствие кратномасштабный анализ ортонормированный базис вейвлетов будет детально объясняться в главе 5 и использоваться в последующих главах. Как показано в § 5.6 (глава 5), такой кратномасштабный подход связан также с субполосной фильтрацией.

На рисунке 1.8 приведено несколько примеров пар функций соответствующих различным кратномасштабным анализам, которые будут встречаться в последующих главах. Вейвлеты Мейера (главы 4 и 5) имеют преобразование Фурье с компактным носителем, тогда как сами имеют бесконечные носители. Это показано на рисунке 1.8 а. Вейвлеты Батла-Лемарье (глава 5) являются сплайнами (линейными на рисунке 1.86, кубическими на рисунке 1.8 в) с узлами в для для Обе функции имеют бесконечный носитель и экспоненциальное убывание. Численно они убывают быстрее, чем вейвлеты Мейера (для сравнения на рисунках 1.8 а, б, в горизонтальная шкала выбрана одинаковой). Вейвлет Хаара, рисунок 1.8 г, известен с 1910. Его

(кликните для просмотра скана)

можно рассматривать как вейвлет Батла-Лемарье наименьшей степени либо как первый вейвлет семейства вейвлетов с компактными носителями, построенного в главе 6, Рисунок 1.8 д изображает следующий член этого семейства функции имеют носитель ширины 3 и являются непрерывными. Для функций из этого семейства (построенного в § 6.4) регулярность возрастает линейно с ростом ширины носителя (глава 7). Наконец, на рисунке 1.8е показан другой вейвлет с компактным носителем ширины 11 и меньшей асимметрией (см. главу 8).