7.3. Вейвлеты с компактными носителями и лучшей регулярностью

Из следствия 5.5.2 получается, что ортонормированный базис вейвлетов может состоять из вейвлетов, лишь если базисный вейвлет имеет нулевых моментов. (Мы неявно предполагаем, что возникает из кратномасштабного анализа, а имеют достаточное убывание. Оба условия тривиально выполняются для базисов вейвлетов с компактными носителями, построенных в главе 6.) Такова была наша мотивация при построении которая привела к с нулевыми моментами. Однако асимптотические результаты из § 7.1.2 показывают, что где Это означает, что 80% нулевых моментов являются «лишними», т. е. та же регулярность могла быть получена всего лишь с нулевыми моментами.

Нечто подобное происходит для малых значений Например, непрерывна, но не принадлежит из но не из и даже при этом имеют, соответственно, два и три нулевых момента. Значит, в каждом из двух случаев мы можем «пожертвовать» одним нулевым моментом и использовать дополнительную степень свободы

для получения с лучшим, чем или показателем Гёльдера и с той же шириной носителя. Это эквивалентно замене на и выбору а для улучшения регулярности Примеры для показаны на рисунках 7.4 и 7.5. Соответствующие имеют следующие значения:

Эти примеры соответствуют такому выбору а, что минимизирован, тогда собственные значения становятся кратными. Можно доказать, что показатель Гёльдера этих двух функций не меньше 0.5864, 1.40198 соответственно и не больше 0.60017, 1.4176. Возможно, последние два значения являются истинными показателями Гёльдера. Детали можно найти у Добеши в [55].