7.2. Прямой метод

Результаты о гладкости, полученные в конце § 7.1.3 для с малыми значениями по-прежнему не оптимальны. Более того, методы Фурье могут дать лишь информацию о глобальном показателе Гёльдера, в то время как из рисунка 6.3 ясно, что в некоторых точках более гладкая, чем в других. На самом деле мы увидим, что существует целая иерархия (фрактальных) множеств, в которых имеет различные показатели Гёльдера, меняющиеся от 0.55 до 1. Результаты, подобные этим, можно получить прямыми методами, не привлекая Из соображений простоты я объясню структуру для общего случая, но в деталях применю метод лишь к а затем сформулирую общие теоремы о глобальной и локальной регулярности без доказательства. Доказательства можно найти в работах Добеши и Лагариса [59], [60]. Подобные результаты о глобальной регулярности были также доказаны Мичелли и Праутчем в [146] в рамках схем последовательного деления, независимо от Добеши и Лагариса (на самом деле, даже раньше).

Метод полностью независим от теории вейвлетов. Отправной точкой является уравнение

где Нас интересует -решение с компактным носителем, которое, если оно существует, определено однозначно (с точностью до нормировки). Поскольку преобразование непрерывно и (7.2.1) влечет

Тогда лемма 6.2.2 говорит о том, что . Уравнение (7.2.1) можно рассматривать как уравнение неподвижной точки. Для функций с носителями на определим по формуле

Тогда — решение (7.2.1), если . Мы попытаемся найти эту неподвижную точку обычным методом: найдем подходящую определим и докажем, что последовательность имеет предел. Для определения вначале заметим, что (7.2.1) накладывает ограничения на значения если — непрерывна. Поскольку , нам нужно лишь определить остальные равняются нулю. Подстановка в (7.2.1) приводит к системе из линейных уравнений для неизвестных Систему уравнений можно также понимать как требование, чтобы вектор был собственным вектором с собственным значением 1 для матрицы размерности полученной из с. Оказывается, что по модулю некоторых технических условий (см. ниже) эта матрица на самом деле имеет 1 своим простым собственным значением, так что можно зафиксировать с точностью до некоторой общей постоянной умножения.

Предположим, что мы это сделали. Можно доказать, что Тогда мы можем выбрать нормировку, чтобы (Все это будет иллюстрироваться примерами ниже.) Теперь определим

кусочно-линейную функцию, которая в целых числах в точности принимает значения т. е.

Последовательное применение Т определяет т. е.

Отсюда с легкостью следует, что являются кусочно-линейными с узлами Для обсуждения предела при и изучения регулярности этого предела удобнее придать (7.2.3) другую форму.

Ключевой идеей станет одновременное изучение для . Мы определим с помощью

Для формула (7.2.3) и включение предполагают, что являются линейными комбинациями Более точно, в терминах

где является матрицей порядка определенной с помощью

где предполагается для или Точно так же

где

Оба уравнения (7.2.5), (7.2.7) выполняются для силу особой структуры (в частности, для , эти два уравнения идентичны при

Мы можем объединить (7.2.5) и (7.2.7) в одно векторное уравнение следующим образом. Каждое можно представить двоичной последовательностью

где или 0 для всех . Строго говоря, существует два возможных представления для каждого диадического рационального х, т. е. каждого х вида к мы можем заменить последнюю цифру 1, за которой следуют все нули, на цифру 0, за которой следуют все единицы. Это не вызовет проблем, но для ясности мы будем различать две эти последовательности с помощью индекса: для последовательности с нулями на конце (разложение «сверху», т. е. разложение, которое будет начинаться теми же цифрами, что и при для последовательности, заканчивающейся единицами (разложение «снизу»). Например,

Две области определения для (7.2.5) и (7.2.7) полностью характеризуются с помощью если

Для каждой двоичной последовательности мы же определим ее правый сдвиг с помощью

Тогда понятно, что если если (Для мы имеем две возможности Хотя в действительности определяется на двоичных последовательностях, мы несколько испортим обозначения и напишем а не . С таким новым обозначением мы перепишем (7.2.5), (7.2.7) как одно уравнение

Если пределом является то такая вектор-функция будет неподвижной точкой линейного оператора Т, определенного с помощью

Т действует на все вектор-функции удовлетворяющие требованиям

(Результатом этих условий является однозначное определение в диадических рациональных точках: два разложения приводят к одному результату.)

Что же мы приобрели после такой перегруппировки уравнений? Прежде всего, из (7.2.9) следует, что

откуда

Другими словами, информация о спектральных свойствах произведений Т-матриц позволяет нам контролировать разницу тогда мы можем доказать сходимость и вывести гладкость Ну а теперь обратимся к примерам.

Для функции формула (7.2.1) превращается в

где

Заметим, что

и

И то, и другое является следствием делимости на Значения определяются из систем

Ввиду (7.2.13) сумма значений в столбцах М равняется 1. Этим доказывается, что является левым собственным вектором М с простым собственным значением 1. Правый собственный вектор для того же собственного значения не ортогонален , а это означает, что его можно нормировать и сделать сумму его элементов равной 1. Тогда в качестве выбираем

Матрицы размерности задаются формулами

В силу имеют общий левый собственный вектор с собственным значением 1. Более того, для всех

(используем ). Следовательно, для всех и всех

Отсюда это пространство ортогонально Ввиду (7.2.11) нам нужно лишь изучить произведения -матриц, ограниченных на чтобы контролировать сходимость Однако верно даже большее! Положим . Тогда (7.2.14) влечет

где Если мы определим тогда (7.2.15) превратится в

С другой стороны,

следовательно,

Отсюда Это означает, что для контроля нам нужно лишь изучить произведения -матриц, ограниченных на пространстве натянутом на . Но так как это простой пример, будет одномерным, а представляет просто умножение на некоторую постоянную, а именно третье собственное значение равное для и для Следовательно,

где использовалась равномерная ограниченность Так как влечет

где Следовательно, имеют пределом непрерывную функцию поскольку непрерывными являются все а сходимость выполняется равномерно. Более того, автоматически удовлетворяет (7.2.10), поскольку это выполняется для всех так что она может быть «развернута» в непрерывную функцию

на Эта функция решает (7.2.1), при этом и может быть равномерно приближена с помощью кусочно-линейных сплайнов с узлами в

Из стандартной теории сплайнов следует (см., например, работу Шумейкера [190]), что непрерывна по Гёльдеру с показателем Заметим, что это лучше, чем наилучший результат из § 7.1 (в конце § 7.1.3 мы получили ). Такой показатель Гёльдера оптимален: из (7.2.12) мы получаем

откуда

Но этот матричный метод может сделать нечто большее, чем определение оптимального показателя Гёльдера. Так как для достаточно малого такого, что имеют одинаковых первых цифр в двоичных разложениях, мы имеем

Это можно исследовать точно так же, как и и найти

Для остатка имеют значение лишь и мы получаем

где — порядка обозначением неравенство (7.2.18) можно переписать в виде

где Предположим, что стремится к пределу при Если то

второй член из (7.2.19) доминирует над первым, тогда а отсюда и непрерывна по Гёльдеру с показателем а . Если то первый член порядка доминирует, и является липшициевой. На самом деле можно даже доказать, что дифференцируема в этих точках, образующих множество полной меры. Это устанавливает целую иерархию фрактальных множеств (множеств, на которых имеет заданное значение), на которых имеет различные показатели Гёльдера. А как обстоят дела в диадических рациональных точках? Что же, здесь вы можете определить в зависимости от того, приходите ли вы «сверху» (что связано с или «снизу» Как следствие, в диадических рациональных точках х функция дифференцируема слева, но имеет показатель Гёльдера 0.550, если приближаться к х справа. Это иллюстрируется рисунком 7.1, на котором показаны увеличения указывающие на характерные пики с обрезанными сторонами даже при очень хорошем разрешении.

Рис. 7.1. Функция и два последовательных увеличения около

В этом примере мы имеем два «правила сумм» (7.2.13), (7.2.14), отражающие делимость на . В общем случае то делится на и мы имеем правил сумм. Однако подпространство может иметь размерность больше, чем 1, а это усложняет оценки. Общая теорема о глобальной регулярности формулируется следующим образом.

Теорема 7.2.1. Предположим, что удовлетворяют и

Для каждого определим как подпространство ортогональное где Предположим, что существуют такие что для всех двоичных последовательностей и всех

Тогда

1. существует нетривиальное -решение для масштабирующего уравнения (7.2.1), связанное с

2. это решение является I раз непрерывно дифференцируемым, и

3. если то производная является непрерывной по Гёльдеру с показателем, равным по меньшей мере если почти липшициева: она удовлетворяет неравенству

Замечание. Ограничение означает лишь то, что мы берем наибольшее возможное целое для которого выполняется (7.2.21), в котором Если то обязательно А (см. [60]); если мы могли бы заменить I на и А на и (7.2.21) выполнялось бы для большего целого I.

Рис. 7.2. Функция и последовательные увеличения около

Подобная общая теорема может быть сформулирована для локальных флуктуаций регулярности, показанных на примере с Более точное утверждение, детали и доказательство помещены в работах Добеши и Лагариса [60], [59].

В применении к эти методы приводят к следующим оптимальным показателям Гёльдера:

Они, очевидно, лучше полученных в § 7.1.3. Более того, к своему удивлению мы видим, что непрерывно дифференцируема, хотя ее график как будто имеет «пик» в Увеличения показывают, что это впечатление обманчиво: истинный максимум лежит несколько правее и на самом деле везде имеется гладкость (см. рисунок 7.2). Производная

Рис. 7.3. Производная

непрерывна, но имеет очень маленький показатель Гёльдера, что иллюстрирует рисунок 7.3.

К сожалению, матричные методы слишком сложны, чтобы применять их к большим примерам. Другой, более поздний «прямой метод» был развит Дин и Левиным в [73] и Риулем в [158]. Примененный к для , он воспроизводит полученные выше значения а. Вследствие своей меньшей вычислительной трудности, он также справляется с большими значениями давая результат лучше, чем полученный в § 7.1.3 (см. [158]).

Замечание.

1. Отметим схожесть матриц из § 7.1.3 (см. (7.1.27))! Даже спектральный анализ со вложенными инвариантными подпространствами тот же. Это указывает на то, что результат теоремы 7.1.12 в самом деле оптимален: если А — спектральный радиус то

тогда А из (7.2.21) по меньшей мере равняется а показатель Гёльдера не превосходит Разница между двумя подходами в том, что настоящий метод также дает оптимальные оценки, если не положителен, в отличие от метода из § 7.1.3.

2. Условие (7.2.21) предполагает, что нужно проверить бесконечно много условий на прежде чем применить теорему 7.2.1. К счастью, (7.2.21) можно свести к эквивалентным условиям, которые можно проверить на компьютере за конечное время. Детали изложены Добеши и Лагарисом в [60].

3. На практике необязательно нужно работать с и ограничивать их действие на Можно прямо определить матрицы соответствующие коэффициентам Оказывается, что оценки на эквивалентны оценкам на Матрицы намного меньше, чем вместо

Поскольку этот метод работает для любой функции, удовлетворяющей уравнению вида (7.2.1), мы можем применить его к базовым функциям из схем последовательного деления. Для интерполяционной функции Лагранжа, соответствующей (6.5.14), детальный анализ показывает, что «почти» принадлежит она лежит в удовлетворяет неравенству

Первоначально это было получено Дюбуком в [70]. Но наши матричные методы могут делать больше! С их помощью можно доказать, что почти всюду дифференцируема, и даже вычислить там, где она корректно определена. С деталями можно ознакомиться в [60].