1.3. Различные типы вейвлет-преобразований

Существует много разных типов вейвлет-преобразований, все они начинаются с формул (1.2.1), (1.2.2). В этих лекциях мы будем различать

А. непрерывное вейвлет-преобразование (1.2.1) и

Б. дискретное вейвлет-преобразование (1.2.2).

Дискретные вейвлет-преобразования мы будем далее подразделять на

Б1. системы фреймов (frames) и

Б2. ортонормированные (и другие) базисы вейвлетов.

1.3.1. Непрерывные вейвлет-преобразования

Здесь параметры сдвига и сжатия непрерывно меняются вдоль с ограничением а Вейвлет-преобразование задается формулой (1.2.1), любая функция может быть восстановлена с помощью формулы обращения («resolution of identity»)

где обозначает скалярное произведение в Постоянная зависит только от и дается формулой

мы предполагаем, что (в противном случае (1.3.1) не имеет смысла). Если — функция из (как раз такие случаи

представляют практический интерес), то является непрерывным, тогда может иметь конечное значение только если Доказательство представления (1.3.1) будет дано в главе 2. (Заметим, что мы неявно предположили, что вещественная функция, для комплексной нам следует использовать вместо в (1.2.1). В некоторых приложениях использование комплексных является полезным.)

Формула (1.3.1) может быть рассмотрена с двух точек зрения: (1) как способ восстановления если известно ее вейвлет-преобразование или (2) как способ записи в виде суперпозиции вейвлетов коэффициенты в этой суперпозиции точно заданы через вейвлет-преобразование . Оба подхода приводят к интересным приложениям.

Соответствие сопоставляет функции одной переменной функцию от двух переменных, значения которой сильно коррелированы (см. главу 2). Такая избыточность представления может быть использована. Прекрасным приложением является понятие «скелетона» сигнала, извлеченное из непрерывного вейвлет-преобразо-вания, применяемое для нелинейной фильтрации (см. Торрезани [172], Дельпра [66]).