Глава 3. Дискретные вейвлет-преобразования: фреймы

В этой самой длинной главе книги мы обсудим различные аспекты неортогональных дискретных вейвлет-разложений, проводя некоторые параллели с оконным преобразованием Фурье. Термин «фреймы» (frames) из названия главы обозначает множества, вообще говоря, зависимых векторов. Они, тем не менее, могут быть использованы для написания явного разложения каждого вектора пространства. Мы обсудим фреймы для вейвлетов вместе с фреймами для оконного преобразования Фурье. В последнем случае этот подход можно рассматривать как «перенасыщенный» по отношению к частоте Найквиста в частот-но-временном пространстве.

Большая часть материала этой главы взята из работы Добеши [54]. Очень хорошим обзором по фреймам (и непрерывным преобразованиям), содержащим несколько дополнительных оригинальных теорем, является работа Хейла и Волната [95].

3.1. Дискретизация вейвлет-преобразования

При определении вейвлет-преобразования мы рассматривали семейство

где — допустимая. Для удобства при дискретизации ограничимся только положительными значениями а, так что условием допустимости будет

(См. § 2.4.) Мы хотели бы ограничиться лишь дискретными значениями . Дискретизация параметра сжатия выглядит естественно: мы выбираем , где и шаг сжатия фиксирован. Для удобства предположим, что (хотя это не имеет значения, поскольку мы берем и отрицательные, и положительные степени ). Для естественной выглядит и дискретизация в качестве которой берутся кратные (положительные и отрицательные) одного фиксированного фиксируем произвольно). При этом выбирается подходящим образом так, чтобы «покрывали» всю ось (в смысле, уточненном ниже). Для различных значений то ширина раз больше ширины (измеряемой, например, так: ширина , где предполагается, что ), так что выбор гарантирует, что дискретизированные вейвлеты на уровне то «покрывают» ось так же, как это делают Итак, мы берем где пробегают фиксированные, выбор конечно, зависит от вейвлета ниже). Этот выбор соответствует семейству

Теперь мы можем задать два вопроса:

(1) В полной ли мере дискретные вейвлет-коэффициенты характеризуют Или, строже говоря, можем ли мы восстановить численно устойчивым способом, зная

(2) Может ли любая функция быть записана в виде суперпозиции «элементарных строительных блоков» Можем ли мы написать простой алгоритм нахождения коэффициентов такой суперпозиции?

На самом деле эти вопросы являются двумя сторонами одной проблемы. Ниже мы увидим, что при разумном выборе и подходящих существуют такие что ответ на вопрос о восстановлении будет прост:

Следовательно, для любой

или по крайней мере в слабом смысле. Это можно использовать как рецепт для вычисления коэффициентов в суперпозиции приводящей к Здесь мы в основном сосредоточимся на первом множестве вопросов. Более подробно двойственность между (1) и (2) обсуждается Грошенигом в [86].

В случае непрерывного вейвлет-преобразования немедленным ответом на оба вопроса является формула обращения, по крайней мере, если — допустимая. В теперешнем дискретном случае аналога такой формулы нет, так что мы должны приступить к решению этой проблемы другим методом. Интересно также знать, существует ли «дискретное условие допустимости» и как оно выглядит. Для начала придадим некоторое математическое содержание вопросам из (1). Ограничимся, в основном, функциями хотя дискретные семейства вейвлетов, подобно своим двоюродным родственникам с непрерывными параметрами, могут быть использованы также и во многих других функциональных пространствах. Функции могут «характеризоваться» с помощью своих «вейвлет-коэффициентов» если верно то, что выполнение

или, эквивалентно, если

Но мы хотим большего, чем характеризуемость: мы хотим иметь возможность восстановить численно устойчивым образом по Для существования такого алгоритма мы должны быть уверены в том, что если Последовательность то с необходимостью также «близки». Чтобы уточнить это, нам понадобятся топологии для пространства функций и пространства последовательностей. Для нас уже имеется топология гильбертова пространства, для пространства последовательностей мы выберем некоторую аналогичную -топологию, в которой расстояние между последовательностями измеряется так по формуле

Этим неявно предполагается, что последовательности

На практике с этим не возникает проблем. Как будет видно ниже, любой разумный вейвлет (для это означает некоторое убывание по времени и частоте и выполнение равенства ) с любыми приводит к оценке

Предположим (не уточняя пока, какие ограничения накладываются на к этому мы вернемся позже), что (3.1.2) выполнено.

-интерпретацией «близости» требование устойчивости означает, что если мало, то также должна быть малой. В частности, должно существовать такое, что влечет . Теперь возьмем произвольную и определим Ясно, что , откуда . Но это означает, что

или

для некоторого . С другой стороны, если (3.1.3) выполняется для всех то расстояние не может быть как угодно большим, если величина мала. Следовательно, (3.1.3) эквивалентно условию устойчивости. Сочетая (3.1.3) и (3.1.2), мы получаем, что должны существовать такие что

для всех . Другими словами, то, образуют фрейм. Обзор этого понятия мы сделаем в следующем пункте. Связь

между фреймами и численно устойчивым восстановлением по дискретным вейвлетам была впервые замечена Гроссманом (1985, личное общение).