1.2. Вейвлет-преобразование: аналогии и отличия в сравнении с оконным преобразованием Фурье

Вейвлет-преобразование дает сходное частотно-временное описание с некоторыми существенными отличиями. Формулы, аналогичные (1.1.1), (1.1.2), выглядят следующим образом:

и

В обоих случаях мы предполагаем, что удовлетворяет условию

(в главах 2 и 3 будут даны разъяснения).

Формула (1.2.2) снова получается из (1.2.1) в предположении, что принимают только дискретные значения: пробегают значения из величины — фиксированные. Одно сходство вейвлет-преобразования и преобразования Фурье очевидно: обе формулы (1.1.1) и (1.2.1) представляют скалярное произведение и семейства функций, снабженного двумя индексами, а в (1.2.1). Функции называются «вейвлетами», функцию иногда называют «материнским вейвлетом». (Заметим, что и неявно подразумеваются вещественными, хотя это ни в какой степени не является существенным. Если они не являются таковыми, следует взять комплексное сопряжение в (1.1.1), (1.2.1)). Обычно в качестве берут вторую производную функции Гаусса, которую часто

Рис. 1.2. Типичные очертания (а) функций оконного преобразования Фурье вейвлетов Функции можно рассматривать как сдвиги функции-оболочки «заполненной» высокочастотными осцилляциями; являются копиями одной и той же функции, сдвинутой и сжатой или растянутой

называют мексиканской шляпой, поскольку она напоминает мексиканскую шляпу в разрезе. Эта функция хорошо локализована во времени и в пространстве и удовлетворяет (1.2.3). Когда а меняет свои значения, меняет свою частоту: большие значения масштабирующего параметра соответствуют малым частотам или большому масштабу малые параметры соответствуют высоким частотам или очень мелкому масштабу Изменение параметра позволяет нам сместить центр временной локализации: каждая локализована около Следовательно, (1.2.1), как и (1.1.1),

дает частотно-временное описание Различие между вейвлет-преоб-разованием и оконным преобразованием Фурье состоит в форме анализирующих функций которые показаны на рисунке 1.2. Все функции состоят из одной и той же функции-оболочки сдвинутой к подходящему расположению по времени и «заполненной» высокочастотными осцилляциями. Все зависимости от значения имеют одну ширину. Наоборот, имеет ширину во времени, соответствующую частоте: высокочастотные являются узкими, в то время как низкочастотные намного шире. В результате, вейвлет-преобразование дает лучшую, чем оконное преобразование Фурье, возможность рассмотреть высокочастотные явления с коротким сроком жизни такие, как, например, сингулярности в функциях или интегральных ядрах. Это проиллюстрировано рисунком 1.3, на котором показаны оконное преобразование Фурье и вейвлет-преобразование одного и того же сигнала заданного формулой

На практике этот сигнал задается не таким непрерывным выражением, а отсчетами (samples), и добавка - функции аппроксимируется добавлением постоянной только в один отсчет. Тогда в этой дискретной версии мы имеем

Например, на рисунке (т. е. мы имеем 8000 отсчетов в секунду), (что соответствует 4 миллисекундам между двумя пульсациями). Три спектрограммы (графики модуля оконного преобразования Фурье) на рисунке 1.36 получены с использованием обычных окон Хемминга с шириной 12.8, 6.4, 3.2 мсек, соответственно. (На этих графиках время меняется по горизонтали, частота — по вертикали; уровень насыщенности серого цвета указывает на значение черным цветом отмечается наивысшее значение). По мере возрастания ширины окна разрешение двух чистых тонов становится лучше, в то время как различить две пульсации становится все труднее или даже невозможно. Рисунок 1.3 в показывает модули вейвлет-преобразований полученных с помощью (комплексного) вейвлета Морле . (Чтобы облегчить проведение сравнения со спектрограммой, была

(кликните для просмотра скана)

выбрана линейная частотная ось, хотя обычно для вейвлет-преобразований используют логарифмическую частотную ось). Уже видно, что два импульса различаются лучше, чем на рисунке с окном Хемминга в 3.2 мсек (правый график на рисунке 1.36), в то время как разрешение по частоте для двух чистых тонов сравнимо с полученным с помощью окна Хемминга в 6.4 мсек (средний график на рисунке 1.36). Это сравнение частотной разрешимости более ясно проиллюстрировано рисунком 1.3 г: здесь сравниваются части спектрограммы (т. е. графика с фиксированным и модули вейвлет-преобразования с фиксированным ). Динамический ранг (отношение между максимумом и «впадиной» между двумя пиками) вейвлет-преобразования сравним с тем, что получен на спектрограмме с окном 6.4 мсек.

На самом деле наше ухо использует вейвлет-преобразование, когда анализирует звук, по крайней мере, на первой стадии. Колебания амплитуды давления передаются от барабанных перепонок на мембрану и далее распространяются по всей длине завитка внутреннего уха. Завиток скручен в виде спирали во внутреннем ухе; представим, что завиток распрямлен в некоторый сегмент, вместе с ним распрямлена и мембрана. Теперь мы можем ввести координатную ось у вдоль этого сегмента. Эксперименты и численное моделирование показывают, что волны давления, которые являются чистыми тонами вызывают ответное возбуждение мембраны, которая имеет такую же частоту во времени, но оболочку по у равную . В первом приближении, которое оказывается достаточно хорошим для частот свыше 500 Гц, зависимость от соответствует сдвигу на существует одна функция такая, что очень близко . В самом общем случае, если то отклик дается соответствующей суперпозицией «элементарных откликов» (response functions)

Если мы введем замену параметризации, определив

то получим

что с точностью до нормировки является вейвлет-преобразованием. Параметр сжатия возникает естественным образом вследствие логарифмического сдвига в Появление вейвлет-преобразования на первой стадии нашего собственного биологического акустического анализа дает основание предполагать, что методы акустического анализа, основанные на вейвлетах, имеют лучшие шансы привести, например, к схемам сжатия, с искажениями, невоспринимаемыми нашим ухом, чем другие методы.