10.7. Базисы вейвлетов на интервале

Все одномерные конструкции вейвлетов, которые мы обсудили прежде, приводят к базисам для Во многих приложениях интерес представляет лишь часть вещественной оси: вычисления в численном анализе обычно проводятся на интервале, изображения сосредоточены в прямоугольниках, многие системы анализа звука делят его на части. Во всех этих случаях используется разложение функций определенных на интервале, скажем, [0, 1]. Конечно, можно решиться на применение обычных базисов вейвлетов для анализа полагая функцию равной нулю вне [0, 1], но это порождает искусственные «скачки» на краях, отраженные в значениях коэффициентов вейвлетов. Кроме того, это не эффективно с точки зрения вычислений. Таким образом, полезными были бы вейвлеты, приспособленные к «жизни на интервале».

Одним из способов достижения этого является использование периодизованных вейвлетов, описанных в § 9.3. Это эффективно при проведении вычислений, однако их использование означает анализ периодизованной функции определенной как обозначает наибольшее целое, не превышающее х) с помощью обычных (непериодизованных) вейвлетов. И хотя уже периодична, мы снова получаем «скачок» на границах 0, 1, что проявится в коэффициентах вейвлетов при очень мелких масштабах возле 0 и 1.

Существует другое решение, в котором нет такого неудобства, предложенное Мейером в [143] и основывающееся на ортонормированных базисах вейвлетов с компактными носителями. В этой конструкции вейвлеты с носителем, содержащимся в [0, 1], не включающем О или 1, остаются такими, какие они есть, но это семейство дополняется на краях специально приспособленными функциями. Для иллюстрации того, как работает эта идея, возьмем луч вместо интервала. Это упрощение позволит нам работать лишь с одной границей и игнорировать изменения, внесенные для крупных масштабов, где необходимо работать с обеими границами [0, 1]. Определим

Пространство также можно рассматривать как пространство всех функций из ограниченных на Если мы предположим, что первоначальная масштабирующая функция имеет носитель то если к Тогда мы рассматриваем лишь для которых Все они, за исключением функций, не подвергаются процедуре ограничения если к Следовательно, эти функции по-прежнему ортонормированы. функций не зависят друг от друга и от к 0. Теперь определим как ортогональное дополнение до V. Если для удобства мы сдвинем так, чтобы ее носитель тоже лежал в то (ограничение на очевидно, принадлежат если к поскольку они ортогональны всем и лежат в - Что известно о для которых (Если к еще меньше, к то

Оказывается (см. Мейер [143]), что , лежат в т.е. они ортогональны Остальные дают вклад в На самом деле мы получаем, что семейство

является (неортогональным) базисом для Для ортонормализации этого базиса проводятся следующие шаги:

(1) Ортонормализуются рук, Полученные функции автоматически ортогональны к 0, а вместе они обеспечивают ортогональный базис для Если мы определим

то к является ортонормированным базисом для при любом

(2) Проектируем на определяя

(3) Ортонормируем Полученные вместе с к 0, обеспечивают ортонормированный базис для Мы снова можем определить

тогда будет ортонормированным базисом для Объединение всех этих базисов пробегает все значения из дает базис для

Полученные базисы являются не только ортонормированными базисами для но обеспечивают также и безусловные базисы для пространств Гёльдера, определенных на луче, т. е. даже со свойствами регулярности в 0 они обходятся «правильно», и т. д. (доказательства можно посмотреть у Мейера в [143]). Чтобы все это применить на практике, необходимо дополнительно вычислить коэффициенты фильтра на границах, соответствующие расширению в терминах . Это можно вычислить из первоначальных

таблицы приведены Коэном, Добеши и Виалом в [42], в этой же работе также помещена альтернатива конструкции Мейера, использующая несколько дополнительных функций на краях (всего вместо ), в которой, по-прежнему, свойства регулярности трактуются правильно, даже на краях.

И еще одно, последнее замечание относительно базисов вейвлетов на интервале. В анализе изображений обычным приемом при рассмотрении краевых эффектов является продолжение изображения за границу с помощью отражения: такое продолжение уничтожает разрывность, возникающую после периодизации или продолжения нулем (хотя производная по-прежнему будет испытывать разрыв). Хорошо известно, что это означает минимизацию краевых эффектов и отсутствие необходимости вводить дополнительные коэффициенты (при работе с границами) при условии, что используются симметричные фильтры. С использованием данного трюка базисы биортогональных вейвлетов на [0, 1] можно получить, затратив гораздо меньше усилий, чем это было у Мейера в [143] или Коэна, Добеши и Виала в [42] при получении базиса ортонормированных вейвлетов на интервале.

Если — функция, определенная на М, то мы можем определить функцию на [0, 1], «сгибая» ее график в 0 и 1. Первый перегиб в 0 означает замену на Перегибая назад два хвоста (один — от первоначальной другой — от перегиба над отрицательной частью), выходящие за 1, приходим к Продолжая перегибать описанным образом, в конце концов мы получим

Для дальнейшего удобства заметим, что

Теперь возьмем два вейвлета которые образуют базисы биортогональных вейвлетов в и соответствующие масштабирующие функции их конструкция приведена в § 8.3. Предположим также, что — симметричны относительно и что антисимметричны относительно

. (Примеры приводились в § 8.3.) Применим технику «сгибания» к

определяются аналогично. Свое внимание ограничим лишь или где , для которых (10.7.2) можно переписать так:

Определим также Поскольку мы находим

Очевидно, к для так что нам нужно лишь рассмотреть значения Более того, к? Это означает, что мы можем ограничиться лишь Похожие рассуждения показывают, что нужно рассмотреть лишь к для Примечательно, что , где все еще биортогональны на [0, 1]. Для доказательства этого используем (10.7.1):

Помимо прочего, эта биортогональность подразумевает, что все независимы и обеспечивают базис в же верно для ) Еще мы можем определить пространства как Очевидно, натянуто на Более того, вычислениями, аналогичными (10.7.4), показываем, что

доказывая, что независимы. Отсюда следует, что «согнутые» структуры наследуют все свойства (вложение пространств, биортогональность, свойства базиса, своих несогнутых оригиналов. Коэффициенты фильтра, соответствующие этим согнутым биортогональным базисам, получены подобным образом, сгибанием на краях, соответствующих Если имеют компактные носители, то будут задействованы лишь те коэффициенты фильтров, что находятся в окрестности краев. Примеры приведены Коэном, Добеши, Виалом в [42]. Поскольку анализ на [0, 1] с помощью таких согнутых биортогональных вейвлетов означает продолжение на всю ось с помощью отражений и анализ этого продолжения с использованием первоначальных биортогональных вейвлетов, мы не можем, однако, надеяться, что характеристика пространств Гёльдера на [0, 1] с помощью этой техники будет превосходить показатель Гёльдера, равный 1. Это является прогрессом по сравнению с тем, что получается с помощью периодизованных вейвлетов, но оказывается менее эффективным, если сравнивать с ортонормированными базисами вейвлетов на [0, 1]. Детали можно найти у Коэна, Добеши, Виала в [42].