10.5. Лучшее частотное разрешение: трюк с расщеплением

Предположим, что — коэффициенты фильтров, связанных с ортонормированным базисом вейвлетов, где показатель сжатия равен 2, т. е.

и выполняется

и

Тогда мы имеем следующую лемму.

Лемма 10.5.1. Возьмем некоторую функцию (не обязательно как-либо связанную с вейвлетами) с условием, что — ортонормированы. Определим

Тогда — это ортонормированный базис для

Доказательство.

1. , тогда

Следовательно,

Это влечет

Ортонормальность доказывается аналогично с использованием соотношения

3. Точно так же

и

что доказывает ортогональность

4. Наконец, Е целиком натягивается на потому что

и

Рис. 10.6. Графики Для определенной в § 6.4 На самом деле мы имеем

что доказывает (10.5.5). Аналогично,

что доказывает (10.5.6).

Лемма 10.5.1 и есть «трюк с расщеплением»: в ней показано, что фильтры вейвлетов можно использовать для расщепления на две части любого пространства, натянутого на ортонормированные функции Поскольку то, «живут» в разных диапазонах частот (см. рисунок 10.6), трюк с расщеплением соответствует разрезанию носителя на части и распределению частей попеременно между

Мы можем применить трюк с расщеплением к пространству с шириной диапазона (примерно) в одну октаву, натянутому на в случае одномерного кратномасштабного анализа с показателем

Рис. 10.7. Схематическое представление расщепления V (более или менее соответствующего ширине диапазона на и (а) либо

сжатия 2. Определим

где не обязательно те же коэффициенты фильтров, что использовались при построении самой Тогда

Поскольку представляют собой сдвинутые копии мы можем построить соответствующие ортонормированные базисы для каждого пространства а их объединение снова будет базисом для Определим теперь

Множество образует ортонормированный базис в Поскольку получены расщеплением каждая из имеет лучшую частотную локализацию, чем сама (ценой чего являются большие носители в -пространстве!). Расщепление пространства частот, соответствующего, с одной стороны, с другой стороны, схематически представлено на рисунке 10.7. Заметим, что частота по-прежнему обрабатывается логарифмически, даже для .

По построению Следовательно, как показано на рисунке 10.8,

Рис. 10.8. Графики с низкочастотным фильтром определенным в § 6.4. Штрихованная линия представляет график

который также показывает, что самом деле «расщепляют» на две части, соответствующие ее «низкочастотной и высокочастотной половинам».

Вычисление коэффициентов функции по к снова можно провести с помощью схемы субполосной фильтрации, в которую добавлен один дополнительный шаг расщепления на низкие и высокие частоты после «стандартной» высокочастотной фильтрации. Схематично это представлено на рисунке 10.9. Заметим, что схема с показателем сжатия 4, предложенная в конце § 10.2 (полученная из схемы с показателем 2) тоже содержит эти функции (Вейвлетами в этой схеме являются первоначальный вейвлет для показателя 2, и где определены выше.)

При работе с многомерным кратномасштабным анализом, происходящим из тензорного произведения, трюк с расщеплением может применяться избирательно. На рисунке 10.10 показано, как можно, например, используя трюк с расщеплением в двумерном случае, получить

Рис. 10.9. (см. скан) Схематическое представление различных операций фильтрации при работе с «расщепленными» вейвлетами

Рис. 10.10. (см. скан) Локализация на частотной плоскости, полученная при помощи различных двумерных кратномасштабных схем (см. текст)

ортонормированный базис вейвлетов с лучшим угловым разрешением на частотной плоскости, чем «стандартный» базис вейвлетов. Рисунок 10.10а изображает конструкцию из § 10.1 на частотной плоскости: маленький центральный квадрат соответствует (скажем) . Добавляя

к нему два вертикальных прямоугольника, соответствующих Два горизонтальных прямоугольника для и четыре угловых квадрата для приходим к большему квадрату, представляющему Затем структура повторяется и получается квадрат Угловое разрешение на плоскости Фурье в этой схеме не очень хорошее, что видно из рисунке. Следующий рисунок 10.106 показывает, как выглядит подобная двумерная конструкция, если начать с одномерного кратномасштабного анализа с показателем 4, приведенного в конце § 10.2. В этом случае одномерная схема уже имеет три вейвлета, тогда двумерная схема, полученная из произведения, завершается вейвлетами. На рисунке 10.106 представлен один шаг (с показателем 4) шкалы кратных масштабов в сравнении с двумя шагами (с показателем 2), т.е. двумя последовательными операциями на рисунке 10.10а. Центральная часть обеих картинок идентична. Единственным различием между двумя картинками является то, что внешняя часть рисунка 10.10а разбивается на много кусков при переходе к рисунку 10.106, в то время как внутренняя часть остается нетронутой. В терминах леммы о трюке с расщеплением это соответствует «расщеплению одного уровня из двух», как указано выше. Результатом является хорошее угловое разрешение для некоторых вейвлетов (соответствующих внешнему слою на рисунке 10.106) и плохое для других (соответствующих прямоугольникам, расположенным ближе к центру на рисунке 10.106).

Рисунок 10.10b снова представляет ту же картинку с двумя уровнями кратномасштабного анализа с показателем сжатия 2, при этом тензорное произведение берется для двух вейвлетов с шириной диапазона в октавы, построенных в этом пункте, вместо вейвлета с шириной диапазона в одну октаву. Масштабирующая функция остается той же, но вейвлетов теперь будет (в отличие от 3 на рисунке 10.10а и 15 на рисунке 10.10б). Рисунок можно получить из рисунка 10.10а расщеплением каждого слоя (внутреннего и внешнего) на половинки, разрезая их по вертикали и горизонтали. Этим улучшается угловое разрешение в квадратах по углам (соответствующих на рисунке 10.10а), но ничего не меняется для углового разрешения прямоугольников (соответствующих или на рисунке 2а), которые расщеплены лучше на внешнем слое рисунка 10.106. Лучшее угловое разрешение достигается при отказе от структуры с тензорным

произведением простым разрезанием каждого из пространств с рисунка 10.10а по вертикали и/или по горизонтали с применением «трюка с расщеплением» по х и/или по у до тех пор, пока желаемое разрешение не будет получено. Пример приведен на рисунке 10.10г. Он по-прежнему соответствует ортонормированному базису и быстрому алгоритму разбиения и восстановления функции, хотя и в несколько более сложном виде. Если же требуется еще лучшее угловое разрешение, можно повторять трюк с расщеплением там, где требуется, и столько раз, сколько требуется.