Примечания

1. Функция с компактным носителем автоматически принадлежит Тогда из замечания 5 в конце § 5.3 следует, что т. е. то имеет в точке нуль кратности по крайней мере 1.

2. В работе Добеши [53] решения Р для (6.1.7) находятся с использованием двух лемм из комбинаторики. На данный, более естественный подход с использованием теоремы Безу мне указал И. Мейер.

3. Эта формула для получена Херманом в [96], где были построены максимально плоские фильтры (однако без каких-либо хороших схем восстановления).

4. Сходимость также выполняется и для бесконечного числа ненулевых если они убывают достаточно быстро, так что для некоторого . В этом случае приводит к подобной оценке.

5. Здесь мы используем классическую формулу

Используя соотношение , легко написать

что стремится к при приписывает эту формулу Виету и использует ее как отправную точку для восхитительного трактата по статистической независимости.

6. Это верно в общем, если то удовлетворяет (6.1.1), а определенная с помощью (6.2.2), порождает неортонормированное семейство сдвигов тогда обязательно выполняется для некоторого . (См. Коэн [36].)

7. Условие может выглядеть сильнее, чем но т.к. образуют жесткий фрейм с постоянной, равной 1, эти условия по предложению 3.2.1 эквивалентны.

8. Поскольку является конечной линейной комбинацией сдвигов быстрые алгоритмы для изображений также ведут к быстрым изображениям При изложении этой части мы ограничивались лишь рассмотрением

9. Если не непрерывна, то по-прежнему сходятся к (см. § 6.3). Более того, они сходятся к поточечно в каждой точке, где непрерывна.

10. Выбор использовался в доказательстве предложения 3.3 из работы Добеши [53], так как в отличие от являются абсолютно интегрируемыми. На самом деле, в работе Добеши [53] вначале доказывается сходимость привлечением некоторых технических условий), а затем из этой сходимости выводится ортонормированность

11. Заметим, что существует много других процедур получения графиков вейвлетов. Вместо уточняющего каскада можно начать с а затем вычислить непосредственно из (На самом деле, если не является непрерывной, каскадный алгоритм может расходиться, в то время как такое

непосредственное использование масштабирующего уравнения с подходящим выбором по-прежнему сходится. Я хотела поблагодарить Вима Свелденса за это замечание.) Такое непосредственное вычисление можно провести с помощью древовидной процедуры. В рамках динамических систем Бергер и Ванг развили другой подход, который приводит к более быстрым графикам без использования дерева (см. работу Бергера [22]). Свойство «увеличительного стекла» при этом теряется.

12. Многие эксперты по уточняющим схемам находят многомерный случай гораздо более интересным.

13. Это не является самым общим случаем! Мы лишь предположили, что для таких существует непрерывный предел. Это влечет

14. Например, в этом месте была бы «разумной» любая с компактным носителем, имеющая ограниченную вариацию.

15. Следующая вытянутая функция Хаара показывает, что могут не быть независимыми. Возьмем все остальные Тогда (с точностью до нормировки) решением (6.5.23) будет для в противном случае. Тогда -последовательность А, определенная с помощью приводит к в.

16. Это не совпадение. Если зафиксировать длину симметричного фильтра то выбор означает делимость с помощью с наибольшей из возможных кратностей, совместимых с его длиной и ограничением . С другой стороны, уточняющие схемы Лагранжа порядка являются интерполяционными схемами с самой короткой длиной, точно воспроизводящими все полиномы порядка (или ниже) по их целым значениям. В терминах фильтра это означает, что

и

(см. Каваретта, Дамен, Мичелли [29] или главу 8). Два требования вместе означают, что имеет нуль порядка делится на Следовательно, делится на Отсюда