3.6. Избыточность фреймов

Различные таблицы границ фреймов показывают, что фреймы (вейвлетов или оконных функций Фурье) могут быть избыточными (что измеряется, например, как если фрейм близок жесткому или если все векторы фрейма нормированы). В некоторых приложениях (например, в работе группы из Марселя — см. работы Гроссмана, Кронланда-Мартина, Торрезани) эта избыточность желательна, потому что нужны представления, близкие непрерывному преобразованию. Очень рано Морле заметил (личное общение, 1986), что такая избыточность также приводит к устойчивости в том смысле, что можно позволить себе хранить вейвлет-коэффициенты с низкой точностью (всего лишь пара битов) и по-прежнему восстанавливать со сравнительно высокой точностью. Интуитивно можно понимать этот феномен следующим образом. Пусть будет фреймом (не обязательно фреймом из вейвлетов или оконных функций Фурье). Если этот

фрейм является ортонормированным базисом, то

является унитарным отображением, и образом под действием является Если фрейм — избыточный, т. е. не являются независимыми, то элементы из являются коррелированными последовательностями, и является подпространством меньшим, чем само Чем более избыточным является фрейм, тем «меньше» будет . В § 3.2 показано, что в формуле восстановления

используется проекция на Это можно переписать так:

если Если искажены добавлением некоторых к каждому из коэффициентов (например, ошибкой округления), общее воздействие на формулу восстановления будет выражаться так:

Поскольку содержит проекцию на компоненты последовательности а, ортогональные не вносят вклада, и мы ожидаем, что величина будет меньше, чем Результат тем более резко выражен, чем «меньше» т. е. чем более избыточным является фрейм.

Сделаем это более ясным, используя двумерный фрейм из примера в § 3.2 и сравнивая его с ортонормированным базисом. Определим Тогда образуют ортонормированный базис — жесткий фрейм с границей Если добавить к коэффициентам где — независимые случайные величины с нулевым средним и дисперсией, равной 1, тогда ожидаемая ошибка будет

Если добавим к коэффициентам фрейма то найдем

что в полтора раза меньше, чем в ортонормированном случае!

Подобные рассуждения могут быть применены к случаю вейвлет-фреймов или оконных фреймов Фурье. Чтобы ограничить себя только конечным числом или предположим, что «существенно локализована» на (случай вейвлетов) или (случай оконного преобразования Фурье), так что существует конечное множество (см. § 3.5), для которого

(подобное выполняется и для оконного преобразования Фурье). Предположим, что фрейм почти жесткий, т. е. Добавление к каждому в предположении, что приводит к

(если Если мы «удвоим избыточность», поделив пополам, то новый фрейм снова будет почти жестким (см., например, (3.3.11), (3.3.12)) с границей А, вдвое большей. С другой стороны, новое -множество» будет содержать вдвое больше элементов. Следовательно,

т. е. удвоение избыточности ведет к уменьшению вдвое воздействия ошибок, добавляемых к вейвлет-коэффициентам. Аналогичные рассуждения могут быть проведены для случая оконного случая Фурье.

Рассуждения выше являются скорее эвристичными. Существуют указания на то, что они могут быть значительно усилены: Морле заметил, что на самом деле показатель превышения больше, чем показатель, получаемый с помощью этих рассуждений. Более того, Мюнх [150] недавно показал, что для жестких оконных фреймов Фурье с показатель превышения в сравнении с ортонормированным случаем на самом деле равен а не как следовало бы из наших рассуждений. В доказательстве использовалось, что целое, но трудно поверить, что тот же феномен не существует для нецелого . Может быть, это также выполняется для вейвлет-фреймов! Я бросаю это как вызов читателю...