2.5. Гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, соответствующее непрерывному вейвлет-преобразованию

Как частный случай (2.4.2) для мы имеем

Другими словами, увеив является изометрией пространство всех комплекснозначных функций на для которых сходится. Оснащенное нормой оно является гильбертовым пространством. Образ образует лишь замкнутое подпространство, а не все Обозначим это подпространство через

Следующие рассуждения показывают, что - г.п.в.я. Для любой мы можем найти такую что Из (2.4.2) следует, что

где

Формула (2.5.1) показывает, что в самом деле есть г.п.в.я., вложенное, как подпространство, в (Отсюда также немедленно следует, что не совпадает со всем пространством поскольку эта формула не могла бы выполняться на всем пространстве

В частных случаях становится гильбертовым пространством аналитических функций. Опять ограничимся рассмотрением функций таких что Эти функции образуют замкнутое подпространство пространства которое мы обозначим через

(это один из представителей семейства пространств Харди). В качестве выберем, например, при при также принадлежит Тогда функции из могут быть записаны так (рассматриваем только , см. (2.4.9)):

где аналитична в верхней полуплоскости Более того, легко проверить, что

Поэтому Твеив можно интерпретировать как изометрию из в пространство Бергмана, состоящее из функций, аналитичных в верхней полуплоскости, интегрируемых с квадратом по мере . С другой стороны, можно доказать, что любая функция из пространства Бергмана связана через вейвлет-преобразование, определенное через эту специальную функцию с некоторой функцией из изометрия является отображением «на» и, таким образом, унитарным. При другом выборе таком как при образ может быть сопоставлен другим пространствам Бергмана, состоящим из функций, аналитичных в верхней полуплоскости.

Поскольку или можно сопоставить некоторое г.п.в.я., не следует удивляться тому, что существуют дискретные семейства точек такие, что полностью определяется значениями и может быть восстановлена по ним. В частности, если можно отождествить с функцией из пространства Бергмана, очевидно, что ее значения на некоторых дискретных семействах точек полностью определяют функцию, поскольку, помимо прочего, она является аналитической. Дела могут обстоять по-другому при восстановлении ее численно устойчивым способом: ситуация не так проста, как в случае с полосой ограниченной ширины, когда существует специальное семейство точек таких, что образуют ортонормированный базис в Такого удобного ортонормированного базиса в наших или нет. В следующей главе мы увидим, как можно поступить с этой проблемой.

Наконец, прежде чем закончить этот пункт, следует заметить, что можно рассматривать формулу (2.4.4) или эквивалентную формулировку в г.п.в.я. как следствие теории представлений интегрируемых с квадратом групп. У меня нет желания останавливаться на этом подробно. Заинтересованному читателю следует справиться в ссылках, помещенных в примечаниях. Фактически, это результат действия операторов определенных формулой

на функцию Все операторы являются унитарными отображениями на и образуют представление -группы:

Это групповое представление неприводимо (т. е. для любой не существует нетривиальной функции ортогональной всем Это эквивалентно высказыванию, что на натянуто все пространство). Верен следующий результат: если — неприводимое унитарное представление в группы Ли с левой инвариантной мерой и если для некоторой из

то существует плотное множество в такое, что свойство (2.5.2) выполняется для любого элемента из Более того, существует (возможно неограниченный) оператор А, корректно определенный в такой, что для всех и всех

где . В случае вейвлетов левой инвариантной мерой является а оператор А задается формулой

Заметим, что (2.5.3) — общая формула обращения!

Впоследствии мы не будем использовать эту групповую структуру, вовлекающую вейвлет-преобразование, главным образом потому, что

в скором времени мы перейдем к вейвлет-семействам с дискретным индексом, а они не соответствуют подгруппам .

В квантовой физике формула (2.5.3) изучалась и была использована для многих различных групп Семейства называются когерентными состояниями, а само название впервые было использовано для групп Вейля-Гейзенберга (см. также следующий пункт), но позднее распространено и на все другие группы (и даже на некоторые родственные конструкции, которые не были порождены группой). Прекрасный обзор и подборку важных работ на эту тему можно найти в работе Клаудера и Скагерстама [111]. Когерентные состояния, связанные с -группами, которые теперь называются вейвлетами, были впервые сконструированы Аслаксеном и Клаудером в [6].