2.4. Непрерывное вейвлет-преобразование

На время ограничимся одномерными вейвлетами. Мы будем всегда предполагать, что а анализирующий вейвлет также удовлетворяет условию допустимости, уже упомянутому в §1.3,

Роль этого условия скоро станет понятной. Если то — непрерывно, и (2.4.1) выполняется, только если или . С другой стороны, если и мы накладываем на несколько более сильное условие чем интегрируемость, а именно, для некоторого то где и (2.4.1) выполнено. Отсюда следует, что в практически важных случаях (2.4.1) эквивалентно требованию (На практике, мы накладываем гораздо более строгие условия убывания, чем те, что использовались в этих рассуждениях.)

Образуем из двухпараметрическое семейство вейвлетов с помощью сдвигов (translations) и сжатий (dilations)

где (сейчас мы используем и отрицательные, и положительные а). Нормировка выбрана так, что для всех Предположим, что Непрерывное вейвлет-преобразование на этом семействе вейвлетов определено так:

Заметим, что

Функция восстанавливается по своему вейвлет-преобразованию с помощью формулы обращения следующим образом.

Предложение 2.4.1. Для любых

Доказательство.

Выражение, заключенное в первую пару скобок, представляет собой преобразование Фурье умноженное на затем следует выражение, которое можно рассматривать как комплексное сопряжение преобразования Фурье умноженное на Из унитарности пребразования Фурье следует, что

(замена порядка интегрирования разрешена по теореме Фубини) (во втором интеграле произведена замена переменных ).

Теперь понятно, почему мы требовали выполнения (2.4.1): если бы была бесконечной, (2.4.2) не выполнялось.

Формула (2.4.2) может быть переписана так:

со сходимостью интеграла в «слабом смысле», т. е. взяв скалярное произведение обеих частей (2.4.4) с произвольной и поменяв местами скалярное умножение и интегрирование по в правой части, получаем нужную формулу. Сходимость имеет место также и в следующем, более сильном смысле:

Здесь интегрируется тот единственный элемент из для которого скалярное произведение с задается величиной

поскольку его абсолютная величина ограничена с помощью

смысл интегралу в (2.4.5) мы можем придать по лемме Рисса. Тогда (2.4.5) доказывается просто:

По предложению 2.4.1 выражение во второй паре скобок есть выражение в первой паре скобок сходится к нулю при поскольку интеграл с бесконечными пределами интегрирования сходится. Равенство (2.4.5) доказано.

Формула (2.4.5), показывающая, что любую из можно с произвольной точностью апроксимировать суперпозицией вейвлетов, может выглядеть парадоксально: ведь интеграл от вейвлета равен нулю, тогда как же любая суперпозиция вейвлетов (которая с необходимостью имеет нулевой интеграл) может быть хорошим приближением если сама имеет ненулевой интеграл? Решение этого парадокса лежит не в небрежности математической постановки вопроса (как это обычно бывает с решениями парадоксов). Мы легко можем придать ему строгость. Возьмем при этом сама Легко проверить, что

действительно, принадлежат (с нормой, ограниченной величиной и что они имеют нулевой интеграл, в то время как сама функция, которую они приближают при может иметь ненулевой интеграл.

Объяснение этому очевидному парадоксу в том, что (2.4.5) выполняется в -смысле, но не в -смысле. Когда

становится очень плоской, очень вытянутой функцией, которая по-прежнему имеет интеграл, равный интегралу от но -норму, стремящуюся

к нулю. (Это похоже на замечание, что функции при и равные 0 в противном случае, удовлетворяют для всех хотя для всех при не сходятся в

Возможны некоторые вариации (2.4.4), в которых мы ограничимся лишь положительными а (в противоположность использованию и положительных, и отрицательных а в (2.4.4)). Одна из возможностей состоит в требовании, чтобы удовлетворяла условию допустимости, несколько более строгому, чем (2.4.1), а именно

Равенство этих двух интегралов получается немедленно, если, например, является вещественной функцией, поскольку тогда Следовательно, с этим новым формула обращения превращается в

которое понимается в том же самом слабом или более сильном смысле, как и (2.4.4). (Доказательство (2.4.7) аналогично доказательству (2.4.4).)

Другая возможность осуществляется, если взять вещественную функцию и если . В этом случае легко доказывается, что

определена через (2.4.1). (Для доказательства (2.4.8) используем, что поскольку Конечно, формула (2.4.8) может быть переписана в терминах двух вейвлетов, каждый из которых является гильбертовым преобразованием другого. Использование комплексных вейвлетов, даже для анализа вещественных функций, может иметь свои преимущества. В [115], например, Кронланд-Мартин, Морле, Гроссман используют

комплексный вейвлет с носителем а вейвлет-преобразование представляют через графики его модуля и фазы.

Если обе функции, являются так называемыми «аналитическими сигналами», т.е. то если Тогда (2.4.4) немедленно упрощается

где опять определена через (2.4.1). Наконец мы можем приспособить (2.4.9) для случая, когда но Запишем где введем Понятно, что Тогда для так что после непосредственного использования (2.4.9) получаем

где определено аналогично, а та же, что и в (2.4.1).

Еще одна важная возможность состоит в использовании разных функций при восстановлении и разложении. Более точно, если удовлетворяют

то теми же рассуждениями, что и в предложении 2.4.1, показываем, что

Если то мы можем переписать (2.4.12) как

Заметим, что могут иметь очень разные свойства! Одна может быть нерегулярной, другая гладкой, обе могут даже не быть допустимыми: если при то возможно выполнение

Здесь мы не будем использовать эту дополнительную свободу. В [97] Чамичан использует свободу в выборе Для доказательства некоторых очень интересных результатов (см. также § 2.9). Например, можно выбрать с компактным носителем, так, что для любого х только где будут вносить вклад в из формулы восстановления (2.4.13). Множество называется «конусом влияния» на . Холшнайдер и Чамичан [97] также доказывают, что при умеренных условиях на формула (2.4.13) верна как поточечно, так и в -смысле.

Предложение 2.4.2. Предположим, что дифференцируема, Если ограничена, то формула (2.4.13) выполняется поточечно в каждой точке х, где непрерывна, т. е.

Доказательство.

1. Мы можем переписать правую часть (2.4.14) (прежде чем взять предел) так:

где все перемены порядка интегрирования разрешены теоремой Фубини (интеграл сходится абсолютно). Здесь определяется как

2. Легко вычислить преобразование Фурье для

где что следует из замены переменных а в (2.4.16). Поскольку ограничена, мы имеем

Вследствие (2.4.11) М также ограничена, поэтому

Тем самым доказывается, что М, обратное преобразование Фурье функции М, корректно определено, ограничено и непрерывно.

3. Убывание М определяется регулярностью М. Для легко проверяется, что М дифференцируемо по и

Поскольку дифференцируема, верно следующее:

Отсюда следует, что М дифференцируемо. Более того, поскольку мы имеем

Это дает следовательно, Тогда

влечет При этом или

4. Используя (2.4.17), мы можем переписать (2.4.15):

Первое слагаемое стремится к при если ограничена и непрерывна по х, поскольку М непрерывна, интегрируема и ее интеграл равен 1. (Это следует из теоремы об интегрируемости предела мажорируемой последовательности.) Второе слагаемое ограничено величиной

потому что вследствие (2.4.18). Таким образом, это слагаемое стремится к нулю, если

Замечание. В [97] Холшнайдер и Чамичан доказывают эту теорему при несколько более общих условиях на