Глава 4. Частотно-временная плотность и ортонормированные базисы

Эта глава естественным образом разбивается на две части. В первой части обсуждается роль частотно-временной плотности в противостоянии вейвлет-преобразований и оконных преобразований Фурье. В частности, в случае оконных преобразований Фурье ортонормированные базисы возможны только для плотности Найквиста, но в случае вейвлетов таких ограничений нет. Это естественным образом приводит ко второй части, в которой обсуждаются различные возможности для ортонормированных базисов в обоих случаях.

4.1. Роль частотно-временной плотности для фреймов вейвлетов и оконных фреймов Фурье

Начнем со случая оконных фреймов Фурье. Мы упоминали в § 3.4.1, что семейство функций то,

не может быть фреймом при любом выборе если На самом деле, при любом выборе можно найти такую, что но для всех то, Если, например, то такую функцию легко построить: Для всех то, дает

а этого достаточно, чтобы найти для которой Теперь для определим

Ясно, что Тогда Однако выражение становится отрицательным после подстановки , таким образом, равняется нулю. Подобная конструкция может быть использована для любой другой пары с произведением Обобщение этой конструкции существует, если рациональное (см. Добеши [54], стр. 978). Если больше 1 и иррационально, то мне не известна явная конструкция для Существование такой было доказано Риффелом в [157] с использованием алгебр Неймана. Если рассматриваются только «достаточно хорошие» имеющие некоторое убывание по времени и частоте), и если мы хотим доказать, что не могут образовать фрейм (что слабее, чем существование тогда следующие, очень элегантные, рассуждения Ландау дают желаемое. Если образуют фрейм, то теорема 3.5.2 говорит нам, что функции , «существенно локализованные» на прямоугольнике частотно-временной плоскости, могут быть восстановлены с точностью до малой ошибки только по Для которого . Более точно, если имеет полосу ширины и если то

В соответствии с этой формулой все такие конструкции можно записать с произвольной точностью в виде суперпозиции где зависит от заданной точности, но не от 1) и Т. Однако следствием работы Ландау, Поллака, Слепьяна (см. § 2.3) является факт, что пространство функций с шириной полосы удовлетворяющих условию

фиксированное) содержит различных ортонормированных функций (подходящих волновых функций вытянутого сфероида). Все эти различные ортонормированные функции можно только аппроксимировать линейными комбинациями конечного числа если число функций превышает число ортонормированных функций, т. е. если для любых О, Т. Переходя к пределу при получаем или самом деле это лишь набросок доказательства. Технические детали полностью помещены в статье Ландау

Из практических соображений мы должны ограничиться строгим неравенством если хотим иметь хорошую частотно-временную локализацию: в предельном случае фреймы заведомо имеют плохие свойства локализации по времени или по частоте (или по времени и частоте одновременно). Это составляет содержание следующей теоремы.

Теорема 4.1.1 (Бальян-Лоу). Если функции образуют фрейм для то либо либо

Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, рассмотрим ее историю и добавим несколько замечаний. Первоначально теорема формулировалась для ортонормированных базисов (вместо фреймов) независимо Вальяном [12] и Их доказательства были очень похожими, но содержали небольшой технический пробел, который заполнили Койфман и Семмес. После этого доказательство можно было распространить и на случай фреймов, о чем сообщает Добеши в [54] стр. 976-977. Затем непохожее, очень элегантное доказательство было обнаружено Батлом [18]. В [106] Добеши и Янссен обобщили его на случай фреймов. (Именно это доказательство приводится ниже.)

Двумя хорошо известными примерами функций для которых семейство образует ортонормированный базис, являются

. В первом случае во втором — В [107] Иенсен, Хохолд и Юстесен показали, что

можно выбрать с несколько лучшей частотно-временной локализацией: они построили такую что обе функции, и являются интегрируемыми (т. е. ), но убывают довольно медленно, как и предписывается теоремой 4.1.1.

Заметим, что выбор в нашей формулировке теоремы 4.1.1 не является серьезным ограничением: заключение верно для любых . Чтобы это понять, достаточно применить унитарный оператор Применив к находим

Для доказательства теоремы 4.1.1 используем так называемое преобразование Зака. Это преобразование определяется формулой:

Определение заведомо корректно только для тех которых сходится для всех , в частности, для Однако оказывается, что такое ограничительное толкование можно расширить до унитарного отображения из Один из способов расширения состоит в следующем:

• Семейство где для в противном случае, образует ортонормированный базис в

Следовательно, переводит ортонормированный базис из в ортонормированный базис из так что является унитарным. Мы можем расширить образ под действием до другого пространства, изоморфного Из (4.1.2) для взятых вне находим

Теперь определим пространство

тогда устанавливает унитарное соответствие между . Обратное отображение также просто: для любого

если интеграл корректно определен (в противном случае мы вынуждены применять рассуждения о пределе).

Преобразование Зака имеет много красивых и полезных свойств. Как обычно и случается с красивыми и полезными понятиями, оно открывалось несколько раз и получало различные имена в соответствии с областью, в которой впервые было изучено. Оно известно также как отображение Вейля-Брезина. Утверждается даже, что Гауссу были известны некоторые из его свойств. Гельфанд тоже использовал его. Зак открыл его независимо от других и систематически изучал вначале для приложений в физике твердого тела, затем в более широком контексте. Интересной обзорной статьей, посвященной, в основном, приложениям в анализе сигналов, является работа Янссена [105].

Здесь мы коснемся лишь двух из множества свойств преобразования Зака. Первое свойство: если то

(как мы уже видели выше, в особом случае ). Это влечет

Точно так же мы имеем умножению на определенному на где Второе нужное нам

свойство касается отношений между и операторами , определенными так: более точно, Получается, что

это означает тогда и только тогда, когда Аналогично, или тогда и только тогда, когда Теперь мы готовы приступить к доказательству теоремы 4.1.1.

Доказательство теоремы 4.1.1.

1. Предположим, образуют фрейм. Поскольку

a Z унитарное, то

2. Векторы двойственного фрейма задаются формулой

(см. § 3.2, § 3.4.3). Из того, что умножению на следует

или

лежит в вследствие (4.1.3). В частности, (4.1.4) влечет

где

3. Теперь предположим, что Это приводит к противоречию, которое доказывает теорему. Поскольку мы имеем Следовательно,

лежат в Тогда

аналогично

5. Поскольку образуют двойственные фреймы, имеем

Но

Аналогично, Следовательно,

где последний член снова корректно определен, поскольку

6. Теперь мы получили противоречие: выполнение невозможно. Для любых двух функций удовлетворяющих мы имеем

С другой стороны, поскольку существуют удовлетворяющие такие что

примера возьмем где функции Эрмита.) Похожая последовательность может быть построена для Тогда

Вместе с (4.1.6) это дает Однако из (4.1.5) мы имеем . Это противоречие доказывает теорему.

Таким образом, мы можем суммировать наши находки:

• фреймов нет.

• фреймы существуют, но они имеют плохую частотно-временную локализацию.

• возможны фреймы (даже жесткие) с великолепной частотно-временной локализацией (см. § 3.4.4А). Это отражено на рисунке 4.1, изображающем три области на плоскости. В § 3.4.1 отмечается, что ортонормированные базисы возможны только в «граничном случае» Ввиду теоремы 4.1.1 это означает, что все ортонормированные базисы вида где заданы (4.1.1), имеют плохую частотно-временную локализацию.

На самом деле является мерой «частотно-временной плотности» фрейма, образованного Мы можем, например, определить эту «плотность» так

где — «разумное» множество из (с ненулевой мерой Лебега). Этот предел не зависит от и равняется Эта «плотность» также появилась при обсуждении частотно-временной локализации в § 3.5, см. (3.5.17). Ограничение означает, что частотно-временная плотность фрейма должна быть, по крайней мере, предельной плотностью Найквиста (в ее «обобщенной» форме, см. § 2.3). На самом деле теорема 4.1.1 говорит, что мы должны быть строго над предельной плотностью, если хотим иметь хорошую частотно-временную локализацию с использованием оконных фреймов Фурье.

Рис. 4.1. Области где фреймы невозможны, и где существуют жесткие фреймы с замечательной частотно-временной локализацией, разделены гиперболой единственной областью, где возможны ортонормированные базисы

Теперь вернемся к вейвлетам, для которых ситуация весьма отличается. Оказывается, что «в чистом виде» определения частотно-временной плотности для вейвлет-разложений нет. Мы уже встречали первое указание на это при изучении операторов локализации в § 2.8: для оконного случая Фурье число собственных значений в области перехода становится пренебрежимо малым (в сравнении с числом собственных значений, близких к 1), когда площадь области локализации стремится к бесконечности, в то время как для случая вейвлетов эти два числа — величины одного порядка. Это делает невозможным точное сравнение с предельной плотностью.

Нечто подобное происходит с семейством дискретных вейвлетов. При обсуждении частотно-временной локализации с помощью фреймов в § 3.5 мы видели, что функция, существенно сосредоточенная на частотно-временной плоскости, может быть аппроксимирована с хорошей точностью конечным числом вейвлетов. В отличие от оконного случая Фурье, отношение этого числа к частотно-временной площади зависит от желаемой точности аппроксимации (см. (3.5.11)), что делает невозможным (как и в непрерывном случае) точное сравнение с предельной плотностью. С другой стороны, если мы попытаемся определить аналог (4.1.7) для гиперболических решеток с рисунка 1.4 а, то найдем, что

(где выбрано так, чтобы числитель был конечным), не стремится к какому-либо пределу при . Для например, колеблется между где зависит от выбранного вейвлета Имеет место скорее этот феномен, чем отсутствие внутренней частотно-временной плотности для фрейма, что порождает проблему при подсчете числа вейвлетов, необходимых для частотно-временной локализации. Поэтому продвинемся несколько глубже.

Как мы заметили раньше, изначальных ограничений на значения параметров сдвига и сжатия для фрейма вейвлетов нет: любые могут быть использованы для определения жесткого фрейма с хорошей локализацией и по времени, и по частоте для (см. §3.3.5.А). На самом деле из (жесткого) фрейма с параметрами дискретизации мы всегда можем с помощью простого сжатия составить другой (жесткий) фрейм с параметрами ( то же), где произвольное. Поэтому неудивительно, что мы не имеем изначальных ограничений на Мы можем избавиться от этой свободы сжатия, зафиксировав не только нормировку но и потребовав, чтобы интеграл имел заданное значение. Для вещественной мы можем, например, потребовать, чтобы Жесткий фрейм, порожденный ограниченной таким образом, автоматически имел бы границу (см. теорему 3.3.1). Сравнение с формулой для жестких оконных фреймов Фурье наводит на мысль, что, может быть, выражение могло бы играть роль частотно-временной плотности для случая вейвлетов. Следующий пример хоронит все надежды в этом направлении. В следующем пункте мы встретимся с примером вейвлета Мейера для которого преобразование Фурье имеет компактный носитель (к может быть как в § 3.3.5.А; конструкции являются связанными) и то, и образуют

ортонормированный базис для Лишь для этой главы определим

где — вейвлет Мейера, а — произвольное. Рассмотрим -зависимые семейства При изменении «плотность» соответствующей решетки тоже меняется. (Заметим, что одинаковы для всех Если для вейвлетов выполняется какое-нибудь представление, сходное с рисунком 4.1, ввиду того, что является ортонормированным базисом в мы могли бы ожидать, что не полностью натянуто на если (векторов «недостаточно»), и что не является линейно независимым («слишком много» векторов), если Можно даже доказать (см. теорему 2.10 в работе Добеши [54], позже в этой главе мы тоже приведем набросок доказательства), что для некоторого семейство является базисом Рисса в для любого Этот пример убедительно показывает, что применение «частотно-временной интуиции» не всегда безопасно, если дело касается семейств вейвлетов.