9.2. Характеристика функциональных пространств с помощью вейвлетов

Поскольку образуют безусловный базис в функции характеризуются с использованием лишь абсолютных значений коэффициентов в разложении по вейвлетам. Другими словами,

для данной мы можем определить, будет ли лишь взглянув на Дадим точную формулировку критерия, снова для

Доказательство того, что это и в самом деле эквивалентные характеристики, есть у Мейера в [142].

Точно так же вейвлеты обеспечивают безусловные базисы и характеристики для многих других функциональных пространств. Некоторые из них, без доказательства, мы помещаем здесь.

Пространства Соболева . Пространства Соболева определены следующим образом:

С помощью вейвлетов мы можем характеризовать их так:

Пространства Гельдера . Для мы определим

Для мы определим

Для целых значений подходящими пространствами в этой цепочке будут не традиционные -пространства (состоящие из функций,

раз непрерывно дифференцируемых) и даже не пространства Липшица, а несколько более широкие пространства, определенные формулой

занимающее место и

Для такой цепочки пространств Гёльдера имеется следующая характеристика:

Локально интегрируемая лежит в ( — не целое) или ( — целое) тогда и только тогда, когда существует такая постоянная что

Здесь неявно предполагается, что где

Доказательства и другие примеры приводит Мейер в [142]. Среди помещенных здесь примеров лишь пространства Соболева можно полностью характеризовать (с необходимыми и достаточными условиями) с помощью преобразования Фурье.

Условия (9.2.1) характеризуют глобальную регулярность. Локальную регулярность также можно изучить с помощью коэффициентов в ортонормированном базисе вейвлетов. Наиболее общая теорема, принадлежащая Джаффару [100], такова. Для простоты предполагаем наличие компактного носителя и принадлежность для (для более общих формулировка слегка отличается).

Теорема 9.2.1. Если непрерывна по Гёльдеру в точке с показателем т. е.

то

для Обратно, если выполняется (9.2.3) и известно, что из для некоторого то

Здесь мы не имеем строгой эквивалентности между (9.2.3) и (9.2.2). На самом деле оценка (9.2.4) оптимальна, так же, как и условие если лишь непрерывна или если опущен логарифм в (9.2.4), то можно найти контрпример (Джаффар [100]). Неэквивалентность (9.2.2) и (9.2.3) может вызываться существованием менее регулярных точек вблизи или чрезмерными осцилляциями около (см., например, работу Малла и Хванга [137]). Если мы слегка видоизменим условие (9.2.3), то эти проблемы исчезают. Более точно (снова для имеющих компактный носитель) мы имеем следующее.

Теорема 9.2.2. Для определим

Если для некоторого и некоторого

то — непрерывна по Гёльдеру в с показателем а.

Доказательство.

1. Выберем любое х из Поскольку либо , либо влечет к , мы имеем

Следовательно,

2. Функция имеет компактный носитель. Тогда число к, для которого или ограничено равномерно по величиной Следовательно,

Из того, что ограничена и принадлежит следует оценка

3. Теперь выберем , чтобы выполнялись неравенства Тогда

Замечание.

1. Конечно, похожие теоремы можно доказать для С-пространств, где

2. Если (или более общий случай а то самый последний шаг доказательства больше не работает, потому что второй ряд не сходится. Можно устранить эту расходимость, использовав для но сумма по от до 0 по-прежнему приведет к члену в

Вот почему нужно быть более осмотрительным с целыми а и почему используется класс Зигмунда.

3. Теоремы 9.2.1 и 9.2.2 верны также и для с бесконечным носителем, если имеют хорошее убывание на бесконечности (Джаффар [100]). Компактность носителя облегчает получение оценок. П

Локальная регулярность, таким образом, может изучаться с помощью вейвлет-коэффициентов. Однако следует остерегаться того, что на практике для надежного определения а из (9.2.5) могут понадобиться очень большие значения Это иллюстрируется следующим примером. Возьмем

Рис. 9.1. Функция из за исключением и 1, где, соответственно, и непрерывны

эта функция изображена на рисунке 9.1 (для ). Она имеет показатель Гёльдера 0, 1, 2 в соответственно, и принадлежит в остальных точках. Тогда для каждой из трех точек а или можно вычислить и изобразить Если то эти графики образуют прямые линии с наклоном 1/2, 3/2 и 5/2 с достаточно хорошей точностью, приводящей к хорошим оценкам на а. Разложение по ортонормированным вейвлетам не инвариантно по отношению к сдвигам, и диадические рациональные точки, в особенности 0, играют очень специальную роль по отношению к диадической сетке центров локализации нашего вейвлет-базиса. Выбор различных значений а иллюстрирует это: для мы имеем очень разные по-прежнему, однако, образующие приемлемую линию на графиках с хорошей оценкой для а; для иррациональных а линии становятся менее впечатляющими, а определение а, соответственно, менее точным. Все это отражено на рисунке 9.2, изображающем графики как функции от для и трех вариантов (мы вычитаем 11/8, чтобы получить а близким нулю для удобства программирования). Чтобы получить рисунок, вычислялись величины Для подходящих значений к и в пределах от 3 до 10. (Заметим, что для самой это означает представление с разрешением для получения подходящей точности для интегралов.) Для восемь точек прекрасно выстраиваются в линию, а оценка для получена с точностью выше, чем 1.5% для всех трех локализаций. Для точки при более грубом разрешении не так хорошо

(кликните для просмотра скана)

образуют линию, но если оцениваются лишь по четырем лучшим точкам разрешения, то оценки по-прежнему остаются в пределах 2%. Для иррационального нет выравнивания в точке разрыва в (возможно даже необходимы более мелкие масштабы), и оценка для в а, где — липшициева, отличается примерно на 13% (достаточно интересно то, что убрав точку масштаба 10, можно было бы получить лучшую оценку); в а где — липшициева, оценка находится в пределах 2.5%. Это показывает, что для определения локальной регулярности функции более полезно использовать очень избыточные семейства вейвлетов, где эта неинвариантность по сдвигам менее заметна (дискретный случай) или отсутствует (непрерывный случай). (См. работы Холшнайдера и Чамичана [97], Малла и Хванга [137].) Другой причиной использования очень избыточных семейств вейвлетов при характеристике локальной регулярности является то, что тогда лишь число нулевых моментов ограничивает максимальную регулярность, которую можно характеризовать; регулярность не играет роли (см. § 2.9). Если используются ортонормированные базисы, то мы с необходимостью ограничены регулярностью самой что иллюстрируется выбором При таком выборе мы на самом деле имеем для всех и всех к. Следовательно, имея ортонормированный базис, мы можем характеризовать регулярность лишь до если