Введение

Вейвлеты являются сравнительно новым изобретением в прикладной математике. Это название само по себе возникло около десятилетия тому назад (см. работы Морле, Аренса, Фуржо, Жиара [149], Морле [148], Гроссмана и Морле [89]). За последние десять лет интерес к ним вырос взрывообразно. Их нынешний успех обьясняется несколькими причинами. С одной стороны, концепция вейвлетов может рассматриваться как синтез идей, возникших за последние двадцать или тридцать лет в технике (субполосное кодирование), физике (когерентные состояния, группа ренормализации) и чистой математике (изучение операторов Зигмунда-Кальдерона). Вследствие своего междисциплинарного происхождения, вейвлеты представляются привлекательными для ученых и инженеров с самыми разными научными интересами. С другой стороны, вейвлеты являются довольно простым математическим инструментом с большим разнообразием возможностей для применения. Они были успешно применены для анализа сигнала (звук, изображение) (ранними ссылками являются работы Кронланда-Мартина, Морле и Гроссмана [115], Малла [133, 134], более поздние ссылки будут даны ниже) и в численном анализе (быстрые алгоритмы для интегральных преобразований в работе Бейлкина, Койфмана и Рохлина [24]).

Эта книга состоит из десяти лекций, прочитанных мной во время CBMS конференции по вейвлетам, организованной в июне 1990 кафедрой математики университета Лоуэлла, Массачусетс. В соответствии с обычным форматом таких конференций, остальные докладчики (Батл, Бейлкин, Чуй, Коэн, Койфман, Грошениг, Ляндра, Малла, Торрезани, Виллски) прочли лекции по своим работам, связанным с вейвлетами. Более того, было организовано три семинара по приложениям в физике и обратных задачах (под руководством Де Фачио), в теории групп и гармоническом анализе (Файхтингер) и в анализе сигнала (Вет-терли). Аудитория состояла из исследователей, занимающихся вейвлетами, равно как и из математиков и других ученых, которые уже имели некоторое понятие о вейвлетах, но хотели бы узнать больше. Эта, вторая, группа представляла большую часть аудитории. Я посчитала

своей задачей дать этой части аудитории вводный курс по вейвлетам, который бы послужил надежной основой для понимания новых работ, представленных остальными лекторами и мной. По этой причине около двух третей моих лекций состояли из «основ теории вейвлетов», а оставшаяся треть была посвящена недавней и неопубликованной работе. Такое деление также отражено и в настоящей книге. В конечном итоге, как я считаю, книга будет полезна как курс по введению в предмет для самостоятельного чтения либо для семинаров или как курс лекций для аспирантов. Ни одна из лекций или статей, представленных на конференции, не была включена в книгу. В результате, эта работа была написана скорее под влиянием моей собственной работы, чем конференции. Во многих случаях я включила указания на ссылки для дальнейшего чтения или детальные представления конкретных приложений, дополняющие текст. Перечислю другие опубликованные книги по вейвлетам: Wavelets and Time Frequency Methods (Комбе, Гроссман и Чамичан [49]), которая содержит материалы Международной Конференции по Вейвлетам, проведенной в Марселе, Франция, в декабре 1987 года, Ondelettes (Мейер [142]) (на французском языке, скоро ожидается английское издание), которая содержит более расширенное математическое объяснение, чем настоящие лекции, а также экскурс в другие приложения, Les Ondelettes еп 1989 (под редакцией Лемарье [125]), сборник лекций, прочитанных в университете Париж XI весной 1989 года, и An Introduction to Wavelets (Чуй [31]), введение с точки зрения теории аппроксимации. Материалы Международной Конференции по Вейвлетам, проведенной в Марселе в мае 1989 года, как ожидается, будут скоро опубликованы (Мейер [143]). Более того, многим участникам CBMS конференции, а также исследователям, которые не смогли участвовать в работе, было предложено написать эссе по своим работам, связанным с вейвлетами. Результатом является сборник Wavelets and their Applications (Рускай и другие [159]), который можно рассматривать как дополнение к данной книге. Другой сборник — это Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications (под редакцией Чуй [132]). Кроме того, я информирована о некоторых других сборниках, готовящихся к публикации (под редакцией Бенедетто и Фразиера и еще одного под редакцией Барло), и книге Холшнайдера. Есть еще специальный выпуск IEEE Trans. Inform.Theory, март 1992 года; еще один готовится к выпуску в 1992 году в Constructive Approximation Theory и еще один в 1993, в IEEE Trans. Sign. Ргос. Кроме того, некоторые недавно

вышедшие книги содержат главы о вейвлетах. Например, Multirate Systems and Filter Banks, (Вайданатан [174]), Quantum Physics, Relativity and Complex Spacetime: Towards a New Synthesis (Кайзер [109]). Читатели, заинтересовавшиеся данными лекциями, найдут эти книги и специальные выпуски полезными для объяснения многих деталей и остальных аспектов, не достаточно полно отраженных здесь. Это тем более понятно, что рассматриваемая область по-прежнему быстро развивается.

Эта книга, более или менее, следует курсу моих лекций: каждая из десяти глав представляет одну из десяти лекций, помещенных в том порядке, в котором они читались. Первая глава представляет краткий обзор различных аспектов вейвлет-преобразования. Она является наброском большой фрески, последующие главы заполняют ее деталями. Мы рассматриваем непрерывное вейвлет-преобразование (глава 2, с коротким обзором функций с ограниченным спектром и теоремой Шеннона), избыточное дискретное вейвлет-преобразование (фреймы, глава 3) и обсуждаем, в общих чертах, частотно-временную плотность и возможность существования ортонормированных базисов (глава 4). Большая часть результатов из глав 2-4 может быть сформулирована как для оконного преобразования Фурье, так и для вейвлет-преобразования. Поэтому оба случая рассматриваются параллельно, с указанием сходства и различия. Оставшиеся главы сфокусированы на ортонормированных базисах вейвлетов: кратномасштабный анализ и первая общая стратегия для конструирования ортонормированных базисов вейвлетов (глава 5), ортонормированные базисы вейвлетов с компактными носителями и их связь с субполосным кодированием (глава 6), строгие оценки регулярности для таких базисов (глава 7), симметрия для вейвлет-базисов с компактным носителем (глава 8). Глава 9 показывет, что ортонормированные базисы «хороши» для многих функциональных пространств, где методы Фурье работают не очень хорошо. Эта глава наиболее математическая из всех глав книги, большинство ее материалов не связаны с приложениями, обсуждаемыми в других главах, так что она может быть пропущена читателями, не заинтересованными в этом аспекте теории вейвлетов. Я включила ее по нескольким причинам: вид оценок, используемых в доказательстве, очень важен в гармоническом анализе, а подобные (хотя более сложные) оценки из доказательства Т(1)-теоремы Давида и Журне послужили основанием для приложений в численном анализе в работе Бейлкина, Койфмана и Рохлина [24]. Более того, теорема Зигмунда-Кальдерона,

объясненная в этой главе, иллюстрирует, как техника использования различных масштабов, один из прототипов вейвлетов, использовалась в гармоническом анализе задолго до изобретения вейвлетов. Наконец, глава 10 обрисовывает несколько расширений конструкции ортонормированных вейвлет-базисов: для многомерного случая, для параметра сжатия, не равного двум (и даже нецелого), с возможностью лучшей частотной локализации, для случая вейвлет-базисов на конечном интервале, а не на всей оси. Каждая глава завершается параграфом из пронумерованных примечаний, возникающих по ходу главы. Они содержат дополнительные ссылки, доказательства, замечания и прочее.

Эта книга — математическая, в ней приводится и доказывается много теорем. Она также подразумевает наличие некоторой математической подготовки. В частности, я предполагаю, что читатель обладает некоторыми познаниями в области преобразования и рядов Фурье. Я также использую некоторые основные теоремы из теории меры и интегрирования (лемма Фату, теорема об интегрируемости предела мажорируемой последовательности, теорема Фубини, они могут быть найдены в любом хорошем учебнике по вещественному анализу). В некоторых главах полезно было бы знакомство с основами теории гильбертовых пространств. Список основных понятий и теорем, используемых в книге, приведен в главе «Предварительные сведения».

Читатель, обнаруживший, что он или она не знает всего этого, не должен отчаиваться: большую часть этой книги можно понять, зная лишь основы анализа Фурье. Более того, я постаралась придерживаться прозаического стиля в большинстве доказательств с риском быть скучной для математически изощренного читателя. Поэтому, я надеюсь, книга будет интересна не математикам. По этой причине я отошла от последовательности «определение-лемма-предложение-теорема-следствие» и старалась более опираться на интуицию, даже если это вело к более многословному изложению. Я надеюсь, что мне удастся разделить мое восхищение с читателями этим междисциплинарным объектом, который появился в моей научной жизни.

Я хочу использовать возможность, чтобы выразить мою благодарность многим людям, которые сделали проведение конференции в Лоуэлле свершившимся фактом: организационному комитету и кафедре математики университета Лоуэлла, в частности, профессору Кайзеру и профессору Рускай. Успех конференции, которая неожиданно собрала намного больше участников, чем это обычно было на такого рода

конференциях, объясняется, в большей части, ее очень хорошей организацией. Как говорит И. Джеймс (1991), организатор с большим опытом работы: «каждая конференция имеет место быть в основном благодаря усилиям одного единственного человека, который делает почти всю работу». Таким человеком на конференции в 1990 году была Мери Бетт Рускай. Я особенно благодарна ей за предложение провести конференцию, в первую очередь, за организацию конференции таким образом, что я была минимально загружена бумажной работой. Перед конференцией я имела возможность апробировать большинство своих материалов, прочтя курс лекций для аспирантов на кафедре математики в университете Мичигана, в Энн Арбор. Мой визит был совместно поддержан Национальным научным фондом и университетом Мичигана. Я хочу поблагодарить эти организации за их поддержку. Я хочу поблагодарить весь факультет и студентов, которые посещали мой курс, обеспечивали обратную связь и вносили полезные предложения. Рукопись была отпечатана Мартиной Шарп, которой я благодарна за ее терпение, старание и за ее замечательную работу. Без нее я бы даже не сделала попыток написать эту работу. Я признательна Джефу Лагра за редакторские замечания. Несколько человек помогли мне вычитать верстку, всем им я очень признательна. Я особенно благодарна Паскалю Ошеру, Джерри Кайзеру, Мин-Джун Лаю и Мартину Веттерли. Все оставшиеся ошибки, конечно, лежат на моей совести. Я также хочу поблагодарить Джима Дрискола и Шарон Мюррел за помощь в подготовке авторского указателя. Наконец, я хочу поблагодарить своего мужа Роберта Кальдербанка за его поддержку. Для нашей семьи, где карьеру делают двое, иногда это означает, что он, также как и я, докажет на несколько теорем меньше.

Университет Рутгере и AT&T Ингрид Добеши

Bell Laboratories