5.3.2. Использование масштабирующей функции в качестве отправной точки

Как описано в § 5.1, кратномасштабный анализ состоит из цепочки пространств и специальной функции для которых выполняются (5.1.1) - (5.1.6) (причем (5.1.6) может быть ослаблено, как в § 5.3.1). Конструкцию также можно начать с выбора подходящей масштабирующей функции (scaling function) можно построить из а затем образовать и все другие Эта стратегия воплощается во многих примерах. Более точно, мы выбираем чтобы выполнялось соотношение

где

Затем определяем как замкнутые подпространства, натянутые на к где Условия (5.3.4) и (5.3.5) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы являлись базисом Рисса для каждого удовлетворяли «свойству цепочки» (5.1.1). Следовательно, удовлетворяет (5.1.1), (5.1.4), (5.1.5) и (5.1.6). Чтобы удостовериться, что мы имеем кратномасштабный анализ, нужно проверить, выполняются ли (5.1.2) и (5.1.3). Это является целью двух следующих предложений.

Предложение 5.3.1. Допустим, что удовлетворяет (5.3.5). Определим Тогда

Доказательство.

1. В силу образуют базис Рисса для . В частности, они образуют фрейм для т. е. существуют такие что для всех

(см. предварительные сведения). являются образами под действием унитарного отображения следовательно, для всех

с теми же А, В, что и в (5.3.6).

2. Теперь возьмем Пусть будет произвольно малым. Существует такая непрерывная с компактным носителем, что е. Если обозначить через ортогональный проектор на то

откуда

здесь предполагается большим настолько, чтобы выполнялось

4. Мы можем переписать (5.3.9) в виде

где — характеристическая функция т.е. ли если Для мы, очевидно, имеем при Тогда из теоремы об интегрируемости предела следует, что (5.3.10) стремится к 0 при . В частности, существует такое что Совмещая это и (5.3.8), находим, что . Поскольку изначально было произвольно малым, Этим доказывается, что (5.1.3) выполнено. Для (5.1.2) мы вводим дополнительное предположение, что ограничена и .

Предложение 5.3.2. Допустим, что удовлетворяет (5.3.5) и, дополнительно, ограничена для всех и непрерывна в окрестности причем . Пусть определены выше.

Тогда

Доказательство.

1. Мы снова используем (5.3.7), где А, В не зависят от

2. Возьмем . Зафиксируем произвольно малое

Существует функция из с компактным носителем такая, что ли Следовательно, для всех выполняется

С другой стороны, в силу (5.3.7),

3. С помощью обычных манипуляций (см. главу 3) мы получаем

где

Так как из мы можем найти такую С, что

Следовательно,

4. Собирая (5.3.12), (5.3.13), (5.3.14) и (5.3.15) вместе, находим

Так как равномерно ограничена и непрерывна в левая часть из (5.3.16) сходится к (по теореме об интегрируемости предела) при Следовательно,

здесь С не зависит от е. Неравенство (5.3.17) в сочетании с дает

Величина выбрана произвольно малой, значит,

Замечание.

1. Если на наложены несколько более сильные условия, то предложения 5.3.1 и 5.3.2 могут быть доказаны при помощи простых оценок. В работе Мичелли [145], например, эти же заключения выведены при условии, что — непрерывная и удовлетворяет неравенству что влечет и

2. Дополнительное условие непрерывности в 0 из предложения 5.3.2 не является необходимым. Ниже приводим пример кратномасштабного анализа, для которого масштабирующая функция не является абсолютно интегрируемой. Пусть являются, соответственно, пространствами кратномасштабного анализа, масштабирующей функцией и вейвлетом для базиса вейвлетов Мейера, при этом (см. § 5.2). Пусть Н является преобразованием Гильберта, если если Определим Так как преобразование Гильберта является унитарным и перестановочно с масштабированием и сдвигами (по по-прежнему образуют кратномасштабный анализ, а функции формируют ортонормированный базис в Но не является непрерывной в 0. Поскольку функция принадлежит и имеет компактный носитель, то сама принадлежит и быстро убывает. Таким образом, это является примером очень гладкого хорошо убывающего вейвлета, порожденного кратномасштабным анализом с плохо убывающей Заметим, что удовлетворяют (5.1.17) с одинаковой то. Это показывает, что из (5.3.4) или, эквивалентно, то не определяют единственным образом и что убывание при не гарантирует убывания

3. Если ограничена и непрерывна в 0, то условие необходимо в предложении 5.3.2. Это можно рассматривать следующим образом. Возьмем

как и в (5.3.13). Поскольку — непрерывна, первый член стремится к при по теореме об интегрируемости предела. Второй член может быть ограничен в точности, как и в (5.3.15), так что он стремится к нулю при Следовательно,

отсюда .

4. Можно использовать рассуждения из пунктов 3 и 4 для доказательства оценки . В самом деле, имеем

где можно ограничить величиной для хороших Другой член стремится к (см. 4). Вместе с замечанием 3 это влечет . В частности, если к ортонормированы, то и

5. Условия непрерывна в подразумевают определенные ограничения и на Уравнение (5.3.4) может быть переписано так:

где . В частности, что дает (так как или

Более того, (5.3.18) подразумевает, что то — непрерывна за исключением, может быть, нулей . В частности, то непрерывна в Если то непрерывность влечет и непрерывность так что (определенная в § 5.3.1) также является непрерывной. Следовательно, удовлетворяет равенству Поскольку то Это дает

Это, вместе с влечет что согласуется с условием допустимости для Заметим также, что эквивалентно условию Мичелли из [145] если - непрерывная.

Все это предполагает следующую стратегию при построении новых ортонормированных базисов вейвлетов:

• Выбираем так, чтобы

(1) имели разумное убывание,

(2) выполнялись (5.3.4) и (5.3.5),

(тогда в силу предложений 5.3.1, 5.3.2 образуют кратномасштабный анализ).

• Если необходимо, выполняем «ортонормировочный трюк»

• Наконец, где или, эквивалентно,

где