4.2. Ортонормированные базисы

4.2.1. Ортонормированные базисы вейвлетов

Заключение из последнего параграфа кажется весьма отрицательным для вейвлетов: четкого понятия частотно-временной плотности нет. В этом параграфе мы сделаем акцент на гораздо более позитивный аспект: существование ортонормированных базисов вейвлетов с хорошей частотно-временной локализацией.

Исторически первым ортонормированным базисом вейвлетов был базис Хаара, построенный задолго до того, как сформировался термин «вейвлет». Как мы уже видели в главе 1, базисным вейвлетом является

В § 1.6 мы показали, что образуют ортонормированный базис в Функция Хаара не является

непрерывной, ее преобразование Фурье убывает лишь как соответствуя плохой частотной локализации. Тогда может показаться, что этот базис не лучше, чем оконный базис Фурье

где

который тоже является ортонормированным базисом в Однако базис Хаара уже имеет преимущество, которого нет у данного оконного базиса Фурье. Оказывается, например, что базис Хаара является безусловным базисом в , а оконный базис Фурье (4.2.2) не является таковым, если К этому мы вернемся в главе 9. Для анализа более гладких функций разрывный базис Хаара подходит плохо.

Базис Литлвуда-Пэли представляет собой ортонормированный базис вейвлетов с частотно-временными свойствами, противоположными свойствам базиса Хаара. Для него

или

Легко проверить, что на самом деле образуют ортонормированный базис в Имеем Для всех то, и

Ввиду предложения 3.2.1 отсюда получаем, что то, ортонормированный базис в Функция убывает так же плохо при как и ортонормированный оконный базис Фурье, использованный в разложении Шеннона (2.1.1); оба имеют замечательную частотную локализацию, поскольку их преобразования Фурье финитны.

За последние десять лет было построено несколько ортонормированных базисов вейвлетов для обладающих лучшими качествами как базиса Хаара, так и базиса Литлвуда-Пэли: эти новые конструкции имеют замечательные свойства локализации и по времени, и по частоте. Первая из конструкций принадлежит Стромбергу [169]. Его вейвлеты имеют экспоненциальное убывание и принадлежат (k — произвольное, но конечное). К сожалению, его конструкция мало замечена к настоящему времени. Следующим примером является базис Мейера, упомянутый выше в котором имеет компактный носитель (значит, и принадлежит (к — произвольное, может быть Не зная в то время о конструкции Стромберга, на самом деле Мейер обнаружил этот базис, пытаясь доказать эквивалент теоремы 4.1.1 для вейвлетов, который бы показал невозможность существования этих замечательных базисов вейвлетов! Вскоре после этого Чамичан [171] сконструировал первый пример того, что мы будем называть биортогональными базисами вейвлетов (см. § 8.3). В следующем году Батл [17] и Лемарье [124], использовав очень разные методы, получили идентичные семейства ортонормированных базисов вейвлетов с экспоненциально убывающей (k — произвольное, но конечное). (Батл был вдохновлен техникой из квантовой теории поля, Лемарье использовал некоторые вычисления Чамичана.) Имея похожие свойства, вейвлеты Батла-Лемарье все-таки отличаются от вейвлетов Стромберга. Осенью 1986 Малла и Мейер развили понятие «кратномасштабный анализ», дав удовлетворительное объяснение всем этим конструкциям и обеспечив инструмент для построения других базисов. Оставим, однако,

это для последующих глав. Прежде чем перейти к кратномасштабному анализу, сделаем обзор конструкции базиса вейвлетов Мейера.

Конструкция схожа с жестким фреймом из § 3.5.5 А. Этот фрейм имеет избыточность 2 (векторов вдвое «больше»). Чтобы избавиться от этой избыточности, в конструкции Мейера скомбинированы положительные и отрицательные частоты (пары функций сведены к одной функции). Чтобы получить ортонормированность, необходимо умелое манипулирование с фазовыми множителями. Более точно определим так

где — функция из или удовлетворяющая (3.3.25), т. е.

с дополнительным свойством

имеет ту же гладкость, что и На рисунке 4.2 показан вид типичных и и Для доказательства того, что образуют ортонормированный базис, мы должны лишь проверить, что

Рис. 4.2. Функции и заданные формулами (4.2.3) - (4.2.5)

а функции образуют жесткий фрейм с постоянной фрейма 1 (см. предложение 3.2.1).

Имеем

Но

откуда

Чтобы оценить используем оценки Чамичана (3.3.21), (3.3.22). Вначале докажем, что для всех к т. е. для всех

Ввиду носителя ненулевой вклад в (4.2.6) возможен только лишь, если что влечет Парами , удовлетворяющими этому условию, являются лишь ,

. Рассмотрим рассуждения аналогичные). Тогда левая часть (4.2.6) превращается в

Легко проверить, что оба члена из (4.2.7) равны нулю, если лежит вне интервала значений С из этого интервала где и мы имеем

Это доказывает равенство (4.2.6). С другой стороны, легко проверить, что для всех . Тогда из (3.3.21), (3.3.22) следует, что функции образуют жесткий фрейм с границей 1. (Аналогичными вычислениями можно доказать, что (см. конец § 4.1) образует базис Рисса для если близко к I.

Такое доказательство того, что вейвлеты Мейера образуют ортонормированный базис, опирается на квазичудесные сокращения, использующие взаимодействие фазы и специального свойства (4.2.5) функции и. Используя кратномасштабный анализ, мы будем способны объяснить большинство этих чудес (см. следующую главу). На рисунке 4.3 помещен график где для выбрана из . Заметим, что даже если то убывает быстрее любой отрицательной степени, т. е. для всех существует такая что

численно может убывать довольно медленно (т. е. величина для может быть очень велика, что указывает на большое значение из Экспоненциально убывающие вейвлеты Стромберга или Батла-Лемарье имеют более быстрое численное убывание за счет ухудшения регулярности.

Рис. 4.3. Вейвлет Мейера для

Что касается ортонормированных базисов, по-видимому, здесь вейвлеты подходят больше, чем оконные функции Фурье: существуют конструкции, в которых обе функции имеют быстрое убывание, что полностью противоречит теореме 4.1.1, которая не позволяет хорошо убывать одновременно и если — оконная функция, приводящая к ортонормированному базису. Если бы я писала эту главу три года назад, возможно, на этом бы я остановилась. Но ситуация не так проста: за последние несколько лет оконное преобразование Фурье преподнесло несколько сюрпризов, которые мы кратко обсудим в оставшейся части этой главы.